Mathe F09: Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

In diesen Mathevideos bestimmen wir die Gleichung einer linearen Funktion (die sogenannte Geradengleichung), indem wir die Steigung ermitteln und dann einen Punkt in die Normalform einsetzen. Voraussetzung zum Verstehen der Videos ist, dass ihr die Lektion F03 Lineare Funktionen in Normalform gesehen habt. Denn dann wisst ihr, wie sich die Steigung eines linearen Graphen und der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet.

Mathe-Video F09-1 Gleichung einer linearen Funktion bestimmen

Wir zeigen, wie man mit Hilfe von 2 Punkten die Funktionsgleichung (Geradengleichung) eines linearen Graphen bestimmt. Anschließend Herleiten der Punkt-Steigungs-Form und Anwendung bei nur 1 Punkt und gegebener Steigung.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F09-2 Gleichung einer linearen Funktion bestimmen
    Aufgabe zur Punkt-Steigungs-Form: Gleichung der Geraden bestimmen, die parallel zu einer anderen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft. Erklärung der Bestandteile der Punkt-Steigungs-Form visuell im Koordinatensystem.
  • F09-3 Gleichung einer linearen Funktion bestimmen
    Funktionsgleichung aus 2 Punkten ermitteln mit Hilfe vom Linearen Gleichungssystem und der Normalform. Anwendung von Gleichsetzungsverfahren und Subtraktionsverfahren.
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Nutzt als nächstes die Lernprogramme und Übungsaufgaben, um euer Wissen zu testen.

Wissen zur Lektion

Normalform einer linearen Funktion

Die Normalform einer linearen Funktion sieht so aus:

f(x) = m·x + n

Dabei entspricht das m der Steigung und das n steht für den y-Achsenabschnitt, beschreibt also in welcher Höhe die y-Achse geschnitten wird.

Für f(x) = 2·x + 4 wird die y-Achse in einer Höhe von 4 geschnitten und die Steigung beträgt 2.

Linearer Graph

Lineare Funktion aufstellen

Es ist möglich die Gleichung einer linearen Funktion aus gewissen Bedingungen selbst aufzustellen. Dazu müssen zwei Bedingungen bekannt sein. Das können entweder zwei Punkte sein oder aber die Steigung und ein weiterer Punkt. Für letzteres wird die Punktsteigungsform benutzt, für ersteres die Zweipunkteform. Alternativ kann man auch ein Gleichungssystem aufstellen (vgl. Lektion F05).

1. Punktsteigungsform

Werden ein Punkt und die Steigung einer linearen Funktion vorgegeben, so kann man die Normalform mittels der Punktsteigungsform angeben. Diese lautet:

f(x) = m·(x - x1) + y1

Hier ist m die Steigung der Funktion und ein Punkt P bildet sich aus P(x1|y1).

An einem Beispiel sieht das dann so aus:

„Gib die Normalform der linearen Funktion an. Bekannt sei m = 2 und P(-1|3).“

f(x) = m·(x - x1) + y1

f(x) = 2·(x - (-1)) + 3

f(x) = 2·(x + 1) + 3

f(x) = 2·x + 2·1 + 3

f(x) = 2·x + 5

Die Normalform lautet also f(x) = 2·x + 5.

2. Zweipunkteform

Hat man nun nicht die Steigung gegeben, sondern stattdessen zwei Punkte, so kann man weiterhin die lineare Funktion aufstellen, auch wenn eine andere Formel verwendet werden muss. Das ist die Zweipunkteform. Diese lautet:

f(x) = (y2 - y1) / (x2 - x1) · (x - x1) + y1

Dabei ist der erste Faktor (y2 - y1) / (x2 - x1) nichts anderes als die Steigung m, wie wir sie bereits kennengelernt haben.

An einem Beispiel sieht das dann so aus:

„Bestimme die lineare Funktion, die durch die Punkte A(1|2) und B(4|5) geht“.

f(x) = (y2 - y1) / (x2 - x1) · (x - x1) + y1

f(x) = (5 - 2) / (4 - 1) · (x - 1) + 2

f(x) = 3/3 · (x - 1) + 2

f(x) = 1 · (x - 1) + 2

f(x) = x - 1 + 2

f(x) = x + 1

Die Gleichung der linearen Funktion lautet also f(x) = x + 1.

3. Lineares Gleichungssystem

Eine weitere Möglichkeit, eine lineare Funktion aufzustellen und dabei nicht auf einer der obigen Formel zurückzugreifen, ist die Verwendung eines linearen Gleichungssystems. Dazu nehmen wir das Beispiel von oben mit den beiden Punkten A(1|2) und B(4|5). Mit dem Wissen, dass eine Geradengleichung die Form f(x) = m·x + n hat, kann man nun zwei Gleichungen aufstellen. Mit zwei Unbekannten, aber auch zwei Gleichungen, kann man die Parameter m und n bestimmen. Setzen wir den jeweiligen Punkt in f(x) = m·x + n = y ein und stellen so die beiden Gleichungen auf:

2 = m·1 + n

5 = m·4 + n

Beide Seiten nach n aufgelöst.

n = 2 - m

n = 5 - 4·m

Nun sieht man, dass n durch zwei Arten ausgedrückt werden kann. Das muss also jeweils dem Gleichen entsprechen. Nutzen wir dafür das sogenannte Gleichsetzungsverfahren und setzen, wie der Name verlangt, beide Gleichungen gleich.

n = n

2 - m = 5 - 4·m     | +4·m - 2

3·m = 3     | :3

m = 1

Den Wert für n setzen wir nun in eine der beiden oberen Gleichungen ein, um n zu bestimmen.

2 = m·1 + n     | n=1

2 = 1·1 + n

n = 2 - 1

n = 1

Es ergibt sich damit insgesamt: f(x) = 1·x + 1 = x + 1, wie wir es auch schon im Beispiel davor ermittelt hatten.

Spezialaufgaben

Beim Aufstellen von linearen Funktionen ist es von großer Bedeutung, dass man in der Lage ist, die notwendigen Informationen aus dem Text herauszuziehen. Dabei können wichtige Hinweise in Begriffen wie „parallel“ oder „senkrecht“ versteckt sein.

So mag eine Aufgabe beispielsweise lauten: „Bestimme die lineare Funktion durch den Punkt A(2|3), welche parallel zur Geraden g(x) = 2·x + 3 ist.“

Dem Betrachter dieser Aufgabe muss nun klar sein, dass „parallel“ ein anderes Wort für „haben die gleiche Steigung“ ist. Somit ist aus obigen Text die Information zu ziehen: „Die gesuchte Gerade geht durch den Punkt A(2|3) und sie hat die Steigung m = 2.“

Mit den obigen Lösungsverfahren (Punktsteigungsform bietet sich hier an) erhält man die gesuchte Gerade f(x) = 2·x - 1.

Parallele Geraden

Um ein Beispiel mit „senkrecht“ anzuführen, könnte eine Aufgabe lauten:

„Die gesuchte Gerade geht durch den Punkt A(2|3) und steht senkrecht (oder auch orthognal) auf g(x) = 2·x + 3.“

Die Steigung der gesuchten Geraden lässt sich fast direkt ablesen. Dazu muss man sich erinnern, dass für zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden gilt: m1 · m2 = -1 (vgl. Lektion Schnittpunkte von linearen Graphen). Wir kennen nun m1 = 2, somit ist m2 = -1/2. Mit der nun vorhandenen Steigung können wir uns wiederum der Punktsteigungsformel bedienen und die gesuchte Gerade zu f(x) = -1/2 · x + 4 bestimmen.

Zueinander senkrechte Geraden

Mathe-Programme Lineare Funktionen

Die Steigung eines linearen Graphen wird allgemein meist mit m bezeichnet (einer sogenannten Variablen). m steht vor dem x. Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von Höhe zu Breite. Eine Steigung kann positiv, negativ, null oder sogar "nicht definiert" sein. Im Folgenden könnt ihr die Lernprogramme nutzen, um euer Wissen zu den linearen Funktionen zu testen:

Lineare Funktion: Geradengleichung aus 2 Punkten

Punkt-Steigungs-Form: 1 Punkt und Steigung

Punkt-Steigungs-Form II

Punkt-Steigungs-Form und Normalform

  • Lineare Funktion aus 2 Punkten
    Lineare Funktion aus 2 Punkten
    Dieses Programm berechnet aus zwei Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Gebt auch eigene Punkte ein. Zusätzlich wird euch der Rechenweg angezeigt.
  • Punkt-Steigungs-Form
    Punkt-Steigungs-Form
    Wählt einen beliebigen Punkt und eine beliebige Steigung für den linearen Graphen. Die Funktionsgleichung wird euch berechnet.
  • Punkt-Steigungs-Form II
    Punkt-Steigungs-Form II
    Legt die Steigung der linearen Funktion fest und verschiebt dann den Punkt A. Die entstehende Geradengleichung wird angezeigt.
  • Punkt-Steigungs-Form und Normalform
    Punkt-Steigungs-Form und Normalform
    Gegenüberstellung von Normalform und Punkt-Steigungs-Form bei linearen Funktionen. Die Koeffizienten sind veränderbar, der Punkt verschiebbar.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

A: Bestimme die Funktionsgleichungen aus den gegebenen Informationen.

a) A(2|3), B(5|3)

b) A(2|3), B(7|13)

c) A(6|2), B(-5|-3,5)

d) m = 3 und A(7|2)

e) m = -0,5 und A(2|2)

f) Graph verläuft durch den Ursprung und m = 2

g) Parallel zur Geraden g(x), welche sich bildet durch m = 2 und A(2|3). Die gesuchte Gerade f(x) geht durch B(2|4).

h) Parallel zur Geraden g(x), welche sich bildet durch A(2|3) und B(7|18). Sie ist um 2 nach oben verschoben.

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Punktsteigungsform, Punktsteigungsformel, Punkt-Steigungs-Formel

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