Lerncheck: Additionstheoreme II

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1. Berechne den Wert von sin(135°) über ein passenden Additionstheorem.

Wir zerlegen den Winkel von 135° in 90° und in 45° und wenden das Additionstheorem für sin(α +β) an.

$$ sin(α +β) = sin(45° +90°) = sin(45°) \cdot cos(90°) + cos(45°) \cdot sin(90°) $$

$$ ⇒ \frac {\sqrt2} {2} \cdot 0 +\frac {\sqrt2} {2} \cdot 1 = \frac {\sqrt2} {2} $$

2. Für welche trigonometrische Funktionen kann man Additionstheoreme anwenden?

Siehe hierzu Lektion Additionstheoreme.

3. Welche Form des Termes in Abhängigkeit von tan(α) und tan(β) erhält man für tan(α+β), wenn man hierfür ein passendes Additionstheorem anwendet?

$$tan(α+β) = \frac {tan(α)+tan(β)} {1 - tan(α)\cdot tan(β)}$$

4. Leite aus der Beschreibung bzw. Skizze das Additionstheorem für Sinus her.

Gegeben sind drei rechtwinklige Dreiecke ΔSCD, ΔSCA und ΔSAB mit den jeweiligen Innenwinkeln α, β und (α + β):

image

Gemäß Skizze ist $$ |CD| = |EB|$$

$$ sin(α+β) = \frac {|AB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|EB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|CD|} {|AS|}$$

$$ ⇒ \frac {|AE|} {|AS|} + \frac {|CD|} {|AS|} ⇔ \frac{|AE| \cdot |AC|} {|AC| \cdot |AS|} + \frac{|CD| \cdot |CS|} {|CS| \cdot |AS|}$$

Aus den Definitionen von Sinus und Kosinus folgt:

$$ \frac {|AC|} {|AS|} = sin(β), \frac {|CD|} {|CS|} = sin(α) \space und \space \frac {|CC|} {|AS|} = cos(β)$$

$$ Winkel \space EAC = α$$

$$⇒ Winkel \space SCB = Winkel \space ECA = 90° -α ⇒Winkel \space SCE = Winkel \space EAC= α$$

Daraus folgt

$$ \frac {|AE|} {|AC|} = cos(α)$$

$$⇒ sin(α+β) = cos(α) \cdot sin(β) + sin(α) \cdot cos(β)$$

5. Berechne den Wert von tan(210°) über ein passendes Additionstheorem.

$$ tan(210°) = tan(180°+30°)$$

Additionstheorem für Tangens

$$ tan(α+β) = \frac {tan(α)+tan(β)} {1-tan(α) \cdot tan(β)}$$

$$⇒tan(180°+30°) = \frac {tan(180°)+tan(30°)} {1-tan(180°) \cdot tan(30°)}$$

$$⇒tan(180°+30°) = \frac {0+tan(30°)} {1-0 \cdot tan(30°)} = \frac {tan(30°)} {1}= \frac {\sqrt3} {3}$$


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