Mathe G03: Distributivgesetz

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

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In der letzten Lektion hatten wir uns Kommutativgesetz und Assoziativgesetz betrachtet. Nun kommen wir zum nächsten Rechengesetz, dem Distributivgesetz, das häufig in der Mathematik angewendet wird. Es gehört zu den Grundlagen, die ihr auf jeden Fall beherrschen müsst. Übrigens heißt 'distribuere' (lateinisch) so viel wie "verteilen". Wieso das so ist, seht ihr im folgenden Video:

Mathe-Video G03-1 Distributivgesetz

Eine der wichtigsten Rechenregeln der Mathematik ist das Distributivgesetz. Es lautet a · (b + c) = a · b + a · c. Wir können es auch um weitere Summanden erweitern, zum Beispiel: a · (b + c + d) = a · b + a · c + a·d

Mathe-Video G03-2 Unterschied Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

Wir zeigen euch, was der Unterschied zwischen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz ist. Dabei stellen wir alle 3 Rechengesetze grafisch dar.

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Wissen zur Lektion

Distributivgesetz allgemein

Das Distributivgesetz lautet: a · (b + c) = a·b + a·c

"verteilen" heißt auf Latein distribuere, daher sprechen wir nicht vom Verteilungsgesetz, sondern vom Distributivgesetz.

Die Animation zeigt, wie a auf b und c verteilt wird:

Distributivgesetz animiert 1

Nachstehend ist das Distributivgesetz mit Variablen und Zahlen dargestellt:

a·(b + c) = a·b + a·c
3·(4 + 1) = 3·4 + 3·1
3·5 = 12 + 3
15 = 15

Bitte merkt euch, dass das Distributivgesetz auch gilt, wenn die Zahl (der Faktor) hinter der Klammer steht. Zum Beispiel:
(12+18) = (12+18)·3 = 3·12 + 3·18

Verstecken wir eine Zahl, indem wir sie mit einer Variablen ersetzen, dann erhalten wir:
3·(x+18) = (x+18)·3 = 3·x + 3·18

Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, können wir auch hier das Distributivgesetz anwenden:
(30+60):3 = 30:3 + 60:3

Distributivgesetz grafisch

Wir können uns das Distributivgesetz auch grafisch denken, die folgende Abbildung macht es deutlich:

Distributivgesetz grafisch

In der nächsten Grafik wird das Distributivgesetz ähnlich wie zuvor visualisiert, jedoch zeichnen wir diesmal Striche ein, um die Zugehörigkeit darzustellen:

Distributivgesetz visuell 2

Die folgende Animation stellt das Distributivgesetz anhand von Flächen dar. Bei beiden a·(b+c) sowie a·b+a·c entsteht die selbe Fläche:

Distributivgesetz animiert 2

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  • Distributivgesetz (rechnerisch) Distributivgesetz (rechnerisch)
    Die rechnerische Anwendung des Distributivgesetzes animiert dargestellt.
  • Distributivgesetz (grafisch) Distributivgesetz (grafisch)
    Grafische Darstellung des Distributivgesetzes.
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Übungsaufgaben

A. Löse die Rechenaufgaben mithilfe des Distributivgesetzes (d. h. rechne nicht die Klammer als erstes, sondern multipliziere sie aus!):
1. 5 · (2 + 5) =
2. 9 · (3 - 1) =
3. 2 · 3 · (4 + 5) =
4. 2 + 4 · (5 + 3) =
5. 1 · (12 - 9) · 4 =
6. (38 + 12) · 2 =
7. 7 · (13 + 4 + 2) =
8. (13 + 4 - 2) · 7 =
9. 22 · (2 · 4 + 2) =
10. 12 + (3 + 9 : 3) =


B. Was kommt jeweils als Ergebnis heraus? Wende, wo möglich, das Distributivgesetz an, um das Rechnen einfacher zu machen.
1. 3 · (4 + 5) + 5 · (4 + 5)
2. 3 · 5 + 3 · 15
3. 101 · (1 + 2 + 3 + 4)
4. (7 + 3) · (4 + 9 + 12)

5. Susi kauft sich 2 gleiche Schokoriegel für insgesamt 3,00 Euro. Am nächsten Tag kauft sie sich 3 weitere Schokoriegel dieser Sorte für insgesamt 4,50 Euro. Erkennst Du das Distributivgesetz?

6. Tom zählt von 1 bis 10, danach zählt er von 1 bis 20. Das macht er viermal. Die Frage: Wie viele Zahlen hat er gezählt, kannst Du mithilfe des Distributivgesetzes lösen!

7. Johann fährt morgens 4 km von seinem Haus zur Schule, nachmittags muss er diesen Weg wieder zurück. Dies macht er Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag und Freitag. Wie viele Kilometer fährt er in dieser Zeit? Löse mithilfe des Distributivgesetzes!


C. Zusatzaufgabe: Stell Dir vor, anstatt einer Zahl schreibst Du jetzt ein x. Kannst Du das Folgende immer noch lösen?

# Kleine Hilfe anhand des Beispiels: 3 · (4 + 5)
Wir schreiben jetzt nicht mehr 4, sondern einfach ein "x".
Dann steht dort: 3 · (x + 5)

Die Aufgabe würde dann so mit dem Distributivgesetz gelöst:
Anstatt
3 · (4 + 5) = 3·4 + 3·5 = 3·4 + 15
schreiben wir nun
3 · (x + 5) = 3·x + 3·5 = 3·x + 15 (Lösung)

Das Rechnen mit x (sogenannte Variablen) schauen wir uns konkret im Video G12: Terme, Termumformung, Gleichungen an. Versuch es aber trotzdem schon mal, so schwer ist es nicht :)

# Deine Aufgaben:

1. 2 · (x + 9) = 2·x + 2·__
2. 5 · (8 + x) = 5·8 + 5·__
3. 12 · (7 - x)
4. x · (4 + 9)
5. (19 - 2) · x
6. (19 - x) · 2
7. (2 · 5 + x) · 3
8. 9 + 2 · (3 + x)

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Vertauschungsgesetz

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