Mathe G30: Exponentialgleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Voraussetzung zum Lösen von Exponentialgleichungen ist, dass ihr mit dem Logarithmus und den Logarithmusgesetzen vertraut seid. Wenn ihr diese beherrscht, werdet ihr das neue Wissen in den Videos einfach erlernen und Exponentialgleichungen sehr schnell lösen können. Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten steht wie zum Beispiel 3x = 25. Genaueres gibt es in den folgenden Mathematik-Videos. Viel Spaß beim Verstehen:

Mathe-Video G30-1 Exponentialgleichungen - Einführung: Lösen mit Logarithmus

Was sind Exponentialgleichungen. Wiederholung Potenz und wichtigste Logarithmusregeln (Logarithmus berechnen über log10, Exponent mit Logarithmus herausziehen). Exponent mit log im Taschenrechner ermitteln. Lösen der Exponentialgleichung: 4^x = 120

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G30-2 Exponentialgleichungen - Lösen mit lg und Potenzgesetzen

    Lösung der Exponentialgleichung 7^(x+2) = 451, Lösung für 3^x + 3^(x-2) = 270 mit Potenzgesetz und lg, Lösung für 2^3x = 3^4x : 3^x · 54, gleiche Basis herstellen und Logarithmus anwenden

  • G30-3 Exponentialgleichungen - Lösen mit Substitution

    Lösung der Exponentialgleichung 16^x = 4^x · 2, Gleichung als Funktionen deuten, Lösung für 5^2x + 5^x - 30 = 0, Substituieren und mit p-q-Formel auflösen, Lösung für 2^x = 5^x-2 mit lg und Ausmultiplizieren, Hinweis zu 3^x + 4^x = 5^x (numerisches Lösungsverfahren)

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Wissen zur Lektion

Was ist eine Exponentialgleichung?

Eine Potenz hat die Gestalt ax. Dabei ist a die sogenannte Basis und x ist der Exponent. Das Ganze wird als Potenz beschrieben. Den Wert den man erhält, wenn man diese Potenz ausrechnet ist der Potenzwert. Von einer Exponentialgleichung spricht man, wenn man eine Gleichung, in der zumindest einmal die Unbekannte im Exponenten steht. So wäre eine einfache Form der Exponentialgleichung etwa

$$a^x = b$$

Aber auch kompliziertere Gebilde fallen in die Rubrik der Exponentialgleichungen, sobald ein x hochgestellt wird:

$$a^\color{red}{x} + b\cdot x^2 + c\cdot x = d$$

Um eine solche Gleichung zu lösen, stehen uns mehrere Hilfsmittel zur Verfügung, wobei direkt gesagt sei, dass es nicht möglich ist, jede Exponentialgleichung algebraisch (also durch Umformungen) zu lösen.

Hilfsmittel zur Lösung sind:
1. Potenzgesetze
2. Logarithmengesetze
3. Ausklammern
4. Substituieren

Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen

Wie gerade eben erwähnt gibt es mehrere Hilfsmittel, um Exponentialgleichungen zu lösen. Es seien hier ein paar Beispiele vorgerechnet, die die Anwendung der unterschiedlichen Methoden beschreiben, wobei auf obengenannte Hilfsmittel zurückgegriffen wird.

1. Exponentenvergleich

Hat man eine Aufgabe gegeben, bei der die Basen dieselben sind, so kann man sich direkt die Exponenten anschauen, denn wenn die Basen dieselben sind, so müssen die Exponenten auch gleich sein.

$$2^{2x+3} = 2^{3x} \quad| \text{ Exponenten anschauen}$$ $$2x+3 = 3x \quad\quad|-2x$$ $$x = 3$$

Durch den bloßen Vergleich der Exponenten sind wir auf das Ergebnis x = 3 gestoßen. Eine Probe wird das Ergebnis verifizieren:

$$2^{2\cdot3+3} = 2^{3\cdot3}$$ $$2^{6+3} = 2^9$$ $$2^9 = 2^9$$

Beide Seiten der Gleichung ergeben den gleichen Wert, die Lösung für x ist also korrekt.

2. Logarithmieren

Hat man unterschiedliche Basen so stellt Logarithmieren eine gute Alternative dar. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:

$$5^x - 1000 = 0 \quad|+1000$$ $$5^x = 1000 \quad|\ln$$ $$\ln(5^x) = \ln(1000)$$ $$x\cdot\ln(5) = \ln(1000) \quad|:\ln(5)$$ $$x = \frac{\ln(1000)}{\ln(5)} \approx 4,29$$

Dabei wurde ln, der Logarithmus naturalis (das heißt der Logarithmus zur Basis e) genommen. Ihr dürft aber jeden beliebigen Logarithmus verwenden und so auch den ebenfalls häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis 10, welcher mit lg abgekürzt wird. Ihr kommt zum selben Resultat. Eine Probe bestätigt auch wieder obiges Ergebnis.

Von besonderer Wichtigkeit ist es, darauf zu achten, dass immer jeweils den kompletten Term auf der linken bzw. rechten Seite logarithmiert. Es ist also insbesondere bei einer Summe der Fall, dass ihr komplett die Summe in einen Logarithmus schreiben müsst. Das mag unter Umständen nicht weiterhelfen, da dadurch kein Vorteil entsteht. Ein Beispiel, wie man da alternativ rangeht, sei im nächsten Absatz gezeigt.

3. Substitution

Für den Fall, dass ihr eine Summe habt, ist es schon schwerer diese zu lösen. Es gibt aber Spezialfälle, wo die Substitution angewendet werden kann.

$$3^{2x} + 2\cdot3^x - 8 = 0$$

Hier sollte man nun erkennen, dass \(3^{2x} = (3^{x})^2\) ist und mit \(u = 3^x\) lässt sich dem Problem nun beikommen, indem man es auf ein quadratisches Problem reduziert.

$$u^2 + 2u - 8 = 0 \quad| \text{ pq-Formel mit p = 2 und q = -8}$$

\(u_1 = -4\) und \(u_2 = 2\)

Damit ist man aber noch nicht fertig. Wir haben substituiert und das muss nun auch rückgängig gemacht werden. Dazu \(u =3e^x\) wieder heranziehen: Die Lösung \(u_1\) braucht nicht zu untersucht werden, da eine Potenzfunktion selbst nie negativ wird und deshalb keine Möglichkeit besteht, hier ein x zu finden.

$$u_2 = 3^x$$ $$2 = 3^x$$ $$\ln(2) = \ln(3^x)$$ $$\ln(2) = x \cdot \ln(3)$$ $$x = \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \approx 0,631 $$

Die gesuchte Lösung für die ursprüngliche Gleichung ist also x ≈ 0,631 was durch eine Probe wieder bestätigt werden kann.

Mathe-Programme Exponentialgleichungen

Im Folgenden findet ihr einige Programme, mit denen ihr testen könnt, ob ihr das notwendige Wissen zu Logarithmen und Potenzen besitzt, um schließlich Exponentialgleichungen zu lösen.

  • Logarithmus und Potenz
    Logarithmus und Potenz
    Der Zusammenhang zwischen Logarithmus und Potenz. Der Logarithmus errechnet den Exponenten der Potenz.
  • Logarithmus über log10
    Logarithmus über log10
    Ein beliebiger Logarithmus kann hier über zwei dekadische Logarithmen (log10 x) berechnet werden.
  • Potenzen (Animation)
    Potenzen (Animation)
    In dieser Animation wird der Zusammenhang zwischen Mehrfachmultiplikation und Potenz dargestellt.
  • Potenzen
    Potenzen
    Die Potenz ist eine Mehrfach-Multiplikation. Eine Potenz besteht aus Basis und Exponent, die positiv oder negativ sein können.
  • Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Dieses Programm löst beliebige quadratische Gleichungen mit Hilfe der p-q-Formel, inklusive Rechenweg.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Exponentialgleichungen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt:

A: Exponentenvergleich
Löse mit Hilfe des Exponentenvergleichs:

1. 3x+2 = 32x
2. 3x+2 = 9x
3. 83x+1 = 45x
4. 2x · 3x+1 = 108
5. 8x+2 = 2x+10
6. 24x+3 = 16-x-3
7. 105x = 21+x · 5x+1
8. 12x = 32x+2 · 42(x+1)

B: Logarithmieren
Löse, indem Du logarithmierst:

1. 8·7,55x-8 = 450
2. 1/(2·4x) - 3 = 0
3. 3·2x+3 = 64·3x-2
4. (2 - 5x)2 = (5x - 3)2
5. 26x+2 = 12
6. 34x-1 = 2x
7. 3·72x-3 = 16
8. 2x+9 = 16x

C: Substituieren
Nutze die Substitution, um auf das Ergebnis zu kommen:

1. 32x - 2·3x + 1 = 0
2. 53x - 2·52x + 5x = 0
3. 43x-1 - 16·23x + 1024 = 0
4. (-3/4)·3-2x + 5 = 3-x
5. 32x - 4·3x + 3 = 0
6. 22x - 3·2x+1 = -8
7. 52x + 5x - 30 = 0
8. 22x - 13·2x + 40 = 0

D: Textaufgaben mit Exponentialgleichungen

1. Wie berechnet man 8·9x-3 + 4x-3 = 32x-4?

2. Ein Kapital von 1000 € wird mit 4 % Zinsen angelegt.
a) In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
b) Ist die Verdopplungszeit abhängig vom Anfangskapital?

3. Faltet man ein Blatt Papier mehrfach längs der Mittellinie, so liegen nacheinander zwei, dann vier, dann acht usw. Schichten übereinander. Wie oft muss man bei einer Papierdicke von 0,3 mm falten, um einen Turm von der Höhe des Berliner Fernsehturms (368 m) zu erhalten?

4. Cholerabakterien haben eine Verdopplungszeit von ca. 30 Minuten. Wie viele Bakterien sind nach einem Tag vorhanden, wenn zu Beginn der Beobachtung 100 Bakterien vorhanden sind.

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen

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