Mathe F16: Exponentialfunktionen

Inhalte:

Laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

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F16-1 Exponentialfunktionen - Definition und Graphen

Wir definieren die Exponentialfunktion, legen die Definitionsmenge fest und schauen uns den Verlauf der Graphen an (gemeinsame Punkte, Monotonie).

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Wissen zur Lektion

Was ist eine Exponentialfunktion?

Wir kennen bereits die ganzrationalen Funktionen mit Funktionstermen wie x, x², x²+2, x³ + x + 1 usw. Also namentlich lineare Funktionen, quadratische Funktionen, kubische Funktionen etc. Als nächstes lernen wir einen weiteren Typ kennen, und zwar die Exponentialfunktionen. Mit deren Hilfe lassen sich Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Natur beschreiben.

Bei den Exponentialfunktionen ist die Unbekannte x im Exponenten, daher auch der Name. Zum Beispiel: 3x, 5x, 100x, … Dabei ist die Basis festgelegt, ein konstanter Wert.

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:

f(x) = ax

x ∈ R, a ist konstant und positiv, außerdem a ≠ 0 (da sonst 00 dabei wäre und dies ist problematisch)

a muss stets positiv sein, denn wenn a negativ wäre, dann erhalten wir beispielsweise (-2)(1/2) = √-2 = nicht definiert

Graphen der Exponentialfunktion

Es gibt drei Fälle von Verläufen für die Exponentialfunktion f(x) = ax zu einer positiven Basis a:

Fall 1 mit a = 1

Dann ist f(x) = 1x = 1. Wir erhalten also eine konstante Funktion.

~plot~ 1^x ~plot~

Da sich eine konstante Funktion ergibt, schließt man die 1 per Definition aus, also: a ∈ R \ { 1 }

Fall 2 mit a > 1

Dann erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion. Die y-Werte sind alle positiv und reell. Beispiele: f(x) = 3x; g(x) = 5x

~plot~ 3^x; 5^x ~plot~

Hier kann man gut einen Wachstumsprozess erkennen.

Fall 3 mit 0 < a < 1

Dann erhalten wir eine streng monoton fallende Funktion. Die y-Werte sind alle positiv und reell. Beispiele: f(x) = (1/3)x; g(x) = (1/5)x

~plot~ (1/3)^x;(1/5)^x ~plot~

Hier kann man gut einen Zerfallsprozess erkennen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

1. Besondere Punkte

Werte an der Stelle 0:

f(x) = ax | x = 0

f(0) = a0 = 1

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit ist Punkt S(0|1) für jede Exponentialfunktion “gemeinsamer Punkt”. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer der Punkt S(0|1).

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;1;zoom[[-2|3|-2|6]] ~plot~

Werte an der Stelle 1:

f(x) = ax | x = 1

f(0) = a1 = a

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit gilt Punkt P(1|a) für jede Exponentialfunktion. Wenn wir wissen wollen, welche Basis die Exponentialfunktion hat, können wir dies bei x = 1 tun.

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;x=1;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

2. Definitionsbereich

Definitionsbereich: x ∈ R

Wertebereich: y kann nie negativ werden, da ax bei a > 1 nie negativ wird. Auch wenn x negativ ist, zum Beispiel a-4 erhalten wir einen positiven Wert mit 1 / a4.

3. Monotonie

Streng monoton steigend, wenn a > 1

~plot~ 2^x ~plot~

Streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1

~plot~ 0.5^x ~plot~

4. Symmetrie

Exponentialfunktionen sind nicht symmetrisch, weder zur x-Achse noch zur y-Achse.

Jedoch betrachten wir folgende Graphen: f(x) = 2x und g(x) = (1/2)x erkennen wir, dass diese Graphen symmetrisch zueinander sind bezüglich der y-Achse.

f(x) = ax
g(x) = a-x = 1 / ax

g(-x) = a-(-x) = ax

Damit: f(x) = g(-x)

→ f(x) ist identisch zu g(-x).

→ f(x) ist symmetrisch zu g(x).

Das bedeutet eine Spiegelung an der y-Achse.

~plot~ 2^x;0.5^x ~plot~

5. Nullstellen

Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen.

~plot~ 0.2^x;2^x;3^x;5^x;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

6. Wachstum

Je größer x ist, desto größer ist y (sofern a > 1).

~plot~ 3^x;7^x ~plot~

7. Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.

f(x) = ax = y   | umkehren

f(y) = ay = x

ay = x   | loga

loga(ay) = loga(x)

y·loga(a) = loga(x)   | loga(a) = 1

y·1 = loga(x)

y = loga(x)

f(x) = loga(x) = y

Exponentielles Wachstum

Für Berechnungen bei Exponentialfunktionen benötigt man oft die Potenzregeln und den Logarithmus (so wie wir es schon in der Lektion Exponentialgleichungen gesehen hatten). Rechnen wir ein paar Beispiele:

Beispielaufgabe 1: y = 10 bei f(x) = 2x

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2x?

Lösung:

f(x) = 2x = 10

2x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2xx = 10   | ln

ln(2x) = ln(10)

x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)

x = ln(10) : ln(2)

x ≈ 3,3219

Antwort:

Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.

Beispielaufgabe 2: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Vorüberlegung: Anzahl an Bakterien z

0. Stunde: z = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2·2 = 4000
3. Stunde: z = 1000 · 2·2·2 = 8000

Lösung:

0. Stunde: z = 1000 · 20 = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 21 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 22 = 4000
x. Stunde: z = 1000 · 2x = 10000

f(t) = 1000 * 2t

2t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2t = 10   | ln
ln(2t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3,322 h
t = 3 h 20 min (aufgerundet, damit wir mindestens 10 mal so viele Bakterien haben)

Antwort: In 3 Stunden 20 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

Exponentielle Abnahme / Exponentieller Zerfall

Exponentialfunktionen können entweder monoton steigend oder monoton fallend sein. Sind sie monoton fallend, so beschreiben sie einen Abnahmeprozess. Im Folgenden zwei Aufgaben hierzu, die uns zeigen, wie wir Exponentialfunktionen zur Lösung solcher Aufgaben verwenden können.

Beispielaufgabe: Abnahme der Lichtintensität

Die Lichtintensität nimmt bei klarem Wasser alle 6 m um die Hälfte ab. Nach wie vielen Metern ist die Lichtintensität auf 1/16 gesunken?

Lösung mit Vorüberlegungen:

1. Schritt: 100 % : 2 = 50 %
2. Schritt: 100 % : 2 : 2 = 25 %
3. Schritt: 100 % : 2 : 2 : 2 = 12,5 %
4. Schritt: 100 % : 2 : 2 : 2 : 2 = 6,25 %

Als Multiplikationen schreiben:

1. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} = 50 \% \)
2. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 25 \% \)
3. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 12,5 \% \)
4. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 6,25 \% \)

Die Brüche können wir nun als Potenzen schreiben:

1. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^1 = 50 \% \)
2. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^2 = 25 \% \)
3. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^3 = 12,5 \% \)
4. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^4 = 6,25 \% \)

Eine Exponentialfunktion lässt sich daraus aufstellen, wobei p die Lichtintensität sein soll:

x. Schritt: \( f(x) = 100 \% · (\frac{1}{2})^x = p \)

Die 100 % sind ja 1, damit brauchen wir sie nicht mitzuschreiben:

x. Schritt: \( f(x) = (\frac{1}{2})^x = p \)

Diese Exponentialfunktion können wir als Graph zeichnen und erkennen gut die exponentielle Abnahme:

~plot~ 0,5^x;zoom[[-0,5|7|-0,25|1,5]] ~plot~

Als nächstes überlegen wir, dass wir \( p = \frac{1}{16} \) haben wollen. Setzen wir den Wert ein und lösen die Gleichung:

$$ f(x) = (\frac{1}{2})^x = p \quad | p = \frac{1}{16} \\ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{16} \\ \frac{1^x}{2^x} = \frac{1}{16} \\ \frac{2^x}{1^x} = \frac{16}{1} \\ 2^x = 16 \quad | \text{abzulesen mit x = 4} \\ x = 4 $$

Im 4. Schritt erreichen wir also die geforderte Lichtintensität \( p = \frac{1}{16} \). Je Schritt sind es 6 m, damit ergibt sich die gesuchte Tiefe h mit h = 4 · 6 m = 24 m.

Antwortsatz: Nach 24 m haben wir eine Lichtintensität von nur noch 1/16.

Beispielaufgabe: Abnahme der Temperatur

Ein Tee hat die Anfangstemperatur von 80 °C. Er wird in einer Kanne bei einer Außentemperatur von 0 °C aufbewahrt. Pro Stunde sinkt die Temperatur um 12 %. Gib eine Funktion an, die die Temperatur des Tees (in °C) nach der Zeit t (in Stunden) beschreibt.

Lösung mit Vorüberlegungen:

Gesucht ist eine Exponentialfunktion, die uns die Temperatur T berechnet, in Abhängigkeit von der eingesetzten Zeit t, also f(t) = ... = T

Wenn wir 12 % abziehen, bleiben 100 % - 12 % = 88 % übrig. Erinnern wir uns an die Prozentrechnung, dort hatten wir gelernt, dass wir einen Anteil berechnen (den Prozentwert), indem wir mit dem Prozentsatz multiplizieren. Das heißt, wenn wir 88 % haben wollen, müssen wir einfach x·88 % rechnen bzw. x·0,88. Wenn wir die Temperatur nach 1 Stunde haben wollen, müssen wir die Anfangstemperatur von 80 °C mit 88 % multiplizieren:

1. Stunde: 80 °C · 0,88 = 70,4 °C

Für die 2. Stunde sind wieder 12 % abzuziehen, dass heißt wir multiplizieren das Ergebnis von 70,4 °C mit 0,88. Bedenken wir, dass 80 °C · 0,88 = 70,4 °C ist, so können wir notieren:

1. Stunde: 80 °C · 0,88 = 70,4 °C
2. Stunde: 70,4 °C · 0,88 = 61,952 °C
bzw.
2. Stunde: 80 °C · 0,88 · 0,88 = 61,952 °C

Für jede Stunde wird wieder mit 0,88 multipliziert. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet demnach:

t. Stunde: f(t) = 80 °C · 0,88x = T

Dies ist bereits die Lösung der Aufgabe!

Antwortsatz: Die Abnahme der Temperatur des Tees kann mit der Exponentialfunktion f(t) = 80 °C · 0,88x = T beschrieben werden, wobei t die Stunden darstellt und T die resultierende Temperatur.

Wer möchte, kann diese Exponentialfunktion noch als Graph zeichnen, dann erkennt man sehr gut die exponentielle Abnahme:

~plot~ 80*0,88^x;zoom[[-2|40|-10|90]] ~plot~

Natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)

Eine besondere Exponentialfunktion ist f(x) = ex, die wir uns später ansehen, man bezeichnet sie als “natürliche Exponentialfunktion” oder “e-Funktion”. Die eulersche Zahl e hat den Wert von 2,71828... Den Nutzen dieser e-Funktion lernen wir in der Differentialrechnung kennen (ihr y-Wert gibt den Steigungswert in dem jeweiligen Punkt an).

Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus lässt sich jede Exponentialfunktion auf eine e-Funktion zurückführen! Und zwar mit Hilfe der Formel: ax = e(x · ln a)

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Tags: Polynomfunktionen

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