Mathe F15: Definitionsbereich einer Funktion

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Laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

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F15 Maximalen Definitionsbereich einer Funktion bestimmen

Was ist der maximale Definitionsbereich (Definitionsmenge) einer Funktion und wie bestimmt man ihn. Wir wiederholen die Zahlenmengen und die Definition von Mengen, D = { x∈ ℝ: x ≥ 3 }. Einschränkung des Definitionsbereichs bei Wurzelgleichungen und Bruchgleichungen.

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Wissen zur Lektion

Warum braucht man den Definitionsbereich?

Wenn man sich mit einer Kurvendiskussion befassen will oder auch in anderen Bereichen, so ist es oft notwendig sich um den Definitionsbereich zu kümmern, um sich ein besseres Bild des Graphen machen zu können. Bei Funktionen stellt sich die Frage, ob für die Funktion f(x) = y für jeden Wert von x auch ein Wert von y entstehen kann, ohne dass ein “nicht definiert” erscheint. Man kann den Definitionsbereich auch als Suche beschreiben, die die folgende Frage beantwortet:

“Was darf ich für x einsetzen?”

Beispiel 1: Lineare Gleichung

Schauen wir uns doch einmal ein paar Beispiele an, wo wir genau auf diese Fragestellung treffen:

$$f(x) = 3x + 5$$

Hier haben wir kein Problem. Egal welches x wir einsetzen, wir erhalten stets einen Wert.

Beispiel 2: Wurzel

$$g(x) = \sqrt{x}$$

Hier müssen wir darauf achten, dass Wurzeln nie negativ werden dürfen. Wir müssen also Einschränkungen an x vornehmen um sicherzustellen, dass keine ungültigen Werte herauskommen. Dabei nutzen wir folgende Schreibweise:

$$D = \mathbb R^{+}_{0}$$

Das wird dann gelesen als “alle positiven reellen Zahlen inklusive der 0”, denn auch diese ist erlaubt. Bei Bedarf kann man das auch anders schreiben:

$$D = \{x \in \mathbb R |x \geq 0\}$$

Dabei bedeutet der senkrechte Strich nichts anderes als “mit” oder “unter der Bedingung”.

Beispiel 3: Logarithmus

$$h(x) = \ln(x+3)$$

Bei dem Logarithmus haben wir eine weitere Einschränkung. Hier darf der Numerus nie negativ werden - wie auch bei den Wurzeln - weiterhin ist aber auch der Wert 0 nicht erlaubt. Folglich muss \(x+3 > 0\) sein und damit \(x > -3\). Das führt dann auf:

$$D = \{x \in \mathbb R |x > -3\}$$

Beispiel 4: Bruch

$$k(x) = \frac{x+1}{x-1}$$

Bei einem Bruch wissen wir, dass wir Probleme haben, sobald der Nenner 0 wird. Das ist hier der Fall für x = 1. Wir müssen x = 1 ausnehmen.

$$D = \mathbb R \backslash\{1\}$$

Der Backslash “\” ist dabei also “ohne” zu übersetzen.

$$m(x) = \frac{x-3}{x-3}$$

Auch hier sehen wir sofort, dass x = 3 keine Lösung bietet. Denn dann würde man durch 0 dividieren. Allerdings könnte man hier ja mit x-3 kürzen und hätte dann m’(x) = 1 stehen.

Es gilt zu beachten, dass die Definitionsmenge immer bezüglich der Ursprungsfunktion zu untersuchen ist. Hier hätte man es also wie direkt gesehen mit \(D = \mathbb R \backslash\{3\}\) zu tun und nicht etwa mit \(D = \mathbb R\).

Man spricht hier übrigens von einer “hebbaren Definitionslücke”, welche in einem späteren Kapitel genauer untersucht werden soll.

Letzte Anmerkung: Statt des Begriffs “Definitionsbereich” wird auch häufig der Begriff “Definitionsmenge” verwendet.

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Tags: Polynomfunktionen
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