CHECK: Lineare Funktionen I
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1. Wie lautet die Gleichung der linearen Funktion (siehe Abbildung)?
Die Abbildung zeigt den Graphen im Koordinatensystem:
Der Achsenschnittpunkt ist bei S(0|1,5), damit ist n = 1,5.
Gehen wir eine Einheit nach rechts, dann müssen wir 1,5 Einheiten nach oben gehen, damit wir wieder auf dem Graph sind. Punkt wäre P(1|3).
Die Differenz für y beträgt 3 - 1,5 = 1,5. Damit ist m = 1,5.
Wir stellen auf:
f(x) = m·x + n
f(x) = 1,5·x + 1,5
2. Berechne die Nullstellen der Funktion: f(x)= 4x+13-3x+(-12)
Tipp: Ersetze f(x) durch 0 und löse die Gleichung!
f(x) = 4x + 13 - 3x + (-12)
4x + 13 - 3x + (-12) = 0
4x - 3x + (-12) + 13 = 0
1x + 1 = 0 |-1
1x = -1
x = -1
Siehe auch Gleichungen umformen (Äquivalenzumformungen).
3. Woran erkennt man eine Funktion?
Tipp: Erinnere dich an die gelernten Formeln.
Jedem x-Wert ist genau ein y-Wert zugeordnet.
4. In welchem Punkt schneiden sich die beiden linearen Graphen?
Es sind zwei lineare Funktionen geben mit:
f(x) = 3,5·x + 2
g(x) = 2,5·x + 4
Berechne, in welchem Punkt sie sich schneiden.
Wir müssen zuerst beide Funktionsgleichungen gleichsetzen:
f(x) = g(x)
3,5·x + 2 = 2,5·x + 4
Dann die Gleichung nach x umstellen:
3,5·x + 2 = 2,5·x + 4 | -2,5x
3,5·x - 2,5·x + 2 = 4 | -2
3,5·x - 2,5·x = 4 - 2
x = 2
Nun noch den y-Wert bestimmen:
f(x) = 3,5·x + 2
f(2) = 3,5·2 + 2 = 7 + 2 = 9 = y
Damit ist der Schnittpunkt S(2|9).
5. Gib die Funktionsgleichung des abgebildeten linearen Graphen an.
Tipp: Schau dir den y-Achsenabschnitt an, also den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse. Danach versuche, die Steigung zu erkennen.
Schnittpunkt mit y-Achse: S(0|1,5). Damit ist m = 1,5.
Die Steigung ist 1 Einheit nach rechts, 3 Einheiten nach unten. Also m = -3.
Wir erhalten:
f(x) = m·x + n
f(x) = -3·x + 1,5
6. Wo hat der Funktionsgraph von f(x) = x · 1/2 + 3/4 eine Nullstelle?
Berechne deren Nullstelle.
x · 1/2 + 3/4 = 0
x · 1/2 = -3/4
x = 2 · (-3/4)
x = -6/4
x = -3/2
7. Liegt der Punkt P(2,5|4) auf dem Graphen der Funktion?
Dir ist folgende Funktion gegeben: \( f(x) = \frac{35}{3}x + 2 \). Liegt der Punkt P (2,5|4) auf dem Graphen der Funktion?
Tipp: Setze für x die 2,5 ein.
Einfach x-Wert des Punktes einsetzen und schauen, ob sich der richtige y-Wert ergibt:
\( f(x) = \frac{35}{3}x + 2 = y \\ f(2,5) = \frac{35}{3}·2,5 + 2 \\ f(2,5) = \frac{35}{3}·\frac{5}{2} + 2 \\ f(2,5) = \frac{35·5}{3·2} + 2 \\ f(2,5) = \frac{175}{6} + 2 \\ f(2,5) = \frac{175}{6} + \frac{12}{6} \\ f(2,5) = \frac{187}{6} ≈ 31,17 \)
Der ermittelte Punkt R(2,5|31,17) entspricht nicht dem Punkt(2,5|4). Daher liegt der Punkt(2,5|4) nicht auf dem Graphen.
8. Welche Steigung hat der Graph? Ablesen!
Dir ist nachfolgender Graph gegeben. Berechne die Steigung des Graphen. Denke an das Steigungsdreieck.
Wenn wir von x = 0 zu x = 1 eingehen, dann sehen wir, dass sich der Graph von y = 0 auf y = 0,5 erhöht.
Die Steigung ist also $$ m = \frac{0,5 - 0}{1 - 0} = 0,5 = \frac{1}{2} $$
9. Bestimme rechnerisch die Steigung der Gerade aus zwei Punkten: P1(2|6) und P2(5|9).
Wenn zwei Punkte gegeben sind, können wir zur Bestimmung der Funktionsgleichung (und der Steigung), die Zweipunkteform verwenden.
$$ f(x) = m · (x - x_1) + y_1 \\ f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} · (x - x_1) + y_1 \\ f(x) = \frac{9 - 6}{5 - 2} · (x - 2) + 6 \\ f(x) = \frac{3}{3} · (x - 2) + 6 \\ f(x) = 1 · (x - 2) + 6 \\ f(x) = 1·x - 2 + 6 \\ f(x) = 1·x + 4 $$
Die Steigung ist m = 1.
10. Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Gegeben sind: Steigung m = -2 und ein Punkt mit P(2|-1)
Die allgemeine Form lautet:
f(x) = m·x + n
Die Steigung ist gegeben, es gilt also m=-2
Jetzt muss außerdem gelten:
f(2) = -1
damit der Punkt auf dem Graphen liegt.
Also:
f(2) = -2*2 + n = -1
-4 + n = -1 |+4
n = 3
Die Gleichung lautet also:
f(x) = -2·x + 3
Fortschritt: