Mathe G31: Die 10 häufigsten Mathefehler

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

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Du hast schon mal einen Flüchtigkeitsfehler gemacht und dadurch eine schlechte Note im Mathetest bekommen? In diesem Video stellen wir die häufigsten Mathefehler von Schülern vor. Diese Fehler kosten meist wertvolle Punkte und führen dazu, dass die Noten von Schülern schlechter ausfallen. Zu diesen Fehler gehören unter anderen: Falsches Quadrieren, fehlerhaftes Bruchrechnen und Kürzen, Vorzeichenfehler, Terme nicht korrekt einsetzen, Klammerfehler, Potenz- und Wurzelregeln falsch anwenden.

G31 Die 10 häufigsten Mathefehler - und wie ihr sie vermeidet!

In diesem Video stellen wir die häufigsten Mathefehler von Schülern vor. Diese Fehler kosten meist wertvolle Punkte und führen dazu, dass die Noten von Schülern schlechter ausfallen.

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Wissen zur Lektion

Die 10 häufigsten Mathefehler

In dieser Lektion wollen wir euch häufige Fehler in der Mathematik zeigen und erklären, was falsch ist und wie es richtig wäre. Dabei wird die rote Farbe für den Fehler stehen und die grüne Farbe für die korrekte Umsetzung des entsprechenden Problems. Sollte euch ein Fehler nicht bekannt vorkommen, dann ist das um so besser, denn dann habt ihr bisher alles richtig gemacht.

Weiter unten findet ihr übrigens eine Fehler-Übersicht zum Ausdrucken.

Fehler 1

Die binomischen Formeln werden häufig nicht als solche erkannt, weswegen einige (a+b)2 wie folgt berechnen:

$$\color{red}{ (a+b)^2 = a^2 + b^2 }$$

Dies entspricht aber nicht der binomischen Formel, die da lautet:

$$\color{green}{ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 }$$

Das kann nachvollzogen werden, indem man

$$(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

rechnet.

Fehler 2

Bei der Addition zweier Brüche wird gerne etwas geschummelt, was das Ergebnis in der Regel aber falsch macht. Hat man beispielsweise

$$\frac 12 + \frac 34$$

so versucht der ein oder andere Zähler und Nenner zu addieren und das als gemeinsamen Bruch vorzustellen.

$$\color{red}{\frac12 + \frac34 = \frac{4}{6}}$$

Dies aber ist falsch. Die Regel bei der Addition (oder Subtraktion) zweier Brüche besagt, dass erst dann die Zähler miteinander addiert werden dürfen, wenn der Nenner derselbe ist. Es muss also erweitert werden:

$$\color{green}{\frac12 + \frac34 = \frac{1\cdot2}{2\cdot2} + \frac34 = \frac24 + \frac34 = \frac54}$$

Überprüfen kann man dies, indem man dezimal rechnet:

$$\frac12 + \frac34 = 0,5 + 0,75 = 1,25 = \frac54$$

Fehler 3

Einer der wohl berühmtesten Fehler hat sogar einen eigenen Merksatz. Beginnen wir mit diesem:

„Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“.

Mit diesem netten Merksatz versucht man in Erinnerung zu rufen, dass bei einem Bruch nur gekürzt werden darf, wenn Faktoren vorliegen, keinesfalls dürfen aber einzelne Summanden gekürzt werden. Beliebt wäre das beispielsweise hier:

$$\color{red}{\frac{3+x}{x} = 3}$$

Hier hat man es gut gemeint und die gemeinsamen Variablen x weggekürzt. Das x im Zähler ist aber ein Summand und kann daher nicht gekürzt werden! Dieser Bruch lässt sich nicht kürzen. Man könnte ihn nur umformen zu:

$$\frac{3+x}{x} = \frac{3}{x} + \frac{x}{x} = \frac{3}{x} + 1$$

Noch ein Beispiel mit x im Nenner, das sich richtig kürzen lässt:

$$\color{green}{\frac{3x+x^2}{x} = \frac{(3+x)\cdot x}{x} = 3+x}$$

Hier wurde ein x im Zähler ausgeklammert, welches damit als Faktor fungiert. Dies kann nun mit dem x im Nenner gekürzt werden und der Bruch vereinfacht sich.

Alternativ erfolgt die Berechnung auf diese Weise, mit dem gleichem Ergebnis: \( \frac{3x+x^2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{x^2}{x} = 3 + x \)

Fehler 4

Ein weiterer häufiger Fehler ist das Ignorieren einer Klammer beim Potenzieren. So macht es sehr wohl einen Unterschied, ob man von \(-x^2\) oder von \((-x)^2\) spricht. Bei letzterem wird das Minus mit quadriert und kann umgeschrieben werden zu \((-x)^2 = x^2\).

Merkt euch unbedingt:
-32 = -(32) = -(3·3) = -9
(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

Fehler 5

Beim Einsetzungsverfahren (also beim Lösen von Gleichungssystemen) wird ebenfalls oft die Klammer vergessen.

Hat man folgendes Gleichungssystem gegeben:

$$5\cdot y + 2x = 7$$

$$y = x + 2$$

So kann man in der ersten Gleichung das y durch x + 2 ersetzen und hat damit nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Hierbei ist es allerdings notwendig, die Klammern zu setzen!

$$\color{red}{5\cdot x + 2 + 2x = 7}$$

Hier wird nicht berücksichtigt, dass x + 2 als Gesamtheit mit 5 multipliziert werden muss, und die 2 muss ohne Multiplikation auskommen.

Korrekt wäre folgende Vorgehensweise:

$$5\cdot y + 2x = 7 \quad | \ y = (x+2)$$

$$\color{green}{5\cdot(x+2)+2x = 7}$$

$$5\cdot x + 5\cdot2 + 2x = 7$$

Fehler 6

Beim Auflösen von Minusklammern ist das Vorzeichen eines jeden Summanden innerhalb der Klammer umzudrehen. Falsch wäre demnach:

$$\color{red}{-(x+y) = x-y}$$

Auch das x hat ein Vorzeichen, welches positiv ist und daher auch umgedreht werden muss:

$$\color{green}{-(x+y) = -x-y}$$

Hier hilft es sich, das Minus vor einer Klammer stets als Mulitplikation vorzustellen, also -(…) = (-1)·(…). Denn dadurch sieht man besser, warum sich bei allen Summanden innerhalb einer Klammer die Vorzeichen wechseln (erinnert euch an das Distributivgesetz):

$$\color{green}{-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1) \cdot x + (-1) \cdot y = -x + (-y) = -x - y }$$

Fehler 7

Weniger ein Fehler als vielmehr das Vergessen der Definition, dass eine Division durch 0 nicht erlaubt ist, hat schon den ein oder anderen Punktabzug in einer Klassenarbeit beschert und sei nochmals ausdrücklich erwähnt:

$$\color{green}{\frac10 = \text{nicht definiert (n.d.)}}$$

Fehler 8

Wohl meist ein Flüchtigkeitsfehler aber dennoch erwähnenswert ist der Umstand, dass bei der Frage nach einer Zahl, die größer ist als -10, gerne die Antwort wie -100 gegeben wird. Zeichnet man sich aber einen Zahlenstrahl auf und erinnert sich, dass „größer“ nichts anderes bedeutet als „weiter rechts“, so stellt man schnell fest, dass -100 sehr weit links von -10 liegt und damit kleiner ist. Also aufpassen!

Fehler 9

Ein sprachlicher Fehler ist leider auch sehr geläufig. So wird oft von einer Gleichung gesprochen, obwohl keine vorliegt. Eine Gleichung liegt nämlich nur dann vor, wenn auch das Gleichheitszeichen vorhanden ist. Hat man nur einen Ausdruck wie 5x + x, dann ist das keine Gleichung, sondern eben ein Ausdruck und damit ein Term. Ein Term ist ein mathematisch sinnvoller Ausdruck, welcher eine einfache Ziffer sein könnte, obige Summe oder beide Summanden selbst sind Terme. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, während einer links und einer rechts des Gleichheitszeichens steht, also Term = Term.

Fehler 10

Einer der häufigsten Fehler ist wohl das Unterschlagen von Lösungen bei einer quadratischen Gleichung. So hat \( x^2 = 9 \) nicht nur die Lösung \(x = 3\), sondern auch die negative Lösung \(x = -3\), denn das Minus wird beim Quadrieren ja positiv und somit ist \((-3)^2 = 9\) ebenfalls zu berücksichtigen.

Wir hoffen, euch mit dieser Übersicht nochmal vor Augen geführt zu haben, wo ihr aufpassen müsst. Sind euch einzelne Fehler nicht bekannt, also noch nicht passiert, dann ist das umso besser, denn dann habt ihr sie offensichtlich noch nie gemacht.

Hier noch eine kleine Übersicht zum Ausdrucken der zehn häufigsten Mathefehler oder zum Kopieren:

Häufigste Mathefehler Übersicht

Zu den im Video aufgeführten Beispielen findet ihr passende Videos innerhalb der Grundlagen:

Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen
Binomische Formeln
Bruchrechnung
Bruchgleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzeln
Wurzelgleichungen

Mathe-Programme

Eine Auswahl an Programmen, die zu den Themengebieten der Fehler passen:

  • Binomische Formel (1)
    Binomische Formel (1)
    Die 1. Binomische Formel wird hier grafisch veranschaulicht. Die Fläche (a+b)² entspricht der Fläche a²+2*ab+b².
  • Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Die vier Grundrechenarten bei beliebigen Brüchen mit Rechenweg, inklusive Erweitern und Kürzen.
  • Bruchrechnung (als Flächen)
    Bruchrechnung (als Flächen)
    Mit diesem Programm könnt ihr beliebige Brüche berechnen, die gleichzeitig als Flächen angezeigt werden.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr einige Übungsaufgaben, mit denen ihr testen könnt, ob ihr auch wirklich keinen der im Video gezeigten häufigen Fehler mehr begeht. Auch testet ihr mit den Aufgaben euer bisheriges Grundlagen-Wissen.

A: Welche Umformung (binomische Formel) ist korrekt?

1: (a+b)² = a² + b²

2: (a+b)² = a² + (ab)² + b²

3: (a+b)² = a² + 2ab + b²

4: (a+b)² = 2a + a²b² + 2b

B: Welche Addition der beiden Brüche wurde richtig durchgeführt?

1: $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1·1}{3·5} = \frac{1}{15} $$

2: $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1+1}{3+5} = \frac{2}{8} $$

3: $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5+3}{3·5} = \frac{8}{15} $$

4: $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1·1}{3+5} = \frac{1}{8} $$

C: Welche Umformung des Bruches ist korrekt?

1: $$ \frac{1+a}{a} = \frac{\frac{1}{a} · 1}{a} = \frac{1}{a^2} $$

2: $$ \frac{1+a}{a} = \frac{1·a}{a+1} = \frac{a}{a+1} $$

3: $$ \frac{1+a}{a} = \frac{1}{a}+\frac{a}{a} = \frac{1+a}{a+a} = \frac{1+a}{2·a} $$

4: $$ \frac{1+a}{a} = \frac{1}{a}+\frac{a}{a} = \frac{1}{a}+1 $$

D: Welche der folgenden Termumformungen ist korrekt?

1: (-y)² = (-y)·(-y) = (-1)y·(-1)y=(-1)·(-1)·y·y = 1·y² = y²

2: (-y)² = (-y)·(-y) = (y-1)·(y-1) = y·y - 2y² + 1 = 1 - y²

3: -y² = (-y)·(-y) = (-1)y·(-1)y = 1 + y·y = 1 + y²

4: -y² = -y·y = -1 + y² - 2y = 1 + y·y = (y-1)²

E: Welche der folgenden Termumformungen wurde korrekt vorgenommen?

1: -z-(-y) = (-1)·z-((-1)y) = (-1)·z(+1)y = (-1)·z·y = -yz

2: -z-(-y) = (-1)·z-((-1)y) = (-1)·z+(+1)·y = (+1-1)+z+y = y+z

3: -z-(-y) = (-1)·(z-y) = (-1)·z-(-1)·y = (-1-1)+z+y = y+z-2

4: -z-(-y) = (-1)·z-((-1)·y) = (-1)·z+(-1)·((-1)·y) = (-1)·z+(-1)·(-1)·y = (-1)·(z+(-1)·y) = (-1)·(z-y) = y-z

F: Welche Termumformung der Brüche mit Variablen wurde richtig durchgeführt?

1: $$ \frac{u}{(1-s)(1+s)+s²-1} = \frac{u(1-s)(1+s)}{s²-1} = \frac{u(1-s²)}{s²-1} = u·\frac{(1-s²)}{s²-1} = u·\frac{(-1)(s²-1)}{s²-1} = -u $$

2: $$ \frac{u}{(1-s)(1+s)+s²-1} = \frac{u}{(1-s)²+s²-1} = \frac{u}{1-s²+s²-1} = \frac{u}{0} = \text{nicht definiert} $$

3: $$ \frac{u}{(1-s)(1+s)+s²-1} = \frac{u}{(1-s)²+s²-1} = \frac{u}{1-2s+s²-s²-1} = \frac{u}{-2s} $$

4: $$ \frac{u}{(1-s)(1+s)+s²-1} = \frac{u}{1-s²+s²-1} = \frac{u}{1-1-s²+s²} = \frac{u}{0} = \text{nicht definiert} $$

G: Welcher Größenvergleich ist korrekt?

1: 5 < -10 < -22

2: -13 < -7 < -2

3: 5 > -10 > 22

4: -13 > -7 > -2

H: Beantworte, ob es sich um einen Term bzw. eine Gleichung handelt.

1: Ist dies ein Term? a-by=cx

2: Ist dies eine Gleichung? 11cz+x-2a

3: Ist dies ein Term? 5-10y+2z

4: Ist dies eine Gleichung? 3-7+5a²

I: Welches Wurzelergebnis ist richtig?

1: $$ \sqrt{x^2-2xy+y^2} = \pm x\pm y $$

2: $$ \sqrt{x^2-2xy+y^2} = \pm (x - y) $$

3: $$ \sqrt{x^2-2xy+y^2} = \pm (x \pm y) $$

4: $$ \sqrt{x^2-2xy+y^2} = \pm y \mp x $$

J: Welche Umformung mit Minus und Klammer stimmt?

1: -(r+t) = (-1)·r+(-1)·t = -r-t

2: -(r+t) = (-1)·r+(+1)·t = -r+t

3: -(r+t) = (-1)·r+(-1)·t = +r-t

4: -(r+t) = (+1)·r(-1)·t = -rt


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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