Lerncheck: Bruchgleichungen I

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1. Löse die Bruchgleichung \( \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} \) nach x auf.

$$ \frac {3} {x-2} = \frac {9} {x+2} $$

Beide Seiten mit (x + 2)·(x - 2) multiplizieren:

$$ {3} \cdot (x+2) = {9} \cdot (x-2) $$

$$ {3} \cdot x+6 = {9} \cdot x - 18 $$

$$ {6} \cdot x = 24 $$

$$ x = 4 $$

2. Löse die Bruchgleichung \( \frac {x - 2} {x^2 - 4} = - \frac {x + 3} {x^2 - 9} \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

Gemäß 3. binomischer Formel gilt:

$$ (x^2 - 4) = (x + 2) \cdot (x - 2) $$

$$ (x^2 - 9) = (x + 3) \cdot (x - 3) $$

Unsere Bruchgleichung:

$$ \frac{x - 2} {x^2 - 4} = - \frac {x + 3} {x^2 - 9} $$ Setzen wir die neuen Terme in die Bruchgleichung ein:

$$ \frac{(x - 2)} {(x + 2) · (x - 2) }= - \frac{(x + 3)} {(x + 3) · (x - 3)} $$

$$ \frac{1} {x + 2} = \frac {-1} {x - 3} $$

$$ x - 3 = -(x + 2) $$

$$ x - 3 = -x - 2 $$

$$ x = \frac 1 2 $$

3. Löse die Bruchgleichung \( \frac {x^2 - 16} {x + 4} = 6\cdot \frac {x - 1} {x^2 - 1} \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

Laut 3. binomischer Formel gilt:

$$ x^2 - 16 = (x + 4) \cdot (x - 4) $$

$$ x^2 - 1 = (x + 1) \cdot (x - 1) $$

Daraus folgt für die Gleichung:

$$ (x + 4) \cdot \frac {x - 4} {x + 4} = 6 \cdot \frac {x - 1} {(x + 1) \cdot (x - 1)} $$

$$ x - 4 = \frac 6 {x + 1} $$

$$ x^2 - 3 \cdot x -10 = 0 $$

Mit p-q-Formel ergeben sich die Lösungen

$$ x_1 = 5 \quad und \quad x_2 = -2 $$

4. Löse die Bruchgleichung \( \frac { 1 }{ x^2 } = \frac { 1 }{ (x-1)^2 } \) nach x auf. Tipp: Nutze die binomischen Formeln.

$$ \frac 1 {x^2} = \frac 1 {(x - 1)^2} $$

Gleichung bruchfrei machen, indem man die Gleichung mit \( x^2 \) und \( (x-1)^2 \) multipliziert.

$$ (x-1)^2 = x^2 $$

2. Binomische Formel anwenden

$$ x^2 -2x + 1 = x^2 $$

$$ x = \frac 1 2 = 0,5 $$

5. Wie viele Lösungen hat die Bruchgleichung \( \frac{x}{x-2} = \frac{x-2}{x} \)?

Wenn man die Gleichung umformt, kürzen sich die quadratischen Glieder heraus, so dass ein linearer Term (bzw. ein Term 1. Ordnung) übrig bleibt. Daher nur eine Lösung.


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