12-0A: Satz des Pythagoras - Einführung

Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kann man bei einem rechtwinkligen Dreieck die unbekannte Dreiecksseite ausrechnen, wenn 2 Dreiecksseiten bekannt sind. Hierzu nutzt man Flächen (Quadrate), um einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksseiten herzustellen.

Der Satz des Pythagoras lässt sich wie folgt herleiten:

Satz des Pythagoras Beweis

Wir sehen, dass das große Quadrat die Seitenlänge (a + b) hat und damit die Fläche (a + b)². Nun können wir das linke große Quadrat zerlegen in die Flächen: Quadrat a², Quadrat b² und 4 grüne Dreiecke. Die Formel lautet: (a + b)² = a² + b² + 4·\( \frac{a·b}{2} \). Das rechte Quadrat können wir zerlegen in die Flächen: Quadrat c² und 4 grüne Dreiecke. Die Formel lautet (a + b)² = c² + 4·\( \frac{a·b}{2} \).

Nun stellen wir die Formeln auf:
(a + b)² = a² + b² + 4·\( \frac{a·b}{2} \)   sowie   (a + b)² = c² + 4·\( \frac{a·b}{2} \)

Stellen wir beide Gleichungen gegenüber:
(a + b)² = (a + b)²
a² + b² + 4·\( \frac{a·b}{2} \) = c² + 4·\( \frac{a·b}{2} \)

Und formen wir um, indem wir 4·\( \frac{a·b}{2} \) auf beiden Seiten subtrahieren, es bleibt stehen:
a² + b² = c²

Das ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras mit Quadratsflächen auf Dreiecksseiten

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