Mathe F16: Exponentialfunktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10., 11. Klasse

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Wissen zur Lektion

Was ist eine Exponentialfunktion?

Wir kennen bereits die ganzrationalen Funktionen mit Funktionstermen wie x, x², x²+2, x³ + x + 1 usw. Also namentlich lineare Funktionen, quadratische Funktionen, kubische Funktionen etc. Als nächstes lernen wir einen weiteren Typ kennen, und zwar die Exponentialfunktionen. Mit deren Hilfe lassen sich Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Natur beschreiben.

Bei den Exponentialfunktionen ist die Unbekannte x im Exponenten, daher auch der Name. Zum Beispiel: 3x, 5x, 100x, … Dabei ist die Basis festgelegt, ein konstanter Wert.

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:

f(x) = ax

x ∈ R, a ist konstant und positiv, außerdem a ≠ 0 (da sonst 00 dabei wäre und dies ist problematisch)

a muss stets positiv sein, denn wenn a negativ wäre, dann erhalten wir beispielsweise (-2)(1/2) = √-2 = nicht definiert

Graphen der Exponentialfunktion

Es gibt drei Fälle von Verläufen für die Exponentialfunktion f(x) = ax zu einer positiven Basis a:

Fall 1 mit a = 1

Dann ist f(x) = 1x = 1. Wir erhalten also eine konstante Funktion.

~plot~ 1^x ~plot~

Da sich eine konstante Funktion ergibt, schließt man die 1 per Definition aus, also: a ∈ R \ { 1 }

Fall 2 mit a > 1

Dann erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion. Die y-Werte sind alle positiv und reell. Beispiele: f(x) = 3x; g(x) = 5x

~plot~ 3^x; 5^x ~plot~

Hier kann man gut einen Wachstumsprozess erkennen.

Fall 3 mit 0 < a < 1

Dann erhalten wir eine streng monoton fallende Funktion. Die y-Werte sind alle positiv und reell. Beispiele: f(x) = (1/3)x; g(x) = (1/5)x

~plot~ (1/3)^x;(1/5)^x ~plot~

Hier kann man gut einen Zerfallsprozess erkennen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

1. Besondere Punkte

Werte an der Stelle 0:

f(x) = ax | x = 0

f(0) = a0 = 1

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit ist Punkt S(0|1) für jede Exponentialfunktion “gemeinsamer Punkt”. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer der Punkt S(0|1).

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;1;zoom[[-2|3|-2|6]] ~plot~

Werte an der Stelle 1:

f(x) = ax | x = 1

f(0) = a1 = a

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit gilt Punkt P(1|a) für jede Exponentialfunktion. Wenn wir wissen wollen, welche Basis die Exponentialfunktion hat, können wir dies bei x = 1 tun.

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;x=1;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

2. Definitionsbereich

Definitionsbereich: x ∈ R

Wertebereich: y kann nie negativ werden, da ax bei a > 1 nie negativ wird. Auch wenn x negativ ist, zum Beispiel a-4 erhalten wir einen positiven Wert mit 1 / a4.

3. Monotonie

Streng monoton steigend, wenn a > 1

~plot~ 2^x ~plot~

Streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1

~plot~ 0.5^x ~plot~

4. Symmetrie

Exponentialfunktionen sind nicht symmetrisch, weder zur x-Achse noch zur y-Achse.

Jedoch betrachten wir folgende Graphen: f(x) = 2x und g(x) = (1/2)x erkennen wir, dass diese Graphen symmetrisch zueinander sind bezüglich der y-Achse.

f(x) = ax
g(x) = a-x = 1 / ax

g(-x) = a-(-x) = ax

Damit: f(x) = g(-x)

→ f(x) ist identisch zu g(-x).

→ f(x) ist symmetrisch zu g(x).

Das bedeutet eine Spiegelung an der y-Achse.

~plot~ 2^x;0.5^x ~plot~

5. Nullstellen

Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen.

~plot~ 0.2^x;2^x;3^x;5^x;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

6. Wachstum

Je größer x ist, desto größer ist y (sofern a > 1).

~plot~ 3^x;7^x ~plot~

7. Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.

f(x) = ax = y   | umkehren

f(y) = ay = x

ay = x   | loga

loga(ay) = loga(x)

y·loga(a) = loga(x)   | loga(a) = 1

y·1 = loga(x)

y = loga(x)

f(x) = loga(x) = y

Berechnungen

Für Berechnungen bei Exponentialfunktionen benötigt man oft die Potenzregeln und den Logarithmus (so wie wir es schon in der Lektion Exponentialgleichungen gesehen hatten). Rechnen wir ein paar Beispiele:

Beispielaufgabe 1:

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2x?

Lösung:

f(x) = 2x = 10

2x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2xx = 10   | ln

ln(2x) = ln(10)

x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)

x = ln(10) : ln(2)

x ≈ 3,3219

Antwort:

Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.

Beispielaufgabe 2: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Lösung:

1000 * 20 = 1000
1000 * 21 = 2000
1000 * 22 = 4000
1000 * 2x = 10000

f(t) = 1000 * 2t

2t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2t = 10   | ln
ln(2t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3.322 h
t = 3 h 19 min

Antwort: Nach ca. 3 Stunden 19 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

Natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)

Eine besondere Exponentialfunktion ist f(x) = ex, die wir uns später ansehen, man bezeichnet sie als “natürliche Exponentialfunktion” oder “e-Funktion”. Die eulersche Zahl e hat den Wert von 2,71828... Den Nutzen dieser e-Funktion lernen wir in der Differentialrechnung kennen (ihr y-Wert gibt den Steigungswert in dem jeweiligen Punkt an).

Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus lässt sich jede Exponentialfunktion auf eine e-Funktion zurückführen! Und zwar mit Hilfe der Formel: ax = e(x · ln a)

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Tags: Polynomfunktionen

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