Übungsblatt: Anwendung Integralrechnung I

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1. Gegeben sind die Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen: \( f(x) = -x^2 + 4x \quad g(x) = \frac{1}{2} x \)

a) Skizziere den prinzipiellen Verlauf der Graphen von f und g. Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen f und g.

b) In die Fläche zwischen den Graphen f und g ist ein Streifen parallel zur y-Achse mit einer Breite von einer Längeneinheit so einzuzeichnen, dass der Flächeninhalt dieses Streifens maximal ist.

c) Die Gerade x = u mit 0 < u < 3,5 und \( u ∈ \mathbb{R} \) schneidet den Graphen von f in P und den Graphen von g in Q. Zeige, dass für die von u unabhängige Längenmaßzahl s(u) der Strecke PQ gilt: \( s(u) = -x^2 + 3,5x \). Berechne den Wert von u so, dass die zugehörige Strecke PQ die absolut größte Länge besitzt.

2. Die Parabel f mit \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18 \) berührt die x-Achse im Punkt P(-3|0) und schneidet sie in einem Punkt Q.

a) Berechne den Flächeninhalt der von der x-Achse und der Parabel eingeschlossenen Fläche.

b) Durch welchen Wert \( x_h \) verläuft die zur y-Achse parallele Gerade, die die von der Parabel und der x-Achse eingeschlossene Fläche halbiert? (Wende das Newton-Verfahren an. Startwert: \( x_0 = 0 \). Die Genauigkeit ist ausreichend, wenn der Wert des Terms kleiner als 0,0001 ist.)

3. Im unteren Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5 \) dargestellt.

a) Zeichne den Graphen der Funktion g mit \( g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \) ein und ermittle den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g im Intervall [-2; 3].

b) Die Gerade x = u mit 1 < 11 < 3 und \( u ∈ \mathbb{R} \) schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von g im Punkt Q. Zusammen mit dem Wendpunkt W von f bilden die Punkte P und Q das Dreieck WPQ. Untersuchen Sie, für welchen Wert von u das zugehörige Dreieck WPQ den absolut größten Flächeninhalt besitzt.

Abbildung Funktionsgraph

4. Im Schnittpunkt des Graphen der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 5 \) mit der y-Achse wird die Tangente an den Graphen von f gezeichnet. In welchem Verhältnis wird die von dieser Tangente und den beiden Achsen eingeschlossene Fläche durch den Graphen von f geteilt?

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