Mathe G19: Zinseszins und Zinseszinsformel

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion schauen wir uns die Zinseszinsrechnung an, eine mehrfache Verzinsung über mehrere Jahre. Dazu klären wir im ersten Video, was Zinseszins überhaupt bedeutet und berechnen eine Beispielaufgabe. Im zweiten Teil leiten wir dann die Zinseszinsformel verständlich her. Um die Inhalte verstehen zu können, ist es hilfreich, wenn ihr die Mathe-Videos Prozente, Zinsrechnung und Potenzen gesehen habt.

Mathe-Video G19-1 Zinseszins - Einführung

Verzinsung von Kapital und Zinsen über mehrere Jahre, Anwendung der Zinseszinsformel zur direkten Berechnung des Endkapitals aus Startkapital, Zinssatz und Anzahl an Jahren.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G19-2 Zinseszins - Zinseszinsformel

    Ausführliche Herleitung der Zinseszinsformel unter Nutzung der Prozent- und Potenzgesetze, Anwendung bei Beispielaufgabe mit nachvollziehbarem Lösungsweg.

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Wissen zur Lektion

Einführung zum Zinseszins

Die einfache Verzinsung kennen wir bereits. Jetzt lernen wir den Zinseszins kennen, der eine Verzinsung über mehrere Jahre ist, wobei auch die bereits erhaltenen Zinsen berücksichtigt bzw. mitverzinst werden. Verdeutlichen wir dies an einem Beispiel:

Haben wir ein Startkapital von 100 € und einen Zinssatz von 10 %, so erhalten wir nach einem Jahr 100 € · 10 % = 100 € · 0,1 = 10 € Zinsen gutgeschrieben. Wir haben also nach Ablauf des ersten Jahres 110 € Kapital. Wenn wir jetzt jedoch ein weiteres Jahr 10 % Zinsen auf unser neues Kapital erhalten, so müssen diese 10 % auf Grundlage der 110 € berechnet werden - also verzinsen wir das Startkapital und den dazugewonnenen Zins aus dem ersten Jahr mit. Wir erhalten also 110 € · 0,1 = 11 € Zinsen im zweiten Jahr. Genauer: 100 € · 10 % + 10 € · 10 % = (100 € + 10 €) · 10 % = 110 € · 10 % = 110 € · 0,1 = 11 € Zinsen. Wir besitzen damit 121 € nach dem zweiten Jahr.

Wie wir sehen, spielen die jedes Jahr dazugewonnenen Zinsen eine wesentliche Rolle für die Verzinsung, sie werden mitverzinst. Dies steht im Gegensatz zur einfachen Verzinsung, wo die Zinsen nicht ins zu verzinsende Kapital einberechnet werden.

Man nennt das Kapital nach n Jahren Kn.

In unserem Beispiel hätten wir damit:
K0 = 100 €
K1 = 110 €
K2 = 121 €

Man nennt die Zinsen nach n Jahren Zn.

Beziehen wir auch das auf unser Beispiel:
Z1 = 10 €
Z2 = 11 €

Hinweis: Ein Z0 wäre 0 €, da wir beim Start (0. Jahr) noch keine Zinsen erhalten.

Wir schauen uns jetzt an, wie sich die einzelnen Kapitale zusammensetzen:
K0 = 100 €
K1 = K0 + Z1
K2 = K0 + Z2

Erinnern wir uns daran, wie sich die Zinsen zusammensetzen:

Z = K · p
wobei K das Kapital und p der Zinssatz ist.

Das können wir auf unsere Gleichungen anwenden und beliebig weiterführen.
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
...

Damit wir aber nicht alle einzelnen Kapitale aus den Vorjahren mühselig berechnen müssen, um zum Beispiel auf den Wert des Kapitals nach 20 Jahren zu kommen, gibt es eine Formel für den Zinseszins:

Zinseszinsformel

Zinseszinsformel mit Startkapital und Zinssatz

Bevor wir diese Formel herleiten, benutzen wir sie, um ein Beispiel zu berechnen: Gegeben sind ein Startkapital von 1000 € und ein Zinssatz von 10 %, es soll das Kapital nach 8 Jahren berechnet werden.

Gegebene Werte notiert:
K0 = 1000 €
p = 10 % = 0,1
n = 8

Diese drei Werte setzen wir in die Zinseszinsformel ein:

Kn = K0 · (1 + p)n
K8 = 1000 € · (1 + 0,1)8

Rechnen wir das mit dem Taschenrechner aus, so ergibt sich:

K8 = 1000 € · (1 + 0,1)8 ≈ 2143,59 €

Nach 8 Jahren haben wir damit 2143,59 € als Kapital.

Herleitung der Zinseszinsformel

Betrachten wir ein weiteres mal die Gleichungen für das Kapital von vorhin:
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
...

Uns fällt auf, dass wir in jeder Gleichung ausklammern können, und zwar wie folgt:
K1 = K0 · (1 + p)
K2 = K1 · (1 + p)
K3 = K2 · (1 + p)
K4 = K3 · (1 + p)
...

Dieses Wissen hilft uns bei der Herleitung. Auch hier nehmen wir das Beispiel vom Anfang zur Hilfe:
Startkapital 100 € und Zinssatz 10 %
K0 = 100 €
K1 = K0 · 110 % = 110 €
K2 = K1 · 110 % = 121 €
K3 = K2 · 110 % = 133,10 €

Setzen wir jetzt K1 in die Gleichung für K2 ein, dann haben wir:
K2 = K1 · 110 %    | K1 = K0 · 110 %
K2 = (K0 · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K2 = K0 · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also zwei Mal verzinsen, damit wir K2 erhalten.

Setzen wir jetzt die Gleichung für K2 in die Gleichung von K3 ein:
K3 = K2 · 110 %    | K2 = K0 · 110 % · 110 %
K3 = (K0 · 110 % · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also dreimal verzinsen, damit wir K3 erhalten.

Schreiben wir diese Gleichungen mit Hilfe von Potenzen auf:
K1 = K0 · 110 % = K0 · (110 %)1
K2 = K0 · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)2
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)3
...

Da wir immer wieder 110 % mit dem Startkapital multiplizieren, lässt sich dies auch für eine beliebige Anzahl an Jahren darstellen. Es fällt dabei auf, dass der Exponent genau der Anzahl an Jahren entspricht. Wir erhalten einen Teil unserer Zinseszinsformel:

Kn = K0 · (110 %)n

Es stören jetzt nur noch die 110 % in den Klammern. Schreiben wir 110 % als 100 % + 10 %, denn darin ist der Zinssatz p = 10 % enthalten: 110 % = 100 % + p

Eingesetzt in unsere Formel ergibt das: Kn = K0 · (110 %)n
Kn = K0 · (100 % + 10 %)n
Kn = K0 · (100 % + p)n

Die 100 % können wir schreiben als 100 % = 100 : 100 = 1 und erhalten:

Kn = K0 · (1 + p)n

Damit haben wir die Zinseszinsormel hergeleitet.

Beispiel zum Zinseszins

Machen wir zum Abschluss noch eine weitere Aufgabe, um die Formel zu üben:

Frau Koch legt 2400 Euro bei einer Bank an bei 12 % Zinsen pro Jahr. Wie groß ist das Kapital nach 8 Jahren?

Es gilt also:
K0 = 2400 €
p = 12 %
n = 8

Setzen wir in die Formel ein,so bekommen wir die Lösung nach dem Aufrunden:

Kn = K0 · (100 % + p)n
K8 = 2400 · (1 + 12%)8 =
K8 = 2400 · (1,12)8
K8 = 5942,31 €

Frau Koch hat nach 8 Jahren ca. 5942,31 € Kapital auf der Bank.

Weiterhin sind folgende Berechnungen bzw. Formeln festzuhalten:

Startkapital gesucht

Falls ihr das Startkapital K0 sucht (auch Anfangskapital genannt) und alle anderen Werte gegeben sind, so könnt ihr die Zinseszinsformel verwenden und entsprechend nach K0 umstellen:

$$ { K }_{ n }={ K }_{ 0 }·{ (1+p) }^{ n } \qquad | :{ { (1+p) } }^{ n } \\ { K }_{ n } :{ { (1+p) } }^{ n } = { K }_{ 0 } \\ { K }_{ 0 } = \frac { {K}_{n} }{ {(1+p)}^n } $$

Zinssatz gesucht

Wenn ihr den Zinssatz p berechnen sollt, so müsst ihr die Zinseszinsformel wie folgt nach p umstellen:

$$ { K }_{ n } = { K }_{ 0 }·{ (1+p) }^{ n } \qquad | :{ K }_{ 0 } \\ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } = { (1+p) }^{ n } \qquad | \sqrt [ n ]{ } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } = \sqrt [ n ]{ { (1+p) }^{ n } } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } = 1+p \qquad |-1 \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } -1 = p \\ p = \sqrt [ n ]{ \frac { { K }_{ n } }{ { K }_{ 0 } } } -1 $$

Laufzeit gesucht

Wie ihr bei gegebenem Start- und Endkapital die Jahre herausbekommt (also den Exponenten n, der die Laufzeit darstellt), das erfahrt ihr in der Lektion Rechnen mit Logarithmen.

Eine Beispielaufgabe mit Lösung vorab:
"Wie lange dauert es, um von 2400 € auf 4833,60 € zu kommen bei einem Zinssatz von 5%?"

Die Antwort ist: Das geht mit dem Logarithmus.

Der Rechenweg wäre mithilfe der Zinseszinsformel:

Kn = 2400·(1+0,05)n
Kn = 4833,60
2400 ·1,05n = 4833,60    |:2400
1,05n = 2,014

LOG anwenden
ln 1,05n = ln 2,014

Logarithmusgesetz anwenden
n · ln 1,05 = ln 2,014    | : ln 1,05
n = ln 2,014 : ln 1,05
n ≈ 14,35 Jahre

Die Zinseszinsformel ist so wichtig, dass wir sie zum Abschluss noch einmal für euch aufführen:

Zinseszinsformel mit Startkapital und Zinssatz

Lernprogramme Zinseszins

  • Zinseszins
    Zinseszins
    Der Zins über mehrere Jahre kann schnell mit Hilfe der Zinseszinsformel berechnet werden. Alle Werte können belieibig festgelegt werden.
  • Zinseszins (Tabelle und Diagramm) Zinseszins (Tabelle und Diagramm)
    Die Verzinsung über mehrere Jahre mit Auflistung des jeweiligen Kapitals und der Zinsen pro Jahr. Unten seht ihr die Zinseszinsformel (die Abkürzung, um auf das Endkapital zu kommen).
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Hinweis: Ihr dürft den Taschenrechner zur Berechnung benutzen!

A: Aufgaben zum Zinseszins

1. Wir nehmen einen Mikrokredit in Höhe von 5.000 Euro. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre, der Zinssatz 5,6 %. In dieser Zeit zahlen wir nichts zurück (also wir tilgen nicht). Die Zinsen werden jährlich zum Mikrokredit hinzugerechnet. Wie hoch ist die Kreditsumme am Ende der Laufzeit?

2. Anneliese ist 16 Jahre alt geworden und legt ihre ersparten 2.000 Euro für 5 Jahre an, damit sie diese mit 21 Jahren zur Verfügung hat. Der Zinssatz der Bank beträgt 3,4 %. Wie viel Geld wird ihr mit 21 Jahren ausgezahlt?

3. Familie Becker möchte ein Haus kaufen und benötigt hierzu einen Darlehen über 10 Jahre. Die Bank A bietet einen Zinssatz von 4 % p.a. für die Dauer von 5 Jahren, danach für weitere 5 Jahre einen Zinssatz in Höhe von 5 %. Die Bank B hingegen bietet einen Zinssatz von 4,5 % über die gesamte Laufzeit. Welches Angebot ist günstiger?

4. Wie viel Zinsen erhältst du jeweils, wenn du einen Betrag von 5.100 Euro bei einem Zinssatz von 2,7 % für 2 Jahre, 4 Jahre und 8 Jahre anlegst?

5. Wie viel Zinsen erhältst du jeweils, wenn du 5.100 Euro für 4 Jahre anlegst, bei einem Zinssatz von 2 %, 4 % und 8 %?

6. Für ein Guthaben auf deinem Konto in Höhe von 4.500 Euro schreibt dir die Bank nach zwei Jahren 367,20 Euro Zinsen gut. Wie hoch war der Zinssatz?

7. Dein Onkel hat sich ein neues Sportauto für 47.000 Euro auf Kredit gekauft, er zahlt jedoch ganze 4 Jahre die Kreditzinsen nicht. Wie viel muss er nach dieser Zeit insgesamt zurückzahlen, wenn der Zinssatz auf 9,75 % festgelegt war?

8. Ein Unternehmer möchte eine große Immobilie im Stadtzentrum erwerben, der ausgehandelte Preis beträgt 4.700.000 Euro. Drei Banken bieten ihm Kredite zu folgenden Konditionen an (Laufzeit 10 Jahre):

Angebot A (1 Kreditsumme): Darlehen 4.700.000 € zu 4,2 %
Angebot B (2 Kreditsummen): I. Darlehen 3,7 Mio. € zu 3,1 %, II. Darlehen 1,0 Mio. Euro zu 3,7 %
Angebot C (2 Kreditsummen): I. Darlehen 1,5 Mio. € zu 2,4 %, II. Darlehen 3,2 Mio. Euro zu 3,9 %

Welches ist das beste Angebot?


B: Vermischte Aufgaben zum Zinseszins

1. Du hast Schulden in Höhe von 15.000 Euro, für die du 3,2 % p.a. Zinsen zahlst. Nach 3 Jahren möchtest du die bereits angefallenen Zinsen zurückzahlen und 5.000 € tilgen. Wie viel Geld benötigst du?

2. Markus legt 5.000 Euro bei einer Bank an für einen Zinssatz von 4,5 %. Er möchte zwei Varienten berechnen:
a) Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie erst nach 3 Jahren abhebt?
b) Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie über 3 Jahre jährlich abhebt?

3. Hans im Glück gewinnt 20.000 € bei der Lotterie. Das Geld legt er an und erhält 4,0 % p.a. Zinsen. Nachdem weitere 3 Jahre vergehen, gewinnt er ein weiteres Mal, und zwar 10.000 €. Diese legt er für 4,2 % an. Wie viel Geld hat er nach 5 Jahren?

4. Herr Neunmalklug hat ein Darlehen in Höhe von 50.000 Euro bei 2,75 % p.a. Zinssatz. Gleichzeitig hat er 60.000 Euro auf seinem Sparkonto, das mit 2,5 % verzinst wird. Er verrechnet die Schuldzinsen nach 4 Jahren mit den Habenzinsen. Macht er Schulden oder Gewinn?

5. Eine Erbschaft bringt dir 18.000 Euro, die du gewinnbringend für 4 Jahre anlegen willst, um dann eine Weltreise zu machen. Du hast dir 2 Angebote unterbreiten lassen:
Angebot a) Zinssatz für 4 Jahre 4,5 %
Angebot b) Zinssatz für 1 Jahr 2,5 %, für weitere Jahre Zinssatz 4,9 %
Für welches Angebot entscheidest du dich?

6. Leona hat ihr Girokonto überzogen und sich seit 3 Jahren nicht darum gekümmert. Die Bank berechnete ihr im 1. Jahr 100 € Überziehungszinsen bei einem Zinssatz von 10,5 %. Wie hoch waren ihre anfänglichen Schulden? Wie hoch sind ihre Schulden nach den 3 Jahren?

7. Stefan legt einen Betrag von 8.000 Euro zu einem Zinssatz von 5 % an. Laufzeit: 20 Jahre. Die Zinsen lässt er sich nach 5 Jahren auszahlen, die nächsten 15 Jahre lässt er das Geld unangetastet. Wie viele Zinsen hat er am Ende der Laufzeit insgesamt bekommen?

8. Welchen Betrag muss Jolande zu einem Zinssatz von 5 % anlegen, um nach 8 Jahren mehr als 10.000 € auf ihrem Konto zu haben?

9. Tom hat sein Geld als Kapital 4 Jahre zu 4,5 % p.a. angelegt und danach weitere 4 Jahre für einen Zinssatz von 4,3 %. Er erhält nach den vergangenen 8 Jahren 7.772,20 € ausgezahlt. Wie hoch war sein Startkapital?


C: Aufgaben zur Ermittlung des Zinssatzes beim Zinseszins

Hinweis: Um die folgenden Aufgaben rechnen zu können, musst Du die Lektion Wurzeln gesehen haben. Denn dann verstehst du diese Rechenschritte:

Ermittlung des Zinssatzes beim Zinseszins per Wurzel
Wenn du dies also beherrschst, kannst du die Aufgaben lösen:

1. Deine Großeltern möchten 2.000 Euro für dich anlegen. Sie möchten, dass sich die Summe nach 5 Jahre verdoppelt hat. Welchen Zinssatz benötigen Sie hierfür?

2. Berechne: Welcher Zinssatz ist notwendig, damit sich ein Kapital nach 10 Jahren verdoppelt?

3. Um sein Kapital von 800 Euro auf 1.000 Euro zu vermehren, möchte Wille die Zinssätze berechnen, für die das möglich ist bei folgenden Laufzeiten:
a) Laufzeit 2 Jahre
b) Laufzeit 4 Jahre
c) Laufzeit 6 Jahre

4. Utes Geld auf dem Sparkonto ist auf 18.600 Euro angewachsen. Es liegt seit 8 Jahren unangetastet auf dem Konto. Der Zinssatz war konstant bei 4 %. Wie groß war ihr Startkapital?

5. Inge soll nach 3 Jahren 1.500 € an Paul zurückzahlen. Sie hatten einen Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie viel Geld hatte Paul überlassen?

6. Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 5 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.900,90 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?

7. Wir haben einen hohen Kredit für 3 Jahre aufgenommen, Zinssatz 7 % p.a. Anschließend müssen wir 99.999 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?

Hinweis:
Für die nachfolgenden Aufgaben benötigt ihr das Wissen aus der Lektion Logarithmus, andernfalls werdet ihr diese Zusatzaufgaben nicht lösen können. Mit dem Logarithmus lässt sich der Exponent berechnen. Beim Zinseszins ist der Exponent das hochgestellte n, also die Laufzeit in Jahren.

Eine Beispielrechnung zur Ermittlung der Laufzeit:

Kn = K0 · (1 + p)n
Kn = 2.000 € · (1 + 5 %)n = 2.400 €
(1 + 5 %)n = 2.400 € : 2.000 €
(1 + 0,05)n = 1,2
1,05n = 1,2 | Logarithmus
log 1,05n = log 1,2
n · log 1,05 = log 1,2
n = log 1,2 : log 1,05
n ≈ 3,737 Jahre

Alles klar, die letzten 3 Aufgaben lauten also:


8. Hanna legt 5.000 € an und erhält bei 5,7 % p.a. nach n Jahren insgesamt 6.000 € ausgezahlt. Wie viele Jahre war das Geld angelegt?

9. Emma hebt ihr gesamtes Geld von der Bank ab und erhält 1.220 Euro Zinsen ausgeschüttet. Sie hatte 5.700 Euro angelegt, der Zinssatz belief sich auf 4,3 % p.a. Wie viele Jahre hatte sie das Geld bei der Bank?

10. Johann möchte seine 12.000 Euro auf 16.000 Euro vermehren. Er hat ein gutes Angebot mit 6,7 % p.a. Zinssatz entdeckt. Wie viele Jahre muss er das Geld anlegen, damit der sogenannte Zinseszinseffekt die 4.000 Euro Zinsen erzeugt?


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Zinseszins, Zinseszinsberechnung, Mehrfachverzinsung, Zinsen verzinsen, Kapital, Anzahl der Jahre berechnen

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