Mathe G27: Kubische Gleichungen und Polynomdivision

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

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Das Lösen von Kubischen Gleichungen ist für manche Schüler eine große Herausforderung. Wir helfen euch und zeigen, welche Lösungsverfahren es gibt und wie ihr diese sicher anwendet. Insbesondere schauen wir uns die Polynomdivision an, die beim Lösen von kubischen Gleichungen hilft, denn sie macht aus einer Gleichung 3. Grades eine Gleichung 2. Grades (x³ → x²). Und diese Gleichung können wir dann mit Hilfe der p-q-Formel lösen.

Sinnvoll ist es, wenn ihr die Videos zu den Quadratischen Gleichungen bereits gesehen habt. Am Ende dieser Lektion werdet ihr in der Lage sein, kubische Gleichungen zu lösen und vor allem verstehen, wie die Polynomdivision funktioniert und warum.

Um eigene Aufgaben zu lösen, nutzt einfach das Mathe-Programm zum Lösen kubischer Gleichungen.

Mathe-Video G27-5 Gleichung 3. Grades lösen mit Polynomdivision und pq-Formel

Anwendung des neuen Wissens: Zuerst raten wir systematisch die erste Lösung der Gleichung x³-6x²+11x-6=0, danach wenden wir die Polynomdivision an und erhalten einen Term zweiten Grades, der null gesetzt wird und sich mit der pq-Formel lösen lässt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G27-1 Kubische Gleichungen - Einführung

    Bedeutung "kubisch". Allgemeinform und Normalform der kubischen Gleichung (Gleichungen 3. Grades), Auflistung von Lösungsverfahren, Anzahl von Lösungen (bzw. Nullstellen bei Deutung als Funktion), was ist ein Polynom und ein Monom, Einleitung zur Division von Polynomen.

  • G27-2 Kubische Gleichungen - Polynomdivision Verfahren

    Lösungsverfahren Polynomdivision, das den Grad des Polynoms vermindert, Wiederholung schriftliche Division, Einführung zum Verfahren der Polynomdivision am Beispiel (x²-4x-5):(x-5)

  • G27-3 Kubische Gleichungen - Polynomdivision Erklärung

    Wir erklären, warum die Polynomdivision funktioniert bzw. wie Polynome dividiert werden. Darstellung der Division als Bruch, Umformung mittels Erweitern des Zählers sowie Ergänzung des Zählerterms und anschließendes Kürzen.

  • G27-4 Kubische Gleichungen - Lösungsverfahren

    Lösung von (x³+6x²+11x+6):(x+1) mit Polynomdivision und p-q-Formel. Polynom in Linearfaktorform, Deutung als Funktionen. Lösen über Ausklammern, Lösen mit Wurzel bei reinkubischen Gleichungen. Erklärung der Polynomdivision mit Rest. Lösungsmenge Reelle und Komplexe Zahlen.

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Wissen zur Lektion

Was sind kubische Gleichungen?

Kubische Gleichungen sind Gleichungen dritten Gerades, also Gleichungen, deren höchste Potenz ein x³ ist.

Sie haben die Allgemeinform:

+ b· + c·x + d = 0
wobei man a, b, c und d Koeffizienten nennt.

Die einzelnen Summanden haben dazu auch noch folgende Namen:

heißt kubisches Glied.

heißt quadratisches Glied.

x heißt lineares Glied.

d heißt absolutes Glied.

Um die Normalform zu erzeugen, teilt man die Allgemeinform durch a, sodass ein 1·x³ entsteht:

+ b· + c·x + d = 0 | :a

a/a· + b/a· + c/a·x + d/a = 0

Setzen wir uns jetzt neue Variablen, um die Gleichung etwas übersichtlicher darzustellen:

b/a = r

c/a = s

d/a = t

Und man schreibt dann für die Normalform allgemein (Brüche ersetzt mit neuen Variablen):

+ r· + s·x + t = 0

Verschiedene Lösungsverfahren

Bestimmt man die Lösung einer kubischen Gleichung, so berechnet man die Nullstellen einer Funktion 3. Gerades. Diese Funktion sieht dann so aus:

f(x) = + r· + s·x + t

Möchte man eine solche Gleichung lösen, so gibt es mehrere Lösungsverfahren:

- Polynomdivision

- Grafisches Lösen

- Cardanische Formeln

- Newton-Verfahren

Wir konzentrieren uns aber zunächst einmal nur auf die Polynomdivision, da nur dieses Verfahren Thema des Schulstoffes ist.

Übrigens haben kubische Gleichungen in den reellen Zahlen mindestens eine und maximal drei Lösungen. Sie können also 1, 2 oder 3 Lösungen haben. Warum eine kubische Gleichung mindestens eine Lösung hat, machen wir uns klar, indem wir eine beliebige kubische Gleichung als Funktion mit Graphen betrachten:

funktionsgraph kubisch 1

Alle Gleichungen 3. Gerades haben diese oder eine ähnlich verlaufende Form des Graphen. Wenn wir x gegen unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn wir x gegen minus unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn die Werte von minus unendlich zu plus unendlich laufen (oder umgekehrt) und die Funktion stetig ist (also keine Definitionslücken hat, was bei Kubischen Gleichungen gegeben ist), sehen wir, dass die Funktion mindestens ein mal durch die x-Achse verlaufen muss. Die Funktion hat also mindestens eine Nullstelle. Damit wird klar, dass jede kubische Funktion mindestens eine Lösung haben muss.

Wer sich das nochmal genauer anschauen möchte, kann mit diesem Programm einige kubische Gleichungen erstellen und sehen, dass die Gleichung mindestens eine Lösung hat.

Die Polynomdivision

Um das Verfahren der Polynomdivision zu erklären, klären wir zunächst einmal, was überhaupt ein Polynom ist.

Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen besteht. Ein allgemeines Polynom sieht so aus:

a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 + .... + an·xn

Einzelne Summanden eines Polynoms, zum Beispiel a2·x2 nennt man Monom.

Der Grad eines Polynoms entspricht der Höhe der größten Potenz des Polynoms. Ein Polynom n-ten Gerades hat also n als höchste Potenz. Wichtig ist, dass die Potenzen nur aus natürlichen Zahlen bestehen.

Ein Polynom 3. Gerades a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 ist somit eine kubische Gleichung. a3 darf übrigens nicht gleich 0 sein, sonst würde x3 wegfallen.

Kommen wir nun zum eigentlichen Verfahren:

Mit der Polynomdivision schaffen wir es, den Grad eines Polynoms zu verringern. Das hilft uns enorm bei der Berechnung der Nullstellen eines Polynoms.

Bei einer Polynomdivision machen wir genau das, was der Name schon sagt. Wir dividieren ein Polynom durch ein zweites Polynom.

Wie genau das geht, machen wir uns jetzt an einem Beispiel anschaulich. Wir nehmen erstmal eine ganz normale Division:
12 : 4 = 3

Jetzt können wir die 12 auch als 3·4 schreiben.

(3 · 4) : 4 = 3

Setzen wir jetzt x = 4 erhalten wir:

(3 · x) : x = 3

Auch hier kürzt sich das x heraus und wir erhalten das selbe Ergebnis. Eine Division mit Variablen können wir also durchführen.

Setzen wir nun x=3 und nicht x=4:

(x · 4) : 4 = x

Hier kürzt sich nun die 4 wieder heraus.

Verändern wir unsere Gleichung, indem wir das x nun mit (x + 1) ersetzen. Dann erhalten wir:

(x + 1) · 4 : 4 = x+1

Den Divisor (die 4) verändern wir jetzt weiterhin und ersetzen die 4 mit (x - 5):

(x+1) · (x - 5) : (x - 5) = x+1

Die blau markierten Teile ergeben auch hier wieder 1. Somit bleibt unser Ergebnis x+1.

Multiplizieren wir jetzt einmal (x + 1) und (x - 5) aus, so erhalten wir:

(x + 1) · (x - 5) = x2 - 5x + x - 5 = x2 - 4·x - 5

Das setzen wir für den ersten Term, den Dividenden, ein:

(x2 - 4·x - 5) : (x-5) = x+1

Diese Gleichung ist eine Polynomdivision. Wir haben ein Polynom 2. Gerades und dividieren dieses durch ein Polynom 1. Gerades.

Die Zerlegung von (x2 - 4·x - 5), die wir benutzt haben, nennt man Linearfaktorzerlegung. Wir dividieren das Polynom 2. Gerades durch einen Linearfaktor des Polynoms und erhalten einen weiteren Linearfaktor.

Wir haben gesehen, dass man ein Polynom durch ein anderes dividieren kann. Schauen wir uns nun an, wie man so eine Polynomdivision ausführt, wenn man die Linearfaktorzerlegung nicht bereits vorher kennt.

Zunächst benötigen wir die Kenntnisse über die schriftliche Division. Machen wir eine kleine Wiederholung. Wir wollen 365 : 5 schriftlich berechnen. Das schreiben wir wie folgt auf:

365 : 5 = 73
-35
= 15
- 15
= 0

Wir schauen uns an, wie oft die 5 in die 36 passt. Die 5 passt 7 mal in die 36. Wir ziehen dies dann mit 5 multipliziert von der 36 ab. Dann holen wir die 5 von oben nach unten. Jetzt schauen wir uns an, wie oft die 5 in die 15 passt. Das ist 3 mal. Jetzt ziehen wir 3·5 von 15 ab und erhalten den Rest 0. Die 5 passt also 73 mal in die 365.

Die Polynomdivision beruht auf dem selbem Prinzip. Das machen wir uns an dem bereits bekannten Beispiel klar:

(Anschließend wird die schriftliche Division Schritt für Schritt dargestellt, um die einzelnen Schritte besser aufzuzeigen. Wenn man selber rechnet, hat man nur eine Rechung. Diese Rechnung gleicht der letzten Rechnung, die im Beispiel benutzt wurde. Die einzelnen Gleichungen sind also nur als Ganzes vollständig.)

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5)

Wir müssen (x - 5) mit etwas multiplizieren, sodass wir die Elemente aus (x2 - 4·x - 5) erhalten. Als erstes wollen wir x2 erzeugen. Das machen wir, indem wir (x - 5) mit x multiplizieren, denn:

x · (x - 5) = x2 - 5·x

Man betrachtet also immer den höchsten Exponenten des Dividenden und versucht diesen zu erzeugen, indem man den höchsten Exponenten des Divisors mit etwas multipliziert.

Der erste Teil unserer Lösung ist also x. Wir schreiben schon mal:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x ...

Da wir (x - 5) mit x multiplizieren, müssen wir (x - 5)·x von (x2 - 4·x - 5) abziehen:

(x2 - 4·x - 5) - (x - 5)·x = (x2 - 4·x - 5) - (x2 - 5 · x) = (x2 - 4·x - 5) - x2 + 5 · x = x - 5

Das müssen wir jetzt noch in unsere Rechnung schreiben, wie bei der schriftlichen Division schon gemacht:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x...
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Wir versuchen jetzt wieder den höchsten Exponenten des Rests (x - 5), also x, durch den höchsten Exponenten des Divisors, also auch hier x, darzustellen. Das schaffen wir durch eine Multiplikation mit 1. Wir können also die 1 an unsere Lösung heranhängen:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Auch hier ziehen wir wieder 1·(x - 5)= x - 5 von dem Rest ab und erhalten:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Da unsere Division nun keinen Rest hat, haben wir als Ergebnis (x + 1).

Noch einmal die vollständige Rechnung, so wie sie bei euch auf dem Papier aussehen sollte:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Machen wir noch einmal die Probe:

(x - 5) · (x + 1) = (x2 - 4·x - 5)

Wir haben also richtig dividiert.

Inwiefern hilft uns die Polynomdivision jetzt?

Haben wir eine Gleichung in dieser Form:

x2 - 4·x - 5 = 0

So können wir den linken Term als Linearfaktoren darstellen:

(x - 5) · (x + 1) = 0

Da bei einem Produkt nur einer der Faktoren 0 ergeben muss, damit das ganze Produkt 0 ergibt, können wir jetzt die Lösungen unserer Gleichung sogar ablesen. Es muss nämlich gelten:

(x - 5) = 0

oder

(x + 1) = 0

Als Lösungen haben wir somit x = -1 oder x = 5 .

Warum funktioniert die Polynomdivision?

Wir haben bereits eine Polynomdivision ausgeführt, ohne jedoch zu wissen warum wir diese Untereinander-Schreibweise überhaupt benutzen können. Auch hier gibt es wieder ein Beispiel, an dem erklärt wird, wieso unsere Schreibweise anwendbar ist.

Wir nehmen uns die Division:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Wir wissen, dass wir diese Division auch aufteilen können:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4)


Führen wir eine kurze Nebenrechnung durch:

Wir schreiben uns zunächst einmal (x + 4) als Dividend und versuchen dann ein x2 zu erzeugen. Dies schaffen wir, indem wir den Dividenden mit x multiplizieren:

x2 : (x + 4) → (x + 4) : (x + 4) → ( x· (x + 4)) : (x + 4) = (x2 + 4·x) : (x + 4)

Wir haben im Dividend ein 4·x zu viel. Deshalb ziehen wir 4·x im Dividenden wieder ab, um wieder unsere vorherige Gleichung zu erhalten:

(x2 + 4·x - 4·x) : (x + 4) = (x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Ziehen wir ein x nun wieder aus dem Dividenden:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4)

Wir teilen unsere Division wieder auf:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4) = x· (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x)

Jetzt können wir bereits einen Teil der Division ausführen, da sich (x + 4) wegkürzt:

x · (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x) = x - 4·x : (4 + x)


Kommen wir zurück zu unserer ursprünglichen Division und setzen das, was wir gerade erhalten haben, ein:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4)

Jetzt fassen wir wieder zusammen:

x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - (- 4·x + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4)

Wir ziehen wieder auseinander:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4)

Jetzt machen wir uns nach dem selben Prinzip wie vorhin wieder eine Nebenrechnung:

2·x : (x + 4) → (x +4) : (x + 4) → 2· (x + 4) : (x + 4) = (2·x + 8) : (x + 4)

2·x : (x + 4) = (2·x + 8-8) : (x + 4)= 2· (x + 4) : (x + 4) - 8 : (x + 4) = 2 - 8 : (x + 4)

Das setzen wir oben wieder ein:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4) = x - 2 - 8 : (x + 4) + 8: (x+4)

Hier fällt auf, dass sich die letzten beiden Glieder aufheben. Damit erhalten wir zuletzt:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2

Wir sehen also, dass unsere Division (x - 2) ergibt.

Mit der Untereinander-Schreibweise erreichen wir das gleiche Ergebnis, nur dass wir, wie dieses Beispiel zeigt, nicht einmal annähernd so viel Schreib- und Rechenarbeit haben. Dieses Beispiel sollte also nur verdeutlichen, warum wir die Division untereinander schreiben können. Hier noch einmal die selbe Division in kurzer Schreibweise:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x - 2
-x2 - 4·x
= 2·x + 8
- 2·x - 8
= 0

Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass sich die Schritte, die wir gerade durchgeführt haben, auch in der kurzen Schreibweise wiederfinden.

Lösen einer Kubischen Gleichung

Wie lösen wir jetzt eine Kubische Gleichung mit dem, was wir gerade gelernt haben?

Nehmen wir uns als Gleichung:

x3 + 6·x2 + 11·x + 6 = 0

Uns ist zusätzlich noch vorgegeben, dass x = (-1) die Gleichung löst.
Überprüfen wir dies einmal durch einsetzen:

(-1)3 + 6·(-1)2 +11·(-1) + 6 = 0

(-1) + 6 - 11 + 6 = 0

5 - 11 + 6 = 0

- 6 + 6 = 0

x = (-1) ist also eine Lösung.

Aus x = (- 1) folgt also, dass (x + 1) ein Linearfaktor des Polynoms ist.

Wir dividieren nun unser Polynom durch den Linearfaktor, um den Grad des Polynoms zu verringern. Unser Ziel ist es also, ein Polynom 2. Grades zu erhalten, da wir bereits wissen, wie man die Nullstellen eines solchen Polynoms bestimmt. Die einzelnen Schritte werden nun nicht mehr erklärt, da wir die ganz normale Polynomdivision durchführen:

(x3 + 6·x2 + 11·x + 6) : (x + 1) = x2 + 5·x + 6
-x3 - x2
= 5·x2 + 11·x + 6
- 5·x2 -5·x
= 6·x +6
- 6·x - 6
= 0

Es gilt also:

(x3 + 6·x2 +11·x +6) =(x + 1) · (x2 + 5·x +6)

Wir erinnern uns, dass ein Produkt gleich 0 wird, wenn einer der Faktoren gleich 0 wird.

Also:

(x + 1) = 0

x = -1

Diese Lösung kennen wir ja bereits, da sie vorgegeben war.

Oder:

(x2 + 5·x +6) = 0

Diese Gleichung können wir nun zum Beispiel mit der pq-Formel lösen:

x1,2 = (5/2) ± √( (5/2)2 - 6)

x1,2 = -(5/2) ± √(6,25-6)

x1 = -(5/2) + (1/2) = -(4/2) = -2

x2 = -(5/2) - (1/2) = (6/2) = -3

Wir haben also die Lösung L = { -2, -3, -1 }.

Damit wären wir mit unserer Rechnung fertig.

Grafische Lösung

Wir stellen die kubische Gleichung als Linearfaktoren da. Die Darstellung mit Linearfaktoren einer kubischen Gleichung sieht so aus:

(x - x1) · (x - x2) · (x - x3)

Die Linearfaktoren können wir auch bei unserer berechneten Lösung darstellen:

(x3 + 6·x2 +11·x +6) =(x + 1) · (x2 + 5·x +6) = (x + 1) · (x + 2) · (x + 3)

Betrachten wir, wie das Polynom als Graph aussieht. Auch die einzelnen Linearfaktoren stellen wir als lineare Funktionen da:

Funktionsgraph Kubisch 2

Wir sehen, dass die Nullstellen der einzelnen Geraden, die die Linearfaktoren darstellen sollen, die selben Nullstellen sind, die unser Polynom besitzt. Wir können die Gleichung in diesem Fall auch durch Ablesen der Nullstellen des Graphens lösen. Das Polynom nimmt den Wert an der Stelle x an, der dem Produkt der Werte der drei Geraden an der Stelle x entspricht.

Das sehen wir anhand der nächsten beiden Grafiken:

funktionsgraph kubisch 3

funktionsgraph kubisch 4

Besondere Fälle kubischer Gleichungen

1. Kubische Gleichungen ohne absolutes Glied

Möchten wir kubische Gleichungen lösen, bei denen das absolute Glied fehlt, zum Beispiel:

x3 + 4·x2 + 3·x = 0

so können wir direkt ein x ausklammern:

x·(x2 + 4·x + 3) = 0

Wir erhalten also direkt als eine Lösung x = 0.

Die anderen beiden Lösungen ergeben sich aus:

(x2 + 4·x + 3) = 0

Diese Gleichung können wir lösen. Wir erhalten mit der pq-Formel:

x1 = -1

x2 = 3

Und damit als Gesamtlösung L = { 0, -1, 3 }.

2. Reinkubische Gleichungen

Haben wir eine Gleichung, die nur ein kubisches Glied und ein absolutes Glied besitzt, zum Beispiel:

x3 - 27 = 0

formen wir diese einfach um und ziehen die dritte Wurzel:

x3 = 27

x = 3

Hier gib es nur eine Lösung L = { 3 } .

Hinweise zu Reihenfolge, Raten, Polynomdivision mit Rest

1. Reihenfolge

Beachtet, dass es wichtig ist, dass bei der Polynomdivision das Polynom in absteigender Reihenfolge angeordnet ist. Der höchste Exponent muss an erster Stelle stehen, danach der zweithöchste Exponent und so weiter. Das absolute Glied steht an letzter Stelle.

Wir müssen zum Beispiel folgendes Polynom umordnen, bevor wir versuchen, es zu lösen:

-3·x + 9 + x3 + x2 = 0

Umgeordnet:

x3 + x2 - 3·x + 9 = 0

2. Keine Nullstelle gegeben?

Haben wir keine Lösung vorgegeben, so müssen wir eine Lösung erraten. Für gewöhnlich macht man das, indem man ganze Werte um 0 in die Gleichung einsetzt.

Wir testen bei x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 einfach mal ein paar Werte:

x = 0:

0 + 0 - 3·0 + 9 = 9

x = 1:

1 + 1 - 3·1 + 9 = 8

Das selbe machen wir auch für die Werte 2, 3, (-1), (-2), (-3).

Für x = -3 erhalten wir:

(-3)3 + (-3)2 - 3· (-3) +9 = -27 + 9 + 9 + 9 = 0

Damit hätten wir eine Lösung x = -3. Der dazugehörige Linearfaktor ist (x+3). Wir können nun eine Polynomdivision durch (x + 3) durchführen, um weitere Lösungen zu bestimmen.

Mit der Polynomdivision erhalten wir:

x3 + x2 - 3·x + 9 : (x + 3) = x2 - 2·x + 3

Wenden wir auf diesen Term die pq-Formel an, so haben wir unter der Wurzel einen negativen Wert. Es gibt also keine weitere Lösung der Gleichung. Unser x = -3 ist die einzige Lösung.

3. Polynomdivision mit Rest

Erhalten wir bei der Polynomdivision mit einem Linearfaktor einen Rest, so haben wir uns entweder verrechnet oder die angebliche Nullstelle, aus der wir den Linearfaktor erstellt haben, ist überhaupt keine Nullstelle. Es ist also sinnvoll, wenn man zunächst einmal überprüft, ob die gegebene Nullstelle überhaupt eine Nullstelle ist.

Mathe-Programme Kubische Gleichungen

Beim folgenden Matheprogramm könnt ihr eigene kubische Gleichungen eingeben, es berechnet euch die Lösungen und stellt die Gleichung als Funktionsgraph dar! Nutzt es, um zum Beispiel die Lösungen eurer Hausaufgaben auf Richtigkeit zu kontrollieren:

  • Kubische Gleichungen lösen Kubische Gleichungen lösen
    Dieses Programm löst beliebige kubische Gleichungen und stellt die Gleichung als Funktion dar (Nullstellen sind die Lösungen).

Zusätzlich findet ihr in der Formelsammlung das neue Programm: Kubische Gleichung online berechnen, mit dem ihr eure Lösungen kontrollieren könnt.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Thema "Kubische Gleichungen", mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Allgemeine Fragen zu den kubischen Gleichungen

1. Wieviele Lösungen kann eine kubische Gleichung im Reellen maximal haben? Wieviele Lösungen hat sie mindestens?

2. Wie kann man ein Polynom 3. Grades der Form a·x3 + b·x2 + c·x + d mit den Nullstellen x1, x2, x3 in anderer Form darstellen? Wie sieht diese Form aus?

3. Was erreicht man durch Anwenden der Polynomdivision mit einem Linearfaktor bei einer kubischen Gleichung?

4. Was macht man, wenn man eine kubische Gleichung lösen soll, aber gar keine Lösung vorgegeben ist?

5. Eine kubische Gleichung hat kein absolutes Glied. Was kann man daraus direkt schließen?

B: Polynomdivision

Führe für jede Aufgabe die Polynomdivision aus:

1. Aufgabe

(x2 + 3·x - 18) : (x - 6)

2. Aufgabe

(x2 - 49) : (x - 7)

3. Aufgabe

(x3 + 7·x2 + 14·x + 8) : (x+1)

4. Aufgabe

(x3 + 9·x2 - 9·x - 81) : (x-3)


C: Kubische Gleichungen

Löse die folgenden kubischen Gleichungen, finde alle Lösungen für x.

1. Aufgabe

x3 + 13·x2 + 52·x + 60 = 0 Bekannte Nullstelle: x1 = -2

2. Aufgabe

x3 - 125 = 0

3. Aufgabe

x3 + 8·x2 + 12·x = 0

4. Aufgabe

x3 - 6·x2 - 88·x + 192 = 0

5. Aufgabe

5x3 - 15·x2 + 15·x = 5

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

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Untertitel

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Tags: Partialdivision, Gleichungen dritten Grades, p-q-Formel Cardanische Formeln und Newton-Verfahren zur Lösung kubischer Gleichungen, Allgemeinform und Normalform kubischer Gleichungen

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