G06: Rechnen mit Vorzeichen

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Laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

Mathe-Videos

Einigen Schülern bereitet das Rechnen mit negativen Zahlen Probleme, daher schauen wir uns heute das Rechnen mit Vorzeichen an. Ihr lernt, wie ihr Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sicher mit Vorzeichen durchführen könnt. Dies ist Grundlagen-Wissen der Mathematik, das ihr beherrschen müsst. Wir bewegen uns übrigens im Bereich der Ganzen Zahlen.

G06-1 Rechnen mit Vorzeichen - Addition und Subtraktion

Einführung zum Rechnen mit Vorzeichen, Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen, Herleitung der Rechenregeln, Grundlagen-Wissen Mathematik.

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Wissen zur Lektion

Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen

Alle Varianten zur Addition und Subtraktion von positiven und negativen Zahlen:

(+2) + (+2) = 2 + 2 = 4
(+2) + (-2) = 2 - 2 = 0
(+2) - (+2) = 2 - 2 = 0
(+2) - (-2) = 2 + 2 = 4

(-2) + (+2) = - 2 + 2 = 0
(-2) + (-2) = - 2 - 2 = -4
(-2) - (+2) = - 2 - 2 = -4
(-2) - (-2) = - 2 + 2 = 0

Wenn die Vorzeichen also direkt nebeneinander stehen, gilt Folgendes:
+  +  →  +
+  −  →  −
−  +  →  −
−  −  →  +

Multiplikation und Division positiver und negativer Zahlen

Alle Varianten zur Multiplikation von positiven und negativen Zahlen, dies gilt auch für die Division:

(+3) · (+3) = 3 · 3 = 9
(+3) · (-3) = 3 · (-3) = -9
(-3) · (+3) = (-3) · 3 = -9
(-3) · (-3) = 3 · 3 = 9

Für das Multiplizieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen gilt also:
+  mal  +  →  +
+  mal  −  →  −
−  mal  +  →  −
−  mal  −  →  +

Auch könnt ihr euch diesen hilfreichen Zusammenhang merken:
4 + (-3) = 4 - (+3) = 4 - 3 = (-3) + 4

Minus von der Zahl "abtrennen"

Es ist übrigens hilfreich zu wissen, dass man ein Minus mit ·(-1) abtrennen kann, also zum Beispiel:

-5 = (-1)·5
Verallgemeinert heißt das also: -a = (-1)·a

Wer diese Regel nachweisen möchte, benutzt hierfür das Distributivgesetz (also das Ausklammern) wie folgt:

• Es steht fest, dass -a + a = 0
• Wenn wir -a zu -1·a umwandeln, dann erhalten wir -1·a + 1·a = (-1 + 1)·a = 0 · a = 0

1·a ist a, also kann -1·a nur den Wert -a haben, da bei -1·a + 1·a sonst nicht Null herauskommen würde.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 1)

Wie wir in den Videos gesehen haben, ergibt sich ein positives Ergebnis, wenn wir zwei negative Zahlen miteinander multiplizieren. Für Nachweise hierfür gibt es verschiedene Ansätze. Eine anschauliche Herleitung der Regel von Minus · Minus = Plus kann man über das Distributivgesetz anführen:

a·(b + c) = a·b + a·c

// Beispielwerte einsetzen
// a = (-3), b = 4, c = (-4)

(-3)·(4 + (-4)) = (-3)·4 + (-3)·(-4)
(-3)·(4 - 4 ) = (-3)·4 + (-3)·(-4)
(-3)·0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = -3·4 + (-3)·(-4)
0 = -12 + (-3)·(-4)

Und jetzt fragt sich, welchen Wert muss (-3)·(-4) annehmen, damit es mit der -12 schließlich Null ergibt? Richtig, eine positive 12.

0 = -12 + (-3)·(-4)
0 = -12 + 12

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 2)

Ein weiterer, etwas längerer Weg ist der folgende, hierfür müsst ihr jedoch das Umstellen von Gleichungen, Lektion G12: Terme, Termumformung, Gleichungen verstanden haben:

+x = (-a)·(-b)
// bzw.
(-a)·(-b) = +x
// wir addieren auf beiden Seiten +(-a)·(b)
(-a)·(-b) +(-a)·(b) = x +(-a)·(b)
// jetzt klammern wir links -b und b aus
(-a)·( (-b)+(b) ) = x +(-a)·(b)
// -b + b ergibt Null
(-a)·0 = x + (-a)·(b)
// -a·0 ergibt auch Null
0 = x + (-a)·(b)
// das (-a)·(b) schreiben wir als -a·b
0 = x + (-a·b)
// jetzt addieren wir auf beiden Seiten +a·b
0 +a·b = x + (-a·b) +a·b
// es ergibt sich
a·b = x + ( -a·b + a·b )
a·b = x + ( 0 )
a·b = x
+x = a·b

Wie wir sehen, steht am Anfang +x = (-a)·(-b) und am Ende +x = a·b, beide haben den gleichen Wert, sind also positiv.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 3)

Wie wir im Video Teil 2 gesehen haben, gilt bei der Division, dass jede Zahl durch sich selbst 1 ergibt, also:

x : x = 1 (Ausnahme für x = 0)

Dies gilt auch für negative Zahlen, also zum Beispiel (-3) : (-3) = 1

Und richtig, das Ergebnis 1 ist positiv, also +1

(-3) : (-3) = +1

Negativer Wert durch negativer Wert ergibt positiven Wert. Hier könnte man (da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist) schlussfolgern, dass Minus mal Minus dann auch Plus ergeben muss.

Minus negative Zahl = Plus positive Zahl

Wie weist man nach, dass -(-z) das Gleiche ist wie +(+z)? Oft findet man den Ansatz, dass Minus für das Gegenteil (die sogenannte "Inverse") steht. Das Gegenteil von +3 ist also -3 (die Gegenzahl). Wenn wir jetzt die Inverse von (-3) haben wollen, so ergibt sich +3. Also rechnerisch: -(-3) = +3

Um diesen Sachverhalt rechnerisch besser darstellen zu können, greifen wir auf das weiter oben Gelernte zurück. Wir wissen ja nun, dass (-1)·(-1) = (+1) ergibt, also können wir Folgendes überlegen:

Nehmen wir als Beispiel 2 - (-5) und trennen das Minus von der 5 mit (-1)·5
2 - (-5) = 2 - (-1)·5

Jetzt trennen wir das Minus an der -(-1) ebenfalls mit (-1)·(-1) ab und setzen davor noch ein Pluszeichen:
2 - (-1)·5 = 2 + (-1)·(-1)·5 =

Als letztes rechnen wir (-1)·(-1) = +1
2 + (-1)·(-1)·5 = 2+5 = 7

So sehen wir, dass 2 - (-5) = 2 + 5 = 7 ist.

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    Grundrechenarten (Ganze Zahlen)
    Grundrechenarten bei den Ganzen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
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    Rechnen mit Vorzeichen
    Das Rechnen mit Vorzeichen am Zahlenstrahl grafisch verdeutlicht!

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Tags: positive und negative Vorzeichen, Zahlen, Minus vor Klammer, Grundlagen-Mathematik
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