DIF04: Integralrechnung

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 11. - 12. Klasse

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Wissen zur Lektion

Einführung zur Integralrechnung

Nachdem wir uns mit der Differentialrechnung befasst haben, wenden wir uns einem weiteren äußerst wichtigen Gebiet der Mathematik (im Teilgebiet Analysis) zu. Der Integralrechnung. Während uns die Differentialrechnung geholfen hat die Steigungen eines Graphen zu interpretieren, Aussagen über den Verlauf eines Graphen machen zu können, sowie spezielle Punkte zu finden - wie Extrema und Wendepunkte -, können wir mit Hilfe der Integration Flächen oder gar Volumina berechnen. Dabei behalten wir immer im Hinterkopf, dass die Integration die Umkehroperation zur Ableitung ist (weswegen sie oft auch als “Aufleitung” bezeichnet wird, wobei wir bei dem Begriff “Integration” bleiben wollen, da der Begriff “Aufleitung” nicht überall Zustimmung findet). Wie wir im Laufe unseres Kennenlern-Prozesses feststellen werden, ähneln sich deshalb einige der Regeln von Ableitung und Integration.

Wenden wir uns aber zuerst einmal dem Grundbegriff der Integralrechnung zu, in dem wir uns eine Flächenberechnung geometrisch anschauen. Dazu nehmen wir eine Gerade in einem Koordinatensystem, deren Fläche wir innerhalb der Stellen x = 0 und x = 4 berechnen wollen. Die zudem durch die Gerade selbst und die x-Achse begrenzt ist.

Fläche der Gerade

Wir wollen also den roten Flächeninhalt berechnen. Das können wir mit altbewährten Mitteln machen, indem wir die rote Fläche in ein Rechteck und ein Dreieck aufteilen. Das Rechteck hat den Flächeninhalt 1·4 = 4, besteht also aus den vier Kästchen der untersten Reihe. Das Dreieck ergibt sich aus 1/2·2·4 = 4. Beide Flächen zusammenaddiert und wir erkennen unseren Flächeninhalt zu A = 8. Das wir so die eigentliche Fläche so simple in Teilflächen aufteilen können, liegt leider schon bei einer Parabel nicht mehr vor und mit Rechtecken und Dreiecken kommen wir nicht mehr recht weiter. Deshalb arbeitet man mit den Ober- und Untersummen um eine Näherung des Flächeninhaltes zu erhalten. Hier arbeiten wir ausschließlich mit Rechtecken, denen wir eine feste Breite zuordnen (die allerdings beliebig ist). Die Rechtecke der Obersumme lugen dabei über den eigentlichen Graphen hinaus, während die Rechtecke der Untersumme eine Lücke belassen. Diese Rechtecke werden dann alle addiert und ergeben die Fläche der Ober- bzw. Untersumme. Schauen wir uns das Graphisch an.

Ober- und Untersumme

Im Graphen ist die Obersumme grün dargestellt, während die Untersumme über orange dargestellt wird. Wenn wir uns anschauen, wie der Flächeninhalt ursprünglich aussah (die rot eingegrenzte Fläche) und die nun grüne Fläche (wie gesagt, alle Rechtecksflächen werden zusammenaddiert) anschauen, sehen wir, dass der Flächeninhalt über die grünen Rechtecke als zu viel angegeben wird. Bei den orangenen Rechtecken hingegen fehlt ein klein wenig und der Flächeninhalt wird als zu klein angegeben werden. Man kann nun den Mittelwert der Ober- und Untersumme bilden und man hat eine gute Näherung des roten Flächeninhalts. In unserem Fall, wo wir eine Fläche unter einer Geraden berechnen ist das sogar exakt. Aber um die Parabel nochmals anzubringen: Bereits hier ist der Mittelwert der Ober- und Untersumme nur noch eine Näherung.

Wenden wir uns aber einer anderen Möglichkeit zu, die Näherung zu verbessern (ohne auf den Mittelwert zurückzugreifen). Eine weitere Möglichkeit eine Verbesserung ist über die Verringerung der Breite der Rechtecke zu erreichen. Denn je geringer die Breite, desto weniger Flächeninhalt steht über oder wird vermisst. Das führt uns dann letztlich zur Integralrechnung. Hier wird die Breite der Rechtecke unendlich klein - oder wie man auch sagt “infinitesimal”. Da niemand unendlich lange an einer Aufgabe sitzen möchte und die Rechtecke einzeichnen will um diese dann aufzusummieren, gibt es die sogenannten Integrale, mit deren Hilfe man die Flächeninhalte ohne großen Aufwand bestimmen kann. Wie man Integrale formal aufschreibt und was die einzelnen Zeichen bedeuten, schauen wir uns bei den “Unbestimmten Integralen” an, bevor wir uns die Integrationsregeln und Lösungsmöglichkeiten anschauen.

Unbestimmtes Integral

Nachdem wir nun wissen, dass die Integration unter anderem zur Bestimmung von Flächeninhalten verwendet wird, wollen wir uns den zugehörigen mathematischen Formalismus anschauen. Dabei holen wir noch etwas aus.

Lasst uns eine Funktion f(x) betrachten. Diese mag eine beliebige Gestalt haben (beispielsweise eine Gerade wie zuvor) und wir wollen in einem gewissen Bereich die Fläche berechnen. Um dies zu erreichen, könnten wir die Rechtecke einzeichnen, wie wir es im vorherigen Kapitel taten. Wie erwähnt, würden wir aber sehr lange benötigen, um Rechtecke mit möglichst geringer Breite zu nutzen. Weswegen wir die Integration ins Spiel bringen, die uns die Arbeit rechnerisch abnimmt. Weiterhin erinnern wir uns, dass wir sagten, dass die Integration die Umkehrung der Ableitung ist und wie auch bei der Ableitung werden wir einen neuen Ausdruck für die Funktion f(x) haben. So wie sich die Ableitung zu f’(x) ergeben hat, werden wir nun F(x) bestimmen. Das F(x) steht dafür für die Stammfunktion der Funktion f(x) und beschreibt die Funktion nach der Integration. Mit der Stammfunktion können wir den Flächeninhalt nun berechnen (d.h. Sobald wir uns die Integrationsregeln angeschaut haben). Schauen wir uns aber vorerst den Formalismus an.

Eine Stammfunktion ist die integrierte ursprüngliche Funktion, und somit gilt:

$$ F(x) = \int f(x) \;dx $$

Das Integralzeichen (das langgezogene S) ist dabei der Indikator, dass das Nachkommende integriert werden soll, in diesem Fall also die Funktion f(x). Die Funktion f(x) wird als Integrand bezeichnet. Das “dx” wird meist nur als Indikator beschrieben, nach welcher Variable integriert werden soll (so muss nicht immer nach x integriert werden! Man könnte auch nach a oder z integrieren!). Das dx rührt ursprünglich daher, dass man sich auf die Breiten der Rechtecke bezieht, welche infinitesimal klein sind, wird aber wie gesagt nur noch in seiner symbolischen Bedeutung genutzt. Es trägt den Namen Differential. Die obige Formel bedarf noch einer Verbesserung. Die Integration einer Funktion ergibt nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele (deshalb unbestimmt, später können wir uns ein bestimmtes anschauen). Dies wird durch die Addition einer Konstante berücksichtigt.

Korrekte Formel:

$$ \int f(x) \;dx = F(x) + c $$

Eine andere Schreibweise, deren Sinn wir später kennen lernen, wäre:

$$ \int f(x) \;dx = \left[F(x)\right] $$

Dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt, können wir mit unserem Wissen über die Ableitungen leicht zeigen. Immerhin ist die Ableitung ja die Umkehrung der Stammfunktion und deswegen muss über das Ableiten einer Stammfunktion wieder die Funktion selbst erreicht werden.

Nehmen wir einmal die Funktion f(x) = 2x. Da wir noch nicht wissen, wie man eine Stammfunktion bestimmt, bestimmen wir die Stammfunktion mit der Überlegung “Welche Funktion abgeleitet ergibt f(x) = 2x”. Das wäre F(x) = x².

Wir haben also eine Stammfunktion mit F1(x) = x². Diese abgeleitet ergibt die ursprünglich Funktion f(x). Doch auch F2(x) = x² + 2 ist abgeleitet wieder f(x) = 2x, denn der konstante Teil fällt bei der Ableitung zu 0 weg. Das passiert mit jedem beliebigen konstanten Summanden:

F1(x) = x²
F2(x) = x² + 2
F3(x) = x² + 93756
F(x) = x² + c

So merken wir uns: Ein (unbestimmtes) Integral hat die Form:

$$ \int f(x) \;dx = F(x) + c $$

Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen.

Weiterhin ist die Umkehrung der Integration die Ableitung, was veranschaulicht werden kann über:

F’(x) = f(x)
Oder auch:
F(x) -------> ableiten -------> f(x) -------> ableiten -------> f’(x)
f’(x) -----> integrieren -----> f(x) -----> integrieren -----> F(x)

Abschließend stellen wir noch eine Tabelle (wie wir das auch bei den Ableitungen hatten) mit den wichtigsten unbestimmten Integralen auf, die man kennen sollte um mit diesen kompliziertere Integrale berechnen zu können. Die additive Konstante c lassen wir hier der Übersicht wegen weg.




Funktion f(x)

Stammfunktion(en) F(x)

Konstante Funktion

Potenzfunktion

e-Funktion

Sinus

Cosinus

Tangens

Hyperbel


Das sind wohl die wichtigsten Integrale auf deren Grundlage man auch weit kompliziertere Ausdrücke integrieren kann. Zumindest wenn man sich mit den Integrationsregeln beschäftigt hat, die wir uns in einem der nächsten Kapitel anschauen werden.

Integrationsregeln

Wie versprochen stürzen wir uns nun auf die Integrationsregeln um dann bald mit der Berechnung von Flächen beginnen zu können. Zur Berechnung der Flächen haben wir eine Funktion f(x) gegeben und müssen die Stammfunktion F(x) bestimmen, wobei uns folgende Regeln zur Hilfe gereichen sollen.

Faktorregel

$$\int c\cdot f(x) = c\int f(x)$$

Dabei ist c konstant, also unabhängig von x. Man kann es also vor das Integral schreiben und damit die Rechnung vereinfachen.

Beispiele:

$$\int 3\cdot \sin(x) \; dx = 3 \int \sin(x) \; dx = -3\cdot \cos(x) + c$$ $$\int a\cdot x^3 \; dx = a\int \cdot x^3 \; dx = \frac a4 x^4 + c$$

Dabei ist a unabhängig von x und damit konstant.

Summenregel/Differenzenregel

$$\int \left[f(x) \pm g(x)\right] \; dx = \int f(x) \; dx \pm \int g(x) \; dx$$

Hat man eine Summe (oder Differenz) aus von x abhängigen Summanden, so kann man jeden Summanden einzeln integrieren und muss sich nicht um den ganzen Term auf einmal kümmern.

Beispiele:

$$\int \left(3x^2 + 4x\right) \; dx = \int 3x^2 \; dx + \int 4x \; dx = x^3 + 2x^2 + c$$ $$\int \left(\sin(x) - \frac1x \right) \; dx = \int \sin(x) \; dx - \frac1x \; dx = -\cos(x) - \ln|x| + c$$

Beachte, dass man nur einmal die Konstante c addieren muss, obwohl wir zwei Integrale haben. Aber selbst, wenn wir je eine Konstante a und b addieren, kann man diese zu c zusammenfassen.

Partielle Integration

Dieses Verfahren ist etwas komplexer um es in nur zwei Zeilen zu erklären, weswegen wir uns das in einem weiteren Kapitel etwas langsamer anschauen.

$$\int f(x)\cdot g’(x) \; dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int f’(x) \cdot g(x) \; dx$$

Integration per Substitution

Dieses Verfahren ist etwas komplexer um es in nur zwei Zeilen zu erklären, weswegen wir uns das in einem weiteren Kapitel etwas langsamer anschauen.

$$\int_{a}^{b} f(g(t)) \cdot g’(t) \; dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \; dx$$

Weitere Regel

Eine weitere Regel wollen wir euch nicht vorenthalten, welche keinen speziellen Namen trägt, aber unter Umständen zur Bestimmung von einer Stammfunktion beiträgt.

$$\int \frac{f’(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c$$

Beispiele

$$\int \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \; dx = \ln|x^3+2x| + c$$ $$\int \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} \; dx = \ln|\cos(x)| + c$$

Oft kann man einen Bruch auch splitten/ergänzen um einen Teilausdruck mittels dieses Verfahrens zu integrieren und den verbleibenden Rest über ein anderes Verfahren zu integrieren.

Übungsaufgaben

Zu dieser Lektion gibt es keine Aufgaben.

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