Mathe G28: Wurzelgleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Die Lektion Wurzelgleichungen besteht aus 5 Mathe-Videos, in denen wir euch zeigen, wie ihr Wurzelgleichungen schnell lösen könnt und auf welche Besonderheiten ihr beim Lösen achten müsst. Zusätzlich wird im Teil 5 erklärt, wie der Wert einer Wurzel berechnet werden kann.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G28-1 Wurzelgleichungen - Einführung, Definitionsmenge

    Wiederholung der wichtigsten Regeln zu den Wurzeln. Einführung Wurzelgleichung und Lösung von 3 = √(x+5) mittels Quadrieren. Definitionsmenge festlegen, da Radikand nicht negativ werden darf. Pflichtprobe bei Wurzeln. Lösung der Gleichungen √(3·x) = √(14+x) und √(15-2·x) + 1 = 3,5 mit Proben.

  • G28-2 Wurzelgleichungen - Lösen mit p-q-Formel, Wurzel-Ambiguität

    Lösung der Wurzelgleichung 1+x=√(4-x) mit Hilfe der p-q-Formel. Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel und Scheinlösungen. Lösungsmenge bei Wurzelgleichungen. Quadratwurzel führt immer zu postivem Ergebnis.

  • G28-3 Wurzelgleichungen - Lösungsschritte, Lösen mit Graphen

    Lösungsschritte für Wurzelgleichungen. Lösung der Gleichung 4·√(x)=100 sowie 3·√(x-16)=√(20+x) und √(3+x)=x+5. Wurzelgleichungen lösen über Deutung als Funktionsgraphen und Schnittpunkt finden. Lösung von √(3+x)=x über Funktionsgraphen.

  • G28-4 Wurzelgleichungen - Verschachtelte Wurzeln, 4. Wurzel

    Lösung einer Wurzelgleichung mit verschachtelter Wurzel: √(-x + √(-x+5)) = 4 mit p-q-Formel. Lösung einer Gleichung mit 4. Wurzel: √(3x+3)=^4√(-9x) mit Potenzierung. Wurzelgleichung mit 2. und 3. Wurzel durch Umwandlung in Potenzen.

  • G28-5 Wurzelgleichungen - Wurzeln selbst berechnen

    Wurzeln mittels Intervallschachtelung berechnen, Methode 1: Annäherung an die Grenze über weitere Nachkommastellen, Methode 2: Annäherung über den Mittelwert aus den Grenzen. Heron-Verfahren zur Bestimmung des Wurzelwertes inklusive geometrischer Deutung.

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Wissen zur Lektion

Wiederholung der Wurzeln

Wurzeln haben die Form:

$$ \sqrt [ a ]{ b } =\quad c $$

a nennt man Wurzelexponent.

b nennt man Radikand.

c nennt man Wurzelwert.

Einige wichtige Rechenregeln für Wurzeln haben wir bereits kennengelernt, sie lauten:

$$ \sqrt [ 2 ]{ x } \quad =\quad \sqrt { x } \\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ a } } \quad =\quad x\\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ b } } \quad =\quad { x }^{ \frac { b }{ a } }\\ \sqrt [ a ]{ { x } } \quad =\quad { x }^{ \frac { 1 }{ a } } $$

Einfache Wurzelgleichungen lösen

1. Beispiel:

Nehmen wir zunächst einmal die Gleichung 3 = 3 und bauen uns aus dieser Gleichung eine Wurzelgleichung. Wir wissen, dass 3·3 = 9 ist und können deswegen auf folgendes schließen:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } $$

Teilen wir jetzt die 9 auf in 9 = 4 + 5 und verstecken die 4, indem wir sie durch ein x ersetzen, so erhalten wir:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \\ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 }$$

Wir wissen, dass x = 4 die Gleichung löst. Gehen wir davon aus, dass wir die Lösung dieser Gleichung nicht kennen. Welche Werte könnte x überhaupt annehmen, ohne, dass es zu Problemen kommt. Wir wissen, dass unter der Wurzel (der Radikand) nichts Negatives stehen darf. Also schauen wir uns an, für welche x die Wurzel keinen negativen Ausdruck beinhaltet.

Wir sehen direkt, dass x alle reellen Zahlen annehmen kann, die größer gleich (-5) sind, ohne dass wir Probleme mit der Wurzel bekommen.

Was wir gerade bestimmt haben, nennt man Definitionsmenge. Unsere Aussage schreibt man wie folgt auf:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -5 }

Das heißt so viel wie: Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen unter der Bedingung, dass x größer gleich (-5) ist.

Möchten wir unsere Gleichung jetzt auflösen, so müssen wir die Gleichung nach x umformen. Uns stört hier jedoch die Wurzel. Wir beseitigen die Wurzel, indem wir beide Seiten quadrieren:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 } \quad |\quad { () }^{ 2 }\\ { 3 }^{ 2 }\quad =\quad { (\sqrt { x+5 } ) }^{ 2 }\\ 9\quad =\quad x\quad +5\quad $$

Wir können diese Gleichung nun wie bereits bekannt auflösen:

$$ 9\quad =\quad x\quad +5\quad |\quad -5\\ x\quad =\quad 4 $$

Wichtig ist jetzt, dass wir unsere Lösung überprüfen. Denn es kann sein, dass unsere Lösung nicht in der Definitionsmenge liegt. Somit wäre unsere vermeintliche Lösung gar keine echte Lösung der Gleichung. Also machen wir die Probe und setzen x = 4 ein:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \quad \\ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } \\ 3\quad =\quad 3\\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

2. Beispiel:

Schauen wir uns jetzt eine andere Wurzelgleichung an:

$$\sqrt { 3·x } =\sqrt { 14\quad +\quad x }$$

Wir haben auf beiden Seiten eine Wurzel stehen. Lösen wir diese Gleichung auf, so quadrieren wir wieder beide Seiten und formen anschließend nach x um:

$$ \begin{align} &\sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } &\vert { () }^{ 2 } \\ &{ (\sqrt { 3·x } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 14+x } ) }^{ 2 } \\ &3·x = 14 + x &\vert -x \\ &2·x = 14 &\vert :2 \\ &x = 7 \end{align} $$

Machen wir auch hier die Probe, so erhalten wir:

$$ \sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } \quad\vert x=3 \\ \sqrt { 3·7 } = \sqrt { 14 + 7 } \\ \sqrt { 21 } = \sqrt { 21 } \\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

Auch hier können wir die Definitionsmenge bestimmen. Für unsere Definitionsmenge dürfen wir nun in beiden Wurzeln keine Probleme erhalten. Wir haben also auf der linken Seite der Gleichung die Definitionsmenge:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir die Definitionsmenge:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -14 }

Wir müssen aber eine Definitionsmenge für die gesamte Gleichung angeben. Diese finden wir, wenn wir uns anschauen, welche Werte für x in beiden Definitionsmengen liegen. Zum einen x ≥ 0 und zum anderen x ≥ -14. Unsere Definitionsmenge für die gesamte Gleichung ist somit:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

3. Beispiel:

Lösen wir noch eine dritte Wurzelgleichung:

$$ \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 $$

Wir können jetzt nicht einfach direkt beide Seiten quadrieren. Wenn wir dies machen würden, so müssten wir die binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung anwenden. Das würde unser Problem nicht lösen, da immer noch eine Wurzel enthalten sein würde.

Was wir machen müssen ist ganz simpel. Wir subtrahieren von beiden Seiten den Wert 1. Somit haben wir den Wurzelausdruck alleine auf einer Seite stehen. Wir können dann ganz normal weiter machen:

$$ \begin{align} \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 &\quad\vert -1 \\ \sqrt { 15 - 2·x } = 2,5 &\quad\vert { () }^{ 2 } \\ 15 - 2·x = 6,25 &\quad\vert -15 \\ -2·x = -8,75 &\quad\vert :(-2) \\ x = 4,375 \end{align} $$

Auch hier machen wir wieder die Probe, indem wir x= 4,375 einsetzen:

$$ \sqrt { 15 - 2·4,375 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 15 - 8,75 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 6,25 } + 1 = 3,5\\ 2,5+1 = 3,5\\ 3,5 = 3,5 $$ Unsere Gleichung ist wahr, also ist unsere Lösung auch richtig.

Wichtigkeit der Probe / Scheinlösungen

Bei den vorherigen Beispielen ist die Probe am Ende immer aufgegangen. An den folgenden Beispielen werden wir sehen, warum wir überhaupt eine Probe durchführen müssen und dass diese Probe nicht immer funktioniert.

1. Beispiel

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } $$

Wir verfahren genau so wie bei den anderen Beispielen:

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } \qquad |{ () }^{ 2 }\\ { (1+x) }^{ 2 } = { (\sqrt { 4 - x } ) }^{ 2 } $$

Auf der linken Seite wenden wir nun die binomische Formel an:

$$ \\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 }= { 4 - x } $$

Wir bringen die rechte Seite auf die linke Seite und ändern anschließend die Reihenfolge der Summanden:

$$ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } = { 4 - x } \qquad |-(4-x)\\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } - 4 + x = 0\\ { x }^{ 2 } + 3·x - 3 = 0 $$

Jetzt sehen wir, dass wir die pq-Formel anwenden können mit p = 3 und q = -3.

$$ { x }_{ 1,2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \pm \sqrt { ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ 2 } - (-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -\frac{ 3 }{ 2 } \pm \sqrt { 5,25 } $$

Wir nehmen jetzt den Taschenrechner zur Hilfe um die Wurzel zu berechnen und erhalten:

$$ { x }_{ 1 } \approx 0,791 \\ { x }_{ 2 } \approx -3,791 $$

Machen wir mit beiden eventuellen Lösungen jetzt die Probe (auch hier müssen wir den Taschenrechner benutzen):

$$ 1 + x = \sqrt { 4 - x } \qquad | x = 0,791 \\ 1 + 0,791 = \sqrt { 4 - 0,791 } \\ 1,791 = \sqrt { 3,209 } \\ 1,791 = 1,791 $$

x1 = 0,791 ist also eine korrekte Lösung der Gleichung.

Anmerkung: Eigentlich hätten wir hier mit dem nicht gerundeten Wert rechnen müssen, also einsetzen von x1 = (-3/2 + √5,25), da die √3,209 nicht exakt 1,791 ergibt. Der Einfachheit halber haben wir oben jedoch den gerundeten Wert gewählt.

Jetzt fehlt noch die Probe mit der 2. Lösung x2 = -3,791:

$$ 1 - 3,791 = \sqrt { 4 + 3,791 } \\ -2,791 = \sqrt { 7,791 } \\ -2,791 \neq 2,791 $$

Wir sehen, dass unsere zweite angebliche Lösung die Gleichung nicht löst.

Als Lösung haben wir also nur x1 = 0,791.

Warum kommt es zu zwei Lösungen?

Warum ist es überhaupt möglich, dass wir zwei Lösungen erhalten können? Betrachten wir dazu folgende Gleichung:

$$ { (-5) }^{ 2 } = 25 $$

Wir setzen x = (-5) und verstecken damit unsere (-5):

$${ x }^{ 2 } = 25 $$

Wenn wir das auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Da aber die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir:

$${ x }^{ 2 } = 25 \quad |\sqrt { \quad } \\ x = 5 $$

Unser x war ursprünglich jedoch (-5). Deshalb müssen wir, wenn wir bei solchen Gleichung die Wurzel ziehen, vor die Wurzel ein ± setzen. Wir haben also die Lösung:

$$ { x }^{ 2 } = 25 \quad |\pm \sqrt { \quad } \\ x = \pm \sqrt {25} \\ x = 5 \quad \text{oder} \quad x = -5 $$

In diesen Fällen spricht man auch von der Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel. Wir sehen also, dass wenn wir quadrieren, wir immer ein positives Ergebnis erhalten. Wollen wir dies nun mit der Wurzel rückgängig machen, so erhalten wir unter Umständen nicht den ursprünglichen Wert.

Es ist also wichtig, jedes Mal die Probe zu machen.

2. Beispiel

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 $$

Wir werden sehen, dass wir bei diesem Beispiel keine Lösung erhalten. Versuchen wir diese Gleichung zu lösen:

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 \quad |{ () }^{ 2 }\\ x + 20 = 25 \quad \quad | -20\\ x = 5 $$

Wir erhalten also x = 5 als Lösung. Diese Lösung nennt man eine Scheinlösung. Warum wir die Lösung so nennen, sehen wir bei der Probe:

$$\sqrt { x + 20 } = -5 \\ \sqrt { 5 + 20 } = -5 \\ \sqrt { 25 } \neq -5 \\ 5 \neq -5 $$

Die Lösung scheint also nur richtig zu sein, ist es jedoch nicht, wie die Probe bestätigt hat. Die Gleichung hat in Wirklichkeit keine Lösung.

Wir halten dann die leere Lösungsmenge fest mit: L= { }

3. Beispiel

Einen weiteren Fall sehen wir in diesem Beispiel:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } $$

Lösen wir dies einmal auf:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad |{ () }^{ 2 }\\ 2·x = x-1 \quad \quad |-x \\ x = -1 $$

Auch hier überprüfen wir, ob unsere Lösung richtig ist oder ob nur eine Scheinlösung vorliegt. Wir setzen x = (-1) ein:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad | x = -1 \\ \sqrt { 2·(-1) } = \sqrt { (-1) - 1 } \\ \sqrt { -2 } = \sqrt { -2 } $$

Da eine Wurzel aus einem negativen Wert nicht definiert ist, geht unsere Gleichung nicht auf. Unsere Lösung ist also wieder nur eine Scheinlösung. Wir haben somit keine Lösung, also L = { }

Schwierigere Wurzelgleichungen

Auch hier machen wir uns das Lösungsverfahren noch an zwei anspruchsvolleren Gleichungen anschaulich.

1. Beispiel

$$ 4·\sqrt { x } = 100\\ $$

Wir können die Wurzel wieder isolieren, in dem wir beide Seiten durch 4 teilen:

$$4·\sqrt { x } = 100 \quad |:4\\ \sqrt { x } = 25 $$

Dies können wir ganz einfach auflösen. Wir erhalten, nachdem wir quadriert haben:

$$ x = 625 $$

Die Probe zeigt uns, dass unsere Lösung richtig ist:

$$ 4·\sqrt { 625 } = 100\\ 4·25 = 100 \\ 100 = 100 $$

2. Beispiel

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } $$

Wir können den Vorfaktor auf der linken Seite nicht einfach entfernen. Wir quadrieren zuerst beide Seiten:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |{ () }^{ 2 } \\ { (3·\sqrt { x - 16 } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } $$

Wir wenden nunmehr folgendes Potenzgesetz an:

$$ { (a·b) }^{ 2 }= { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } $$

Und erhalten somit:

$$ 3^2·(\sqrt{ x - 16 })^2 = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } \\ 9·(x - 16) = 20 + x \\ 9·x - 144 = 20 + x \quad |+144 \\ 9·x = 164 + x \quad |-x \\ 8·x = 164 \quad |:8 \\ x = 20,5 $$

Als mögliches Ergebnis haben wir also x = 20,5.

Machen wir auch hier die Probe:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |x=20,5\\ 3·\sqrt { 20,5 - 16 } = \sqrt { 20 + 20,5 } \\ 3·\sqrt { 4,5 } = \sqrt { 40,5 } \\ 6,364 = 6,364 $$

Unser Ergebnis löst die Gleichung also.

Grafische Lösung

Wenn wir eine Wurzelgleichung vorzuliegen haben, können wir uns auch vorstellen, dass wir zwei Funktionsgleichungen (Linksterm = Rechtsterm) miteinander gleichgesetzt haben. Das macht man im Allgemeinen, wenn man den Schnittpunkt zweier Funktionen bestimmen möchte. Schauen wir uns das genauer an:

$$ \sqrt { 3 + x } = x + 5 $$

In diesem Beispiel wäre dann:
$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x + 5 $$

Betrachten wir die dazugehörigen Graphen:

wurzelfunktionen zwei graphen

Wir sehen, dass die Funktionen keinen Schnittpunkt haben. Wenn wir die Gleichung also mit unserem Verfahren auflösen, würden wir mit der Probe erkennen, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.

Ändern wir die Gleichung zu:

$$ \sqrt { 3 + x } = x $$

Als Schnittpunktberechnung zweier Funktionen betrachtet, wäre dies:

$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x $$

Die Graphen dazu:

wurzelfunktionen mit schnittpunkt

Wir sehen, dass die Graphen sich schneiden. Es muss also eine Lösung existieren. Versuchen wir abzulesen, wo diese Lösung ungefähr liegt, bei etwa x = 2,3.

Rechnen wir nach:

$$\sqrt { 3 + x } = x \quad |{ () }^{ 2 } \\ 3 + x = { x }^{ 2 } \quad |-(3 + x) \\ { x }^{ 2 }- x - 3 = 0 $$

Wenden wir die pq-Formel an:

$$ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { { (\frac { -1 }{ 2 } ) }^{ 2 }-(-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { 3,25 } $$

Berechnen wir mit dem Taschenrechner die Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } = 2,303\\ { x }_{ 2 }= -1,303 $$

Aus dem Graphen wissen wir, dass nur eine Lösung richtig sein kann, nämlich x = 2,303. Auch mit der Probe erhalten wir das selbe Ergebnis.

Verschachtelte Wurzeln

Es können auch Gleichungen auftreten, bei denen in den Wurzeln wieder Wurzeln stehen. Zeigen wir, wie man diese Gleichungen löst:

1.Beispiel

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 $$

Wir quadrieren beide Seiten und bringen das x auf die rechte Seite:

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 \quad |{ () }^{ 2 } \\ -x+\sqrt { -x + 5 } = 16 \quad |+x \\ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x $$

Wir können nun noch einmal quadrieren und auf der rechten Seite die binomische Formel anwenden:

$$ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x \quad | { () }^{ 2 }\\ -x + 5 = 256 + 32·x + { x }^{ 2 } \quad |+x -5 \\ { x }^{ 2 } + 33·x + 261 = 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir:

$$ { x }_{ 1 } \approx -11,8902\\ { x }_{ 2 } \approx -21,1098 $$

Durch die Probe stellen wir fest, dass nur x = -11,8902 die Gleichung löst.

2. Beispiel

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } $$

Hier müssen wir die vierte Wurzel auflösen. Also beide Seiten mit 4 potenzieren:

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \quad |{ () }^{ 4 } \\ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = {(\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 } $$

Am Anfang hatten wir gezeigt, dass man die Wurzeln auch als Potenz darstellen kann. Nehmen wir uns diese Schreibweise als Hilfe:

$$ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = { (\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 }\\ { ({ (3·x+3) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 4 } = { -9·x }\\ { (3·x+3) }^{ \frac { 4 }{ 2 } } = -9·x\\ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x $$

Auch hier können wir ganz normal die binomische Formel anwenden und anschließend die pq-Formel:

$$ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 18·x + 9 = -9·x \quad |+9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 27·x + 9 = 0 \quad |:9 \\ { x }^{ 2 } + 3·x + 1= 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir als mögliche Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } \approx -0,382\\ { x }_{ 2 } \approx -2,618 $$

Mit der Probe stellen wir fest, dass nur x = -0,382 die Gleichung löst.

3.Beispiel

Eine weitere Aufgabe zeigt uns, dass es manchmal hilfreich ist, die Potenzschreibweise zu benutzen:

$$\frac { \sqrt [ 3 ]{ a } ·\sqrt { a } }{ \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 1/2 } } :\sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 4 } } } = 49 $$

Die Gleichung sieht sehr kompliziert aus. Benutzen wir jedoch die Potenzschreibweise und vereinfachen Schritt für Schritt, so erhalten wir:

$$ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } }·{ a }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1/2 }{ 3 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } -\frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } } }{ { a }^{ -\frac { 7 }{ 6 } } } = 49\\ { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } -(-\frac { 7 }{ 6 } ) } = 49\\ { a }^{ \frac { 12 }{ 6 } } = 49\\ { a }^{ 2 } = 49\\ { a }_{ 1 } = 7 \quad oder \quad { a }_{ 2 }= -7 $$

Wir haben gesehen, dass die Gleichung mit Hilfe der Potenzschreibweise durch reines Anwenden der Potenzgesetze zu lösen ist.

Wurzeln selbst berechnen

Es gibt auch Methoden, mit denen man Wurzeln näherungsweise berechnen kann. Drei davon werden folgend erläutert:

1. Intervallschachtelung durch Annäherung

Bei dieser Methode versucht man eine Wurzel näherungsweise zu berechnen, indem man sich zwei Werte nimmt, die im Quadrat nah an dem Radikanden der gesuchten Wurzel liegen. Diese Werte verringert (oder erhöht) man dann immer wieder um einen kleinen Betrag, sodass man dem gesuchten Wurzelwert näherkommt. Machen wir das anhand eines Beispiels. Berechnen wir:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir nehmen uns jetzt als untere Grenze den Wert 2 und als obere Grenze den Wert 3. Wir wissen, dass:

$$ { 2 }^{ 2 } = 4\qquad { 3 }^{ 2 } = 9 $$

Unser gesuchter Wert liegt also zwischen 2 und 3, denn:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir müssen nun entweder die obere Grenze verringern oder die untere Grenze erhöhen. Man sollte immer den Wert wählen, der im Quadrat näher am Radikanden der Wurzel liegt. Wählen wir die untere Grenze, erhöhen diese und testen die Quadrate der erhöhten Werte. Wir erhöhen im Nachkommastellenbereich, da unsere Zahl zwischen 2 und 3 liegt und somit keine ganze Zahl ist. Also:

$$ { 2,1 }^{ 2 } = 4,41 \qquad { 2,2 }^{ 2 } = 4,84 \qquad { 2,3 }^{ 2 } = 5,29 $$

Wir können uns nun neue Grenzen legen, der gesuchte Wert muss zwischen √4,84 und √5,29 liegen:

$$ \sqrt { 4,84 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,29 } \\ 2,2 < x < 2,3\\ $$

Möchten wir noch genauer an den gesuchten Wert gelangen, so müssen wir wieder eine Nachkommastelle anhängen. Wir fahren so fort wie gerade gezeigt. Betrachten wir also die Quadrate der Werte, die etwas größer als die neue untere Grenze sind:

$$ { 2,21 }^{ 2 } = 4,8841 \qquad { 2,22 }^{ 2 } = 4,9248 \qquad { 2,23 }^{ 2 } = 4,9729 \qquad { 2,24 }^{ 2 } = 5,0176 $$

Wir können uns jetzt 2,23 und 2,24 nun als neue Grenzen setzen, da der gesuchte Wert zwischen √4,9729 und √5,0176 liegen muss:

$$ \sqrt { 4,9729 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0176 } \\ 2,23 < x < 2,24 $$

Wenn wir kein noch genaueres Ergebnis haben möchten, können wir sagen, dass:

$$ \sqrt { 5 } \approx 2,24 $$

Soll die gesuchte Zahl aber noch genauer bestimmt werden, so müssten wir mit dem Verfahren weitere Nachkommastellen finden. Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer mehr annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.

2. Intervallschachtelung durch Mittelwertbildung

Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode. Der Unterschied liegt darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen. Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze. Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen.

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir bilden den Mittelwert der Grenzen:

$$\frac { 2+3 }{ 2 } = 2,5$$

Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes:

$$ { 2,5 }^{ 2 } = 6,25 $$

Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2,5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also:

$$\sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 6,25 } \\ 2 < x < 2,5 $$

Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten:

$$ \frac { 2+2,5 }{ 2 } = 2,25 $$

Auch hier wird das Quadrat überprüft:

$$ { 2,25 }^{ 2 } = 5,0625 $$

Also haben wir 2,25 als neue obere Grenze und somit:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0625 } \\ 2 < x < 2,25 $$

Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.

3. Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren beruht auf einem geometrischem Ansatz. Wir wissen, dass die Seiten eines Quadrates gleichlang sind.

Quadrat

Der Flächeninhalt A lässt sich bei diesem Quadrat mit A = a·a bestimmen. Die Wurzel des Flächeninhaltes ist somit gleich einer Seitenlänge a. (A = a², damit a = √A). Diese Eigenschaft machen wir uns beim Heron-Verfahren zu nutze.

Wir können aus dem Quadrat ein Rechteck mit dem gleichen Flächeninhalt A machen (das Quadrat hat die gleiche Fläche wie das Rechteck):

Rechteck

Den Flächeninhalt berechnen wir mit A = a·b . Soll aus diesem Rechteck jetzt ein Quadrat werden, ohne dass der Flächeninhalt verändert werden soll, so muss die Seite b kleiner werden und die Seite a um den selben Faktor größer. Auf diesen Sachverhalten beruht das Heron-Verfahren. Wenden wir das Verfahren an einem Beispiel an:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

Wir wollen nun x berechnen. Also bilden wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt 16 ist. Wir nehmen als Seitenlängen 8 und 2, denn 8·2 = 16.

rechteck 2 mal 8

Die längere Seite muss nun verkleinert werden. Das machen wir, indem wir den Mittelwert der beiden Seiten bilden:

$$ \frac { 8+2 }{ 2 } = 5 $$

Eine der neuen Seitenlängen ist also 5. Da der Flächeninhalt weiterhin gleich bleiben soll muss gelten:

$$ 16 = 5·a $$

Wir bestimmen daraus also die neue zweite Seitenlänge:

$$ 16 = 5·a\\ \frac{16}{5} = a\\ 3,2 = a $$

Unser neues Rechteck sieht also so aus:

rechteck 5 mal 3,2

Da wir jetzt aber noch kein Quadrat erhalten haben, bilden wir erneut den Mittelwert der beiden Seitenlängen und nehmen diesen als neue Seitenlänge. Dann bestimmen wir die dazugehörige zweite Seite des Rechtecks:

$$ \frac { 5+3,2 }{ 2 } = 4,1 $$

Die zweite Seite berechnen:
$$ 16 : 4,1 \approx 3,9 $$

rechteck 4,1 mal 3,9

Wir nähern uns unserem Quadrat immer mehr an. Wiederholen wir den Vorgang noch ein letztes Mal:

$$ \frac { 4,1 + 3,9 }{ 2 } = 4 $$

Wir erhalten jetzt ein Quadrat:

heron verfahren rechteck quadrat

Die Lösung von:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

ist also die Seitenlänge des Quadrates. Wir erhalten damit:

$$ \sqrt { 16 } = 4 $$

Damit man sich nicht bei jedem Schritt Rechtecke aufzeichnen oder denken muss, gibt es eine Formel, die bei jedem Schritt verwendet werden kann:

$$ { x }_{ n+1 } = \frac { { x }_{ n } + \frac { A }{ { x }_{ n } } }{ 2 } $$

xn ist jeweils eine Seite unseres jetzigen Rechteckes und xn+1 ist eine Seite des nächsten Rechteckes. Benutzen wir die Formel anhand eines Beispieles. Wir wollen folgendes berechnen bzw. annähern:

$$ \sqrt { 79 } = 8,88819441731558885 ≈ 8,888 $$

Wenden wir jetzt die Formel an und wählen als Startwert: x0 = 10

$$ { x }_{ 1 } = \frac { 10 + \frac { 79 }{ 10 } }{ 2 } = 8,95 $$

Jetzt setzen wir x1 = 8,95 als neuen Wert in die Formel ein:

$$ { x }_{ 2 } = \frac { 8,95 + \frac { 79 }{ 8,95 } }{ 2 } \approx 8,888 $$

Wir sind jetzt bereits nach zwei Schritten fertig, denn:

$$ 8{ 8,888 }^{ 2 } \approx 79 \\ \sqrt { 79 } \approx 8,888 $$

Wir sehen also, dass man mit dem Heron-Verfahren schnell ans Ziel gelangt.

Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen

Zum Schluss nochmal eine kurze Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen:

  1. Wurzel allein auf eine Seite der Gleichung bringen (also die Wurzel, die die Unbekannte x enthält)
  2. Gleichung quadrieren (Wurzel fällt weg)
  3. Gleichung nach x auflösen
  4. Probe durchführen

Mathe-Programme

Im Folgenden findet ihr einige Lernprogramme zu Wurzeln, mit denen ihr euer Wissen testen könnt:

  • Wurzeln
    Wurzeln
    Hier können Wurzeln berechnt werden. Die Probe erfolgt mit Hilfe des Potenzierens. Wurzelexponent und Radikand dürft ihr frei wählen.
  • Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren) Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren)
    Dieses Programm zeigt, wie man sich dem Wurzelwert aus einer natürlichen Zahl annähern kann (Quadratwurzel).
  • Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung) Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung)
    Dieses Programm nähert sich dem Wert einer Wurzel mittels Intervallschachtelung an.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Thema "Wurzelgleichungen", mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Allgemeine Fragen zu den Wurzelgleichungen

1. Was kann man über die Wurzel einer positiven Zahl sagen?

2. Wie nennt man die Bestandteile einer Wurzel?

3. Was ist die Definitionsmenge einer Wurzelgleichung?

4. Was ist zu machen, nachdem man mögliche Lösungen einer Wurzelgleichung bestimmt hat?

5. Bei manchen Aufgaben ist es sinnvoll, Wurzeln anders darzustellen. Wie heißt diese Darstellung und wie sieht sie aus? Stelle eine beliebige Wurzel in dieser Form dar.

B: Bestimme die Definitionsmenge

Ihr sollt hier die Definitionsmenge L = … bestimmen. Es ist nicht nach der Lösung gefragt.

1. Aufgabe

√(x + 7) = 2

2. Aufgabe

√(x) = √(x - 3)

3. Aufgabe

√(-x + 6) = √(x + 19)

C: Wurzelgleichungen lösen

Löse die folgenden Gleichungen.

1. Aufgabe

√(x + 20) = 5

2.Aufgabe

√(x + 12) = √(4·x)

3. Aufgabe

6· √(8·x + 16) - 3 = 45

4. Aufgabe

√(x + 7) = -5

D: Anspruchsvollere Wurzelgleichungen lösen

Löse die folgenden Gleichungen.

1. Aufgabe

√(x + 5) = x + 3

2. Aufgabe

√(x - 10) = x - 5

3.Aufgabe

√( x + √( x - 4) ) = 4

4. Aufgabe

√ (x3/2) : √( √(x) ) = 7

E: Wurzelwert berechnen

Berechne √10 auf eine Nachkommastelle genau

1. mit der Intervallschachtelung (Annäherung).

2. mit der Intervallschachtelung(Mittelwert).

3. mit dem Heron-Verfahren.

Ihr werdet sehen, dass ihr je nach Methode unterschiedlich viele Schritte braucht.

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

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