GEO05: Parallelogramm

Inhalte:

Laut Lehrplan: 7. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Das Parallelogramm ist eine geometrische Figur, ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Daraus folgt auch, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein müssen. Schauen wir uns im Folgenden alle Formeln zum Parallelogramm an sowie deren Herleitung und Anwendung.

GEO05-1 Was ist ein Parallelogramm

Zuerst klären wir, was Parallelogramm heißt, dann definieren wir die geometrische Figur als Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Parallelogramm?

Ein Parallelogramm (auch "Rhomboid") ist ein Viereck, eine geometrische Figur, die aus 4 Seiten besteht. Dabei sind die 2 jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander. Aneinanderliegende Seiten bilden jeweils Winkel, die Größen zwischen 0° und 180° annehmen können. Die Summe aller Innenwinkel beträgt 360°.

Merkmale des Parallelogramms

  • Das Parallelogramm hat 4 Ecken, 4 Seiten und 1 Fläche.
  • Alle Innenwinkel sind zwischen 0° und 180° groß.
  • Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
  • Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
  • Die Flächendiagonalen haben unterschiedliche Längen, sofern alle Winkel ungleich 90° sind.
  • Die Flächendiagonalen schneiden sich in einem Punkt, der beide Diagonalen halbiert.
  • Betrachtet man den Schnittpunkt der beiden Flächendiagonalen und alle Punkte des Parallelogramms, so erkennt man jeweils 2 zueinander kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke.
  • Ein Parallelogramm gehört zur Gruppe der Polygone (Vielecke).
  • Stehen beim Parallelogramm alle Seiten im rechten Winkel zueinander (bzw. sind alle Innenwinkel rechte Winkel), so spricht man von einem Rechteck. Sind zusätzlich noch alle Seiten gleich lang, so spricht man von einem Quadrat.
  • Sind beim Parallelogramm alle Seiten gleich lang und die Innenwinkel keine rechten Winkel, so spricht man von einer Raute (Rhombus).
  • Die Parallelogrammgleichung lautet e2+f2 = 2·(a2+b2).
  • Es gibt keinen Inkreis und keinen Umkreis*.

Alle Parallelogrammformeln auf einen Blick

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Parallelogramms:

parallelogramm formeln

Flächenformel

Die Fläche des Parallelogramms erhält man, wenn man eine Seite mit deren Höhe multipliziert, in etwa so wie beim Rechteck, nur dass die "Höhe" beim Rechteck einer Seite entspricht. Warum funktioniert dies? Stellt euch das Parallelogramm wie folgt zerlegt vor:

Parallelogramm Fläche

Hier erkennt ihr, dass durch die eingezeichnete Höhe das blaue Dreieck entsteht. Verschieben wir dieses nun nach rechts, erkennen wir, dass sich ein Rechteck ergibt. Mit anderen Worten, die Flächen des Parallelogramms (oben) und des Rechtecks (unten) sind gleich. Wir können also beide Flächen berechnen, indem wir Seite mal Höhe rechnen.

Wortherkunft

Das Wort "Parallelogramm" ist ein zusammengesetztes Wort aus "parallelo" und "gramm". "parallel" kommt von griechisch "parallelos" und heißt "nebeneinanderstehend, gleichlaufend" ("para" = "neben" und "allelon" = "einander, gegenseitig"), "gramma" kommt auch aus dem Griechischen und heißt "Zeichen, Geschriebenes". Das Wort "Rhomboid" kommt vom griechischen "rhomboeidés", das "einen Rhombus ähnelnd" meint. Rhombus (siehe Raute) heißt wiederum "verschobenes Quadrat".

Mathe-Programme

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr das Programme, das wir im Video einsetzen: Parallelogramm. Damit könnt ihr eure Hausaufgaben lösen bzw. eure Lösungen kontrollieren.

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Tags: Rechteck und Parallelogramm

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