Lerncheck: Additionstheoreme I

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1. Welcher Term ist für den Ausdruck sin(α + β) korrekt?

2. Welcher Term ist für den Ausdruck cos(α + β) korrekt?

Vergleiche Additionstheoreme.

3. Welcher Term steht auch für den Ausdruck sin(2α)?

Additionstheorem für sin(α + β) anwenden

$$ sin(2α) = sin(α + α) = sin(α) \cdot cos(α)+ cos(α) \cdot sin(α)=2 \cdot sin(α) \cdot cos(α) $$

4. Welcher Term steht auch für den Ausdruck cos(2α)?

Additionstheorem für cos(α + β) anwenden

$$ cos(2α) = cos(α + α) = cos(α) \cdot cos(α) - sin(α) \cdot sin(α)=cos^2(α) - sin^2(α) $$

$$ Mit \space cos^2(α) + sin^2(α) = 1 \space folgt \space cos(2α) =cos^2(α) - (1-cos^2(α)) $$

$$cos(2α) =2 \cdot cos^2(α) - 1 $$

5. Vereinfache sin²(α)·cos(α) + cos³(α) mit Hilfe von Additionstheoremen.

$$ sin^2(α) \cdot cos(α) + cos^3(α)= cos(α) \cdot (sin^2(α) +cos^2(α))= cos(α) \cdot (sin(α) \cdot sin(α) +cos(α) \cdot cos(α) ) $$

Der Term sin(α)·sin(α) + cos(α)·cos(α) ist gemäß dem Additionstheorem gleich cos(α-α)

$$⇒cos(α) \cdot cos(α-α) = cos(α) \cdot cos(0) =cos(α) \cdot 1= cos(α)$$


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