AB: Lektion Parallelogramm (Teil 1)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu dem Parallelogramm mit denen ihr euer Wissen testen könnt. Als allgemeines Parallelogramm dient folgende Skizze als Vorlage:
Betrachten wir uns zuerst die Formeln zum Parallelogramm, die das Lösen einfacher machen:
Bestimme die fehlenden Angaben a, b, ha, e, f, α, β, A aus den gegebenen Werten.
a = 4, b = 5, α = 53°
Mit α = 53° ergibt sich sofort β = 180° - α = 180° - 53° = 127°.
Mit obiger Formel ergibt sich \( e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos{β}} = 8,067 \).
Gleichfalls ergibt sich so auch \( f = \sqrt{a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos{α}} = 4,114 \).
Die Höhe ergibt sich zu ha = b·sin(α) = 3,993.
Der Flächeninhalt ist A = a·ha = 15,973.
a = 7, ha = 3, α = 42°
Nutzen wir wieder die Formeln, so ergibt sich:
β = 128°
b = ha/sin(α) = 43,007
e = 48,436
f = 38,094
A = 21
b = 4,5, e = 6, α = 17°
Nutzen wir wieder die Formeln, so ergibt sich:
Mit α = 17° ergibt sich sofort β = 180° - α = 180° - 17° = 163°.
Jetzt haben wir β = 163°, b = 4,5 und e = 6. Wählen wir uns eine Formel, die diese Variablen enthält und stellen sie um, sodass wir die Unbekannte a berechnen können:
\( e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos{β}} \quad | ()^2 \\ e^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos{β} \quad | -e^2 \\ 0 = a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos{β} - e^2 \\ 0 = a^2 + (-2·b·\cos{β})·a + (b^2 - e^2) \)
Nun p-q-Formel verwenden mit p = -2·b·cos(β) und q = b² - e².
\( a^2 = b·\cos(β) \pm \sqrt{ (-2·b·\cos{β})^2 - (b^2 - e^2)} \)
Einsetzen der Werte und negatives Ergebnis ignorieren.
a1 = -10,157 und a2 = 1,551
Danach mit den bekannten Formeln berechnen:
f = 3,051
ha = 1,316
A = 2,040
a = 3, f = 5, α = 89°
Arbeitet man wieder mit den Formeln ergibt sich Folgendes:
β = 91°
Errechnen der Unbekannten b wie bei Aufgabe c) vorgeführt:
b = 4,053
e = 5,084
ha = 4,052
A = 12,156
e = 4, b = 3, β = 70°
Arbeitet man wieder mit den Formeln ergibt sich folgendes:
α = 110°
Errechnen der Unbekannten a wie bei Aufgabe c) vorgeführt:
a = 6,961
f = 8,47
ha = 2,819
A = 19,623