STE04: Quadratische Pyramide

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Um die Lektion verstehen zu können, müsst ihr unbedingt den Satz des Pythagoras beherrschen. Wer ihn noch nicht anwenden kann, schaut sich das Video TRI03-2 bei uns an, ansonsten könnt ihr die Herleitungen der Formeln nicht verstehen. Zu den Pyramiden gibt es vieles neues interessantes Wissen, viel Spaß dabei:

Mathe-Video STE04-1 Quadratische Pyramide - Bestandteile, Herleitung Formeln

Bestandteile der Pyramide: Seite a, Höhe der Pyramide h, Seitenkante s, Höhe auf Seite a, Diagonale d, Grundfläche, Seitenfläche, Oberfläche, Volumen. Herleitung der Formeln für die Seitenkante s und die Höhe h_a sowie für die Diagonale. Unterschied gerade und schiefe Pyramide.

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  • STE04-2 Quadratische Pyramide - Herleitung Flächenformeln, Volumen

    Wir leiten die Formeln für Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche her. Wir zeigen, wie die Volumenformel lautet und wie man sie sich besser merken kann. Am Ende fassen wir alle Formeln zu den Pyramiden zusammen.

  • STE04-3 Quadratische Pyramide - Aufgaben

    Zuerst Übersicht aller Formeln. Dann lösen wir die Aufgabe: Gegeben sind Höhe h und Seite a und wir berechnen alle Bestandteile der Pyramide. Nächste Aufgabe: Es sind nur Seite a und Oberfläche gegeben, die Höhe ist zu bestimmen.

  • STE04-4 Quadratische Pyramide - Aufgaben II

    Wir stellen eine Formel für Seite a auf, wenn nur Seitenkante s und Mantelfläche M gegeben sind. Wir substituieren und prüfen auf Scheinlösungen, um das korrekte Ergebnis zu ermitteln.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Pyramide?

Eine quadratische Pyramide ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer quadratischen Grundfläche und einer umlaufenden Mantelfläche, die aus vier gleichschenkligen Dreiecken besteht. Diese Dreiecke stehen in spitzem Winkel auf der Grundfläche und treffen sich oben in einem Punkt (die Spitze der Pyramide). Da bei diesem Körper Dreiecke, die in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, eine wesentliche Rolle spielen, braucht man für die Berechnungen an der Pyramide vor allem den Satz des Pythagoras.

Wortherkunft

Das Wort "Pyramide" kommt vom lateinischen "pyramis" und ging aus dem Ägyptischen hervor (wahrscheinlich "pmr", gesprochen "pimar"). Die Bedeutung des Wortes konnte nicht eindeutig geklärt werden. Die Ägypter nannten Pyramiden "pr.ntr" (gesprochen "per-neter"), wobei "per" Haus bedeutet und "neter" Gott. Demzufolge war mit Pyramide wahrscheinlich ein Gotteshaus gemeint.

Abbildungen von Pyramiden

Pyramide mit Flächen - Grafik Pyramide mit Durchmesser - Grafik Pyramide mit Winkel Seitenfläche und Seitenkante - Grafik

Merkmale einer Pyramide

  • Der Pyramide hat 5 Einzelflächen (1 Quadrat und 4 Dreiecksflächen), 5 Ecken (inklusive der Spitze) und 8 Seiten (4 Kanten der Grundfläche plus 4 Kanten der Mantelfläche).
  • Die Quadratsfläche am Boden nennt man Grundfläche und die 4 Dreiecksflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
  • Die Pyramide ist achsensymmetrisch zur Pyramidenhöhe, also der Senkrechten, die durch die Pyramidenspitze und den Mittelpunkt der Grundfläche (auch "Fußpunkt" genannt) verläuft.
  • Die Diagonale verläuft diagonal auf der Grundfläche, sie wird über den Satz des Pythagoras berechnet.
  • Die Seitenkanten (auch Mantellinien genannt) sind alle Linien, die sich auf den Kanten der Mantelfläche befinden und von den Ecken der Grundfläche direkt zur Pyramidenspitze führen.
  • Die direkte Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide wird "Höhe der Pyramide" bezeichnet. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.
  • Die Höhe ha meint die Strecke, die auf der Seite a steht und direkt zur Pyramidenspitze führt, dabei verläuft sie auf der Mantelfläche.
  • Die Pyramidenoberfläche ergibt sich aus Addition der Grundfläche mit der Mantelfläche.
  • Das Pyramidenvolumen ist der Rauminhalt, der durch die Pyramidenoberfläche begrenzt wird.

Formeln zur Pyramide

Um eine Pyramide beschreiben zu können, gibt es einige Begriffe, die man kennen muss. Das sind unter anderem die bekannten Begriffe wie “Mantelfläche”, “Oberfläche” und “Volumen”, doch gibt es speziell bei den Pyramiden auch die Bezeichnungen “Seitenkante” oder auch “Höhe der Seitenfläche”. Eine Sammlung all dieser Begriffe und die zugehörigen Formeln seien im folgenden Schaubild aufgeführt.

Pyramide Formeln mit Grafik

Die von uns betrachtete “gerade quadratische Pyramide” besteht also aus einer quadratischen Grundfläche mit der Grundseite a. Das “gerade Pyramide” liefert zudem den Hinweis, dass die Spitze sich genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche befindet, was durch die Höhe h beschrieben wird. Schauen wir uns im Folgenden die Formeln genauer an, wobei wir davon ausgehen, dass a und h immer gegeben seien.

Umfang u

Der Umfang entspricht ebenfalls dem eines Quadrats und ist mit u = 4·a anzugeben.

Diagonale d

Die Diagonale d ist uns schon von den Quadraten her bekannt. Wir haben hier eine quadratische Grundfläche und es ergibt sich damit d = √2·a

Höhe ha

Die Pyramide besitzt nicht nur eine Höhe im Allgemeinen, sondern auch die Seitenflächen haben eine Höhe. Diese Dreieckshöhen ha kann man mit Hilfe von a und h berechnen, wenn man nach rechtwinkligen Dreiecken Ausschau hält, um damit dann schließlich den Satz des Pythagoras anwenden zu können.

Pyramide mit Höhe ha

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich daraus:

ha = √(h² + (a/2)²)

Seitenkante/Mantellinie s

Die quadratische Pyramide besitzt 4 Seitenkanten (auch Mantellinien genannt). Auch hier kann die Länge über h und a ausgedrückt werden, wenn man sich wiederum den Satz des Pythagoras zur Hilfe nimmt.

Pyramide mit Seitenkante

Das Dreieck das man hier erkennen sollte, bildet sich aus der gesuchten Seite s, der Höhe h und dem x. Das x stellt dabei die halbe Diagonale der Grundfläche dar, also x = d/2 = √2·a/2. Quadriert man jetzt x, wie es der Pythagoras verlangt, so erhält man x² = (√2·a/2)² = a²/2. Damit ergibt sich die Formel:

s = √(h² + x²) = √(h² + a²/2)

Grundfläche G

Die Grundfläche entspricht der eines Quadrates und ist mit G = a² anzugeben.

Mantelfläche M

Wir haben vier gleichschenklige Dreiecke und können diese mit M = 2·a·ha bestimmen, wobei ein Dreieck den Flächeninhalt ADreieck = 1/2·a·ha besitzt.

Oberfläche O

Die Oberfläche setzt sich wie gewohnt aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Damit haben wir O = G + M = a² + 2·a·ha.

Volumen V

Das Volumen einer Pyramide ergibt sich zu V = 1/3·G·h. Der Faktor 1/3 kann man leicht anhand eines Würfels veranschaulichen. Wir haben dabei einen Würfel mit der Kantenlänge a, also dem Volumen VW = a³. In diesen passen 6 Pyramiden, deren Spitzen sich in der Mitte treffen.

Pyramidenwürfel

Wenn man sich jetzt nur den halben Würfel vorstellt, so hat man ein Volumen von VW/2 = 1/2·a·a·a. Schaut man nochmals in der Grafik nach, so ist klar, dass die Höhe einer Pyramide mit h = 1/2·a angegeben werden kann. Betrachten wir weiterhin den halben Würfel, so wissen wir, dass VW/2 = 3·V sein muss, denn im halben Würfel haben wir nicht mehr sechs, sondern drei Pyramiden. So ergibt sich für die Pyramide V = 1/3·VW/2 = 1/3·1/2·a·a·a = 1/3·h·a·a = 1/3·G·h.

Pyramide halb

Beispiele aus dem Alltag (Pyramidenform)

Pyramidenformen findet man im Alltag wieder. Sei aufmerksam, dann findest du sie schnell. Hier ein paar Beispiele: Cheops-Pyramide, Dach eines Kirchturms, Küchenreibe, Metronom, Dach eines Partyzeltes, einige Arten von Teebeuteln, Schmuck, Kerzen.

Pyramide in anderen Sprachen

Chinesisch: 棱锥. Dänisch: Pyramide. Englisch: Pyramid. Finnisch: Pyramidi. Französisch: Pyramide. Indonesisch: Limas. Italienisch: Piramide. Latein: Pyramis. Litauisch: Piramidė. Niederländisch: Piramide. Norwegisch: Pyramide. Polnisch: Piramida. Rumänisch: Piramidă. Russisch: Пирамида. Spanisch: Pirámide. Türkisch: Piramit. Ungarisch: Piramis. Vietnamesisch: Hình chóp.

Mathe-Programme

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr das Programm, das wir im Video einsetzen: Pyramide aus zwei Werten berechnen. Damit könnt ihr eigene Pyramiden berechnen. Einfach zwei Werte eingeben und alle anderen Werte werden automatisch ausgerechnet.

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Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen

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