Aufgabenblatt: Lektion Wurzeln

Wenn ihr die Videos zu den Wurzeln gesehen habt, seid ihr in der Lage, die folgenden Aufgaben problemlos ohne Taschenrechner zu lösen. Viel Erfolg!

A. Löse die grundlegenden Fragen zu den Wurzeln:

1. Beschreibe kurz, was wir mit der Quadratwurzel berechnen können.

2. Wie wird bei \( \sqrt[2]{9} \) die 9 bezeichnet?

3. Wie wird bei \( \sqrt[3]{8} \) die 3 bezeichnet?

4. Wenn sich keine Zahl vorne auf dem Wurzelstrich \( \sqrt{9} \) befindet, um welche Wurzel handelt es sich dann? Wie lautet die Bezeichnung?

5. Was haben Wurzel und Potenz miteinander zu tun?

6. Wie nennt man das Wurzelziehen noch?

7. Darf man aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel ziehen? Mit Begründung.

8. Gibt es die nullte Wurzel aus einer Zahl? Mit Begründung.

B. Quadratwurzeln ziehen. Berechne die folgenden Quadratwurzeln ohne Hilfsmittel:

1. √9 = …

2. √25 = …

3. √49 = …

4. √81 = …

5. √100 = …

6. √121 = …

7. √196 = …

8. √225 = …

C. Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten. Berechne die folgenden Wurzeln ebenfalls ohne Hilfsmittel. Diesmal haben wir Wurzelexponenten, die größer als 2 sind, also keine Quadratwurzel mehr.

1. 3√8 = …

2. 3√27 = …

3. 3√125 = …

4. 3√1000 = …

5. 4√10000 = …

6. 4√16 = …

7. 5√32 = …

8. 4√81 = …

9. 7√1 = …

10. 19√0 = …

D. Wurzeln mit negativen Wurzelexponenten. Die folgenden Wurzeln haben Wurzelexponenten, die negativ sind. Nutzt die entsprechende Regel, wie man solche Wurzeln umwandeln kann, um die Wurzeln ausrechnen zu können.

1. -3√8 = …

2. -2√64 = …

3. -7√1 = …

4. -5√32 = …

5. -3√216 = …

6. -4√625 = …

E. Wurzelterme vereinfachen. Als nächstes sollst du die Wurzelterme vereinfachen bzw. ausrechnen. Erinnere dich an die Wurzelgesetze und die Potenzgesetze sowie daran, dass du Wurzeln in Potenzen umwandeln kannst. Notiere den Rechenweg.

1. \( \sqrt{x^2} = \)

2. \( \sqrt{x^4} = \)

3. \( \sqrt[4]{x^8} = \)

4. \( \sqrt[3]{y^{27}} · y^3 = \)

5. \( \sqrt[2]{y^7} · \sqrt[4]{y^6} = \)

6. \( \sqrt[-2]{y^2} · \sqrt[2]{y^2} = \)

7. \( \sqrt[4]{y^2} : \sqrt[4]{y^{-6}} = \)

8. \( \sqrt[23]{y^3} - \sqrt[23]{y^9} = \)

F. Verschachtelte Wurzeln. Die folgenden Wurzeln sind verschachtelt. Löse die Wurzelterme so weit wie möglich auf.

1. \( \sqrt{ \sqrt{x^2} } = \)

2. \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{x^2} } = \)

3. \( \sqrt[4]{ \sqrt[4]{x^8 · x^8} } = \)

4. \( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{x^{16}} } = \)

5. \( \sqrt[4]{ \sqrt[-3]{b^{-2}} } = \)

6. \( \sqrt[-3]{ \sqrt[-2]{b^{12}} } = \)

7. \( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{k} } · \sqrt[-4]{k^2} = \)

8. \( \sqrt[3·2]{ \sqrt[-1]{k^2} } · \sqrt[2]{ \sqrt[-2]{k^{-3}} } = \)

G. Teilweises Wurzelziehen. Ziehe als nächstes die teilweisen Wurzeln aus den Zahlen bzw. Termen so weit wie möglich. Man sagt hierzu auch "Wurzeln vereinfachen". Hierzu musst du die größtmögliche Quadratzahl aus dem Radikanden herausdividieren, ohne dass ein Rest entsteht. Nimm die Primfaktorzerlegung wie folgt zu Hilfe:

Beispiel: √80
80 = 2·2·2·2·5
80 = 4 · 4 ·5
80 = 42 ·5
→ √80 = √(42·5) = √(16·5) = √16 · √5 = 4·√5

Aufgaben:

1. √250 = …

2. √200 = …

3. √98 = …

4. √243 = …

5. √90 = …

6. √32 = …

7. √180 = …

8. √392 = …

H. Wurzeln aus Brüchen ziehen. Zieh die Wurzeln aus den Brüchen. Denke daran, die Regel besagt, dass du die Wurzel auf Zähler und Nenner ziehen darfst!

1. \( \sqrt{ \frac{25}{81} } = \)

2. \( \sqrt{ \frac{4}{16} } = \)

3. \( \sqrt{ \frac{144}{169} } = \)

4. \( \sqrt{ \frac{400}{225} } = \)

5. \( \sqrt[3]{ \frac{8}{125} } = \)

6. \( \sqrt[3]{ \frac{125}{64} } = \)

7. \( \sqrt[3]{ \frac{729}{343} } = \)

8. \( \sqrt[3]{ \frac{1}{64} } = \)

I. Im Folgenden sind Aufgaben zu lösen, die euch so oder ähnlich in einer Abschlussprüfung begegnen könnten.

1. Du sollst die Seitenlänge eines Quadrats bestimmen. Das Quadrat hat eine Gesamtfläche von 100 cm². Wie lang ist jede Seite?

2. Berechne 4√5 · 5√5

3. Fülle die Lücke: ___ · √3 = 6

4. Fülle die Lücke: ___ · √2 = 10

5. Mache den Nenner rational beim Bruch: \( \frac{3}{ \sqrt{5}} \)

Hinweis: Rational machen heißt hier, die irrationale Zahl √5 durch Erweitern des Bruches zu einer rationalen Zahl (z. B. 5) zu machen.

6. Berechne den Wurzelwert bei √0,25 und bei √1,21.

7. Bei welcher Zahl entspricht der Radikand gleich seinem Wurzelwert?

8. Ein Würfel hat eine Oberfläche von 60 cm². Berechne die Seitenlänge und das Volumen.

9. Kann man √5 + √5 irgendwie vereinfachen (kürzer schreiben)?

10. Du sollst die Diagonale bei einem Quadrat bestimmen. Die Quadratsseite hat allgemein die Länge x. Wie lang ist die Diagonale?

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