Lösungen: Regelmäßige n-Ecke und n,k-Sterne (1)

2.1 Alle Zacken

Welche Bedingung muss für n und k gelten, damit der n,k-Stern mit einem Streckenzug ohne erneut anzusetzen n Zacken hat?

n und k müssen teilerfremd sein.

2.2 Zackenwinkel

Seien n und k teilerfremd und k' die kleinere der beiden Zahlen k und n-k.

a) Begründen Sie: Ein Schiff, das den Kurs eines n,k-Sterns durchfährt bis es wieder in seiner Startposition steht, dreht sich dabei k'-mal um seine eigene Achse.

Die Zahlenpaare (Anzahl der Kursänderungen |volle Drehungen um die Schiffsachse) sind quotientengleich. Ein derartiges Zahlenpaar ist \(\left( {\frac{n}{ {k'} }|1} \right)\). Dann ist auch (n|k') ein solches Zahlenpaar. Nach n Kursänderungen hat das Schiff k' Drehungen um die eigene Achse gemacht.

b) Sei α der Zackenwinkel (das ist der an jeder Zacke gleiche Winkel, siehe Abbildung) eines n,k-Sterns. Zeigen Sie: dann gilt \( α = \frac{180°(n-2k`)}{n} \).

b) Sei α der Zackenwinkel. Dann ist die Kursänderung an jeder Zacke 180°-α. Unter Blick auf a) gilt: n⋅(180°-α)=k'⋅360°. Aufgelöst nach α gilt: \( α = \frac{180°·(n-2k')}{n} \)

Abbildung: Zackenwinkel

2.3 Zwölfeck aus 12 kongruenten Vierecken

Drei Seiten und eine Diagonale eines Vierecks seien gleichlang, die Länge der vierten sei das √2-fache jeder anderen Seitenlänge.

  • a) Zeigen Sie: 12 solche Vierecke parkettieren ein regelmäßiges Zwölfeck.
  • Abbildung: Lösung A - Zwölfeck aus 12 kongruenten Vierecken

  • b) Zeigen Sie: 24 solche Vierecke parkettieren ein größeres regelmäßiges Zwölfeck.
  • Abbildung: Lösung B - Zwölfeck aus 12 kongruenten Vierecken

2.4 Ein 5,2-Stern

Welchen Umkreisradius hat ein aus 10 grauen Drachen (Abbildung) zusammengesetzter 10,3-Stern, wenn r der Umkreisradius des dargestellten 5,2-Sternes ist?

Der 5,2-Stern kann in 5 Teile (grau unterlegt) zerteilt werden, von denen 10 zu einem 10,3-Stern zusammengesetzt werden können. Der Umkreisradius ist also der gleiche.

Abbildung: 5,2-Stern Lösung

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