Mathe G14: Proportionalität und Dreisatz

Inhalte:

Voraussetzung:
Laut Lehrplan: 6. - 7. Klasse

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Die Proportionalität spielt eine wesentliche Rolle in der Mathematik und im Alltag. Steigt eine Größe, dann steigt auch eine andere. Als Beispiel: Je mehr ihr einkauft, desto mehr müsst ihr bezahlen. Details gibt es im folgenden Video:

G14 Proportionalität und Dreisatz

Bedeutung der Proportionalität: Steigt ein Wert so steigt auch ein anderer, sinkt ein Wert so sinkt auch ein anderer. Dreisatz: Unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermitteln. Beispielaufgaben.

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Wissen zur Lektion

Was ist Proportionalität?

Klären wir zunächst einmal, was genau Proportionalität heißt. Das Wort Proportion besteht aus den Wörtern „pro“ und „portion“. Übersetzt heißt dies so viel wie „je Anteil“. Eine Proportion beschreibt damit ein Verhältnis zwischen zwei Dingen/Werten. Machen wir uns die Bedeutung von Proportionalität an einem Beispiel klar:

Sagen wir, dass am Kiosk ein Schokoriegel 1,50 € kostet. Dies beschreibt eine Proportion. Die Proportionalität besteht zwischen den beiden Größen „Menge der Schokoriegel“ und „Preis“. Der Preis der Schokoriegel hängt von der Menge ab. Kaufen wir mehr Schokoriegel, so müssen wir auch mehr bezahlen. Zwei Schokoriegel kosten nun 3 €. Machen wir uns eine kleine Tabelle mit den Preisen von bis zu 5 Schokoriegeln:

Menge Preis Preis pro Menge Menge pro Preis
1 Stück 1,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
2 Stück 3,00 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
3 Stück 4,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
4 Stück 6,00 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€
5 Stück 7,50 € 1,50 €/Stück 0,6666… Stück/€

Den Preis pro Menge bzw. die Menge pro Preis erhalten wir, indem wir jeweils die erste Größe durch die zweite Größe teilen. Uns fällt direkt auf, dass Preis pro Menge und Menge pro Preis bei allen Mengen und Preisen gleich ist. Genau das ist das Kennzeichen für Proportionalität, nämlich ein Faktor, der das Verhältnis der beiden Größen beschreibt. Diesen Faktor nennt man Proportionalitätsfaktor. Steigt also einer der beiden Größen, so steigt auch die andere Größe im gleichem Maße. Wir könnten nachdem wir den Proportionalitätsfaktor berechnet haben, auch ganz leicht berechnen, wie viel 20 oder auch 200 Schokoriegel kosten:

20 · 1,50 € = 30 € bzw. ausführlich mit Einheiten notiert: 20 Stück · 1,50 €/Stück = 30 €

200 · 1,50 € = 300 € bzw. ausführlich mit Einheiten notiert: 200 Stück · 1,50 €/Stück = 300 €

Betrachten wir die Berechnung des Proportionalitätsfaktors, dann sehen wir, dass wir diesen Faktor auch als Bruch darstellen können:

1 Stück / 1,50 € = 2 Stück / 3,00 € = 3 Stück / 4,50 €

Das können wir auch schreiben als:

1 Stück / 1,50 € = 2 · 1 Stück / 2 · 1,50 € = 3 · 1 Stück / 3 · 1,50 €

Wir erkennen, dass wir einen Faktor haben, mit dem wir Nenner und Zähler unseres Bruches multiplizieren, wenn wir das Verhältnis von einer anderen Menge bestimmen möchten, da das Verhältnis bei Proportionen immer gleich ist.

Zusatz: Wenn wir nun einen Graph zu dieser Tabelle zeichnen würden, egal ob Menge auf der x-Achse und Preis auf der y-Achse oder umgekehrt, so würden wir eine Gerade erhalten, die als Steigung den dazugehörigen Proportionalitätsfaktor besäße. Die Gerade für unser Beispiel hätte die Funktionsgleichung (x-Werte sind Stück, y-Wert sind Euro): f(x) = 1,5/1·x = 1,5·x und sieht so aus:

~plot~ 1,5*x;{1|1,5};{2|3} ~plot~

Dreisatz

Wenn es sich um das Thema Proportionalität handelt, könnte uns eine Aufgabe in der folgenden Form begegnen:

"Für eine Klassenfahrt zahlen 20 Schüler insgesamt 360 Euro. Wie viel Euro müssten 25 Schüler bezahlen?"

Wie gehen wir an so eine Aufgabe heran? Wir wissen, dass der Preis und die Anzahl der Schüler proportional zueinander sind. Für jeden Schüler wird also ein fester Betrag bezahlt.

Wir berechnen also zunächst einmal den Preis für einen Schüler. Das machen wir, indem wir den Preis für 20 Schüler durch 20 teilen:
360 € : 20 Schüler = 18 €/1 Schüler = 18 €/Schüler

Ein Schüler bezahlt also 18 €.

Jetzt können wir auch ganz einfach den Preis für 25 Schüler berechnen:
25 Schüler · 18 €/Schüler = 450 €

25 Schüler müssten also 450 Euro bezahlen.

Dieses Vorgehen nennt man Dreisatz. Es heißt Dreisatz, weil wir drei Schritte machen:

1. Wir haben zunächst einmal ein Verhältnis aufgestellt. (20 Schüler zahlen 360 Euro)

2. Wir haben das Verhältnis für 1 Einheit berechnet. (Preis für einen Schüler)

3. Wir haben den Wert für die gesuchte Anzahl berechnet. (Preis für 25 Schüler)

Wir können uns den zweiten Schritt auch sparen, indem wir unser Problem als Bruch schreiben und direkt den Faktor z bestimmen, mit dem wir von 20 auf 25 Schüler gelangen. Genau so, wie wir es bei dem Proportionalitätsfaktor bei den Schokoriegeln auch gemacht haben:

20 Schüler / 360 € = 25 Schüler / x

x ist unser gesuchter Preis.

Wir wissen nun:

z · 20 Schüler / z· 360 € = 25 Schüler / x

Wir bestimmen unser z mit einer Nebenrechnung:

Nebenrechnung: 20 · z = 25, damit ist z = 20 / 25 = 1,25

Wir kommen also von 20 auf 25, indem wir 20 mit 1,25 multiplizieren. Nun müssen wir genauso unsere 360 € mit diesem Faktor 1,25 multiplizieren und erhalten:

360 € · z = x   | z=1,25
360 € · 1,25 = x
x = 450 €

Zusätzlicher Lösungsweg:

Mit dem Umformen der Gleichung können wir unser Problem auch lösen. Da wir wissen, dass es einen Proportionalitätsfaktor gibt, können wir den Preis pro Schüler bei 20 und bei 25 Schülern gleichsetzen:

20 / 360 = 25 / x

Beide Seiten stellen den Preis pro Schüler dar, wobei x unser gesuchter Preis ist. Wir formen dies um, indem wir auf beiden Seiten den Kehrwert bilden:

360 / 20 = x / 25

Wir multiplizieren beide Seiten mit 25 und erhalten:

360 / 20 · 25 = x

x = 450

Hat man zwei Größen a und b, die proportional zueinander sind so schreibt man: a ~ b

Zusammenfassung

Wiederholung macht den Meister, hier das Wichtigste zusammengefasst:

Für proportional schreibt man: a ~ b. Bei unserem Beispiel 1 Schokoriegel ~ 1,50 Euro heißt das: Erhöht sich die Stückzahl, so erhöht sich der Preis entsprechend.

Den Proportionalitätsfaktor erhalten wir, wenn wir die eine Größe durch die andere teilen. Dabei ist es egal, welche wir als Divisor nutzen, es ergibt sich jeweils ein konstantes Verhältnis. Für unser Beispiel:

2 Schokoriegel : 3 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro
4 Schokoriegel : 6 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro

oder

3 Euro : 2 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel
6 Euro : 4 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel

Schreibt die Divisionen in Form von Brüchen, dann ist der Zusammenhang leichter zu erkennen (Stichwort Kürzen/Erweitern).

Dreisatz

Der Dreisatz heißt Dreisatz, da man den unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermittelt bzw. in 3 Sätzen löst. In Österreich heißt der Dreisatz "Schlussrechnung".

Aufgabe mit Dreisatz lösen:
1. Verhältnis aufstellen.
2. Unbekannten Wert ins Verhältnis setzen.
3. Gesamte Gleichung aufstellen und lösen.

Beispiel-Aufgabe:

12 Menschen trinken pro Tag 22,8 Liter Wasser. Wie viel trinken 34 Menschen?

1. Verhältnis: 12 Menschen = 22,8 Liter

2. Verhältnis für unbekannten Wert: 34 Menschen = x Liter

3. Gesamte Gleichung: 12 Menschen : 22,8 Liter = 34 Menschen : x Liter
oder mittels Kehrwert: 22,8 Liter : 12 Menschen = x Liter : 34 Menschen

Jetzt noch die Gleichung lösen, wir erhalten: x = 64,6 Liter

Der Proportionalitätsfaktor ist übrigens:
22,8 Liter : 12 Menschen = 1,9 Liter/Mensch
64,6 Liter : 34 Menschen = 1,9 Liter/Mensch

Der Begriff "Dreisatz"

Im Video sagten wir, dass der Begriff "Dreisatz" verschieden gedeutet werden kann. Zum einen als drei gegebene Werte, zum anderen als Lösen in drei Sätzen, wobei wir die drei Sätze wählten als 1. Aufstellen einer Relation, 2. Herunterrechnen auf eine Einheit, 3. Heraufrechnen auf die gesuchte Größe. In einigen Lehrbüchern wird der Dreisatz jedoch wie folgt beschrieben:

1. Bedingungssatz (gegeben: 75 kg = 50 Stück)
2. Fragesatz (gesucht: 102 kg = x Stück)
3. Schlusssatz (gelöst: x = 50:75 * 102 = 68 Stück)

* Man spricht übrigens von Zweisatz, wenn nur zwei Größen gegeben sind. Also 1 Stück kostet 3 Euro. Wie viel kosten 10 Stück? Dann müsst ihr einfach 3 Euro x 10 Stück rechnen. Beim Dreisatz hat man den Preis für 1 Stück jedoch nicht gegeben!

Doppelter Dreisatz

Fangen wir mit einem Beispiel an, damit klar wird, was der doppelte Dreisatz ist: 2 Hühner legen in 2 Tagen genau 4 Eier. Wie viele Eier legen dann 6 Hühner in 8 Tagen?

Diese Aufgabe ist nicht ganz so einfach, weil hier mehrere Größen voneinander abhängen. Es stellt sich die Frage, von welcher Größe alle anderen Werte abhängen. Also fragen wir uns: Wenn wir die Tage erhöhen, dann verändert sich was? Richtig: Die Anzahl der Eier, dabei bleiben die Hühner gleich. Wenn wir die Anzahl der Hühner erhöhen, dann verändert sich was? Richtig: Die Anzahl der Eier, dabei bleiben die Tage gleich. Tage und Hühner beeinflussen also die Anzahl der Eier. Stellen wir nun wie folgt auf:

2 Hühner ~ 2 Tage ~ 4 Eier
2·3 Hühner ~ 2 Tage ~ 4·3 Eier
6 Hühner ~ 2 Tage ~ 12 Eier
6 Hühner ~ 2·4 Tage ~ 12·4 Eier
6 Hühner ~ 8 Tage ~ 48 Eier

Lösung: 6 Hühner legen in 8 Tagen also genau 48 Eier.

Mathe-Programme Proportionalität

  • Proportionalität und Dreisatz
    Proportionalität und Dreisatz
    Einfach die Stückzahl und den Preis festlegen, der Proportionalitätsfaktor (Preis je Stück) wird errechnet. Wählt danach unten eine neue Bezugsgröße (Stückzahl).
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Übungsaufgaben

Teste hier dein Wissen zum Thema Proportionalität und zum Dreisatz!
Schreibe bei allen Aufgaben unbedingt den Lösungsweg auf (also wie in der Schule ).


A. Aufgaben zur Proportionalität: Ermittelt die gesuchte Größe aus den vorliegenden Angaben!

1. Wir wollen 5 Liter Wandfarbe kaufen. 1 Liter ist mit 2,99 Euro ausgepreist. Wie viel kosten dann die 5 Liter.

2. Fünf Bleistifte kosten 1,70 Euro. Wie viel würden wir für 50 Bleistifte bezahlen?

3. Je Schüler werden 2 blaue Kugelschreiber (3,80 Euro) und 2 rote Kugelschreiber (4,40 Euro) benötigt. Wie hoch sind die Kosten bei 20 Schülern?

4. Franks Vater tankt 50 Liter Benzin für 77,50 Euro. Wie viel hätte er zahlen müssen, wenn nur 40 Liter getankt worden wären.

5. Unser Drucker schafft 320 Seiten in 7 Minuten. Wie viele Seiten schafft er in 8 Minuten?

6. Ein Gepard rennt 100 Meter in 6,19 Sekunden. Wie lange braucht er (bei dieser Geschwindigkeit), um 180 Meter zu bewältigen.

7. Das digitale Tacho eines Radfahrers zeigt nach der Sommersaison (4 Monate) an, dass er 3.840 Kilometer gefahren ist. Wie viele Kilometer ist er durchschnittlich pro Monat gefahren?

8. Du siehst ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 10 cm. Um welchen Faktor vergrößert sich die Fläche, wenn du beide Seiten verdoppelst?

B. Schwierigere Aufgaben zur Proportionalität: Bei den folgenden Aufgaben solltet ihr etwas nachdenken, bevor ihr sie angeht und löst.

1. Bei einem Spiel müssen 4 rote und 6 blaue Kugeln verdeckt aus einem Sack gezogen werden. Die Chance, eine rote Kugel zu ziehen, liegt bei 4 zu 10 und die Chance auf eine blaue Kugel liegt bei 6 zu 10. Wenn wir die Anzahl der roten Kugeln verdoppeln, verdoppelt sich dann auch die Chance, diese zu ziehen?

2. Um ein Haus zu bauen, benötigen 10 Bauarbeiter 30 Tage. Wie viele Tage brauchen doppelt so viele Arbeiter?

3. Ein Vulkan stößt 15 Tage lang heiße Lava aus, es entstehen 22 Tonnen neues Gestein. Wir wissen, dass am ersten Tag nur 1 Tonne Lava ausgestoßen wurde, sich jedoch der Ausstoß danach jeden zweiten Tag um 3 Tonnen erhöhte (also am 3., 5., 7. Tag usw.). Wenn der Vulkan noch 6 weitere Tage aktiv gewesen wäre, wie viel Tonnen Gestein hätte er dann insgesamt ausgespuckt?

4. Einstein hat die Formel E = m*c² entwickelt. Sie besagt, dass Energie proportional zur Masse ist. Das heißt, verdoppeln wir die Masse, so verdoppelt sich auch deren Energie. Wenn wir also ein Objekt von 80 kg Masse nehmen und die Masse auf 120 kg erhöhen, wie verändert sich dann deren Energie?

C. Löst die Aufgaben mit Hilfe von Brüchen! Wie wir im Video gezeigt hatten, kann man Verhältnisse auch mit Hilfe von Brüchen aufstellen. Versucht es bei den folgenden Aufgaben:

1. Jeden Tag kauft Herr Kaufmann 8 Brötchen zum Frühstück. Wie viele Brötchen kauft er demnach in 4 Wochen?

2. Der Flug geht 12 Stunden. Nach 4 Stunden wurden 1.800 km zurückgelegt. Wie lang ist der gesamte Flug?

3. Schulstress kann krank machen. Im Schnitt sind 5 von 30 Schülern überdurchschnittlich gestresst und werden eher krank als andere. Eine Schule hat 552 Schüler, wie viele davon sind überdurchschnittlich gestresst?

4. Die Angestellte im Callcenter nimmt pro Stunde durchschnittlich 12 Anrufe an. Wie viele Telefonate führt sie an einem 8-stündigen Arbeitstag?


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Proportion, Verhältnis, Zuordnung, einfacher Dreisatz, Anteil
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