STE03: Quader

Inhalte:

Voraussetzung:
Laut Lehrplan: 6. - 7. Klasse – Grundlagen
8. - 10. Klasse – Formelherleitung mit Pythagoras

Mathe-Videos

In diesem Video lernen wir, wie sich das Volumen eines Quaders bestimmt. Wir nutzen 3D-Visualisierungen, damit ihr eine bessere Vorstellung vom Quader-Volumen (mit 1 Kubikmeter-Würfeln) bekommt.

Volumen des Quaders berechnen

Volumen eines Quaders aus Höhe, Breite und Länge bestimmen. 1m³-Würfel zur besseren Vorstellung des Quader-Volumens. Volumenformel V=b·h·t leichter merken. Wann ist das Volumen Null.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • STE03-1 Quader - Einführung und Bestandteile
    Was ist ein Quader. Bestandteile: 12 Seiten, 8 Ecken, 6 Flächen. Flächendiagonale, Raumdiagonale, Volumen. Definition des Körpers.
  • STE03-2 Quader - Herleitung aller Formeln
    Herleitung der Formeln für Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen, Flächendiagonalen, Raumdiagonalen. Wir nutzen den Satz des Pythagoras.
  • STE03-3 Quader - Fehlende Seite berechnen
    Übungsaufgaben: Mantefläche bzw. Oberfläche und 2 Seiten gegeben, fehlende Seite ermitteln. Volumen und 2 Seiten gegeben, fehlende Seite ermitteln.

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Wissen zur Lektion

Wortherkunft

Das Wort "Quader" kommt von lateinisch quadrus, was viereckiger Stein/Grundstein bedeutet. Verwandt sind lat. quadrāre (viereckig) und lat. quattor (vier), zu finden zum Beispiel in Quadrat oder Quadrant.

Was ist ein Quader?

Ein Quader ist ein geometrischer Körper (also ein Objekt im Raum), der aus 6 aneinanderliegenden Rechtecksflächen besteht. Diese Rechtecksflächen liegen senkrecht aufeinander. Damit sind alle Winkel rechte Winkel. Von den 12 Seiten (Kanten) haben jeweils 4 die gleiche Länge und sind parallel zueinander. Jeweils 2 gegenüberliegende Flächen sind kongruent (das heißt gleiche Form und gleiche Größe) und parallel zueinander. Alle 8 Ecken des Quaders sind rechtwinkelig. Wichtig für die Formeln und Berechnungen ist, dass man die Formeln für das Rechteck beherrscht. Um die Raumdiagonale (also die Linie von einer Ecke in die diagonal gegenüberliegende Ecke) bestimmen zu können, muss man den Satz des Pythagoras beherrschen.

Merkmale des Quaders

  • Der Quader hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
  • Er ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
  • Die Grundfläche des Quaders, alle Seitenflächen und die Deckfläche sind Rechtecke.

Quadernetz

Wenn man den Würfel aufklappt und auf eine Ebene legt, ergibt sich das folgende Quadernetz:

Quadernetz

Am Quadernetz lassen sich recht einfach die einzelnen Rechtecksflächen des Quaders bestimmen:

Quadernetz Flächen

Volumen des Quaders

Das Volumen meint die Ausdehnung eines Körpers, also den Inhalt, den er im Raum einnimmt. Die Volumenformel lautet: Volumen = Höhe * Breite * Länge

Kurz: V = h · b · t


Volumenformel Quader

Berechnung des Quader-Volumens

Rechte Winkel bei Quaderflächen

Die Volumenangabe kann man sich gut mit 1-Kubikmeter-Würfeln vorstellen, die man im Quader anordnet:

Würfel im Quader

Sind alle Seiten eines Quaders gleich lang, so spricht man von einem Würfel:

Quader als Würfel

Ist einer der Faktoren (also Höhe, Breite oder Länge) gleich Null, so ist das gesamte Volumen Null.

Quader-Volumen Null

Alle Quaderformeln auf einen Blick

Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Quaders:

quader formeln

Link zur Grafik: https://www.matheretter.de/img/quader/formeln.png

Erläuterungen:

Raumdiagonale = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² + Seite c²) → e = √(a²+b²+c²)

Umfang = 2·Seite a + 2·Seite b → u = 2·a+2·b

Grundfläche = Seite a mal Seite b → G = a·b

Mantelfläche = 2·Seitenflächeac + 2·Seitenflächebc → M = 2·a·c+2·b·c

Oberfläche = 2·Seitenflächeac + 2·Seitenflächebc + 2·Seitenflächeab → O = 2·a·c+2·b·c+2·a·b

Volumen = Seite a mal Seite b mal Seite c → V = a·b·c

Länge aller Seiten = 4 mal Seite a + 4 mal Seite b + 4 mal Seite c → l = 4·a+4·b+4·c

Flächendiagonaleab = Wurzel aus (Seite a² + Seite b²) → dab = √(a²+b²)

Flächendiagonalebc = Wurzel aus (Seite b² + Seite c²) → dbc = √(b²+c²)

Flächendiagonaleac = Wurzel aus (Seite a² + Seite c²) → dac = √(a²+c²)

Mathe-Programme Quader

Die in den Videos gezeigten Programme für die Quader findet ihr beim Assistenzrechner. Ihr könnt damit eure Berechnungen leicht überprüfen oder Aufgaben lösen lassen.

  • Quader komplett berechnen
    Quader komplett berechnen
    Gebt drei Werte für den Quader ein und alle anderen werden automatisch berechnet. Der Quader wird außerdem interaktiv in 3D angezeigt. Kontrolliert schnell eure Lösungen auf Richtigkeit.

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Übungsaufgaben

Aufgabenblätter

Hier findest du 1 Aufgabenblatt, mit dem du dein Wissen testen kannst.

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Tags: Stereometrie, Quaderberechnungen, Kubikmeter
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