Lerncheck: Antiproportionalität

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1. Wenn 5 Maschinen 10 Tage für 200 Stühle brauchen, wie lange brauchen dann 10 Maschinen für die gleiche Menge?

1. Zuerst berechnen wir den Antiproportionalitätsfaktor: 5 Maschinen · 10 Tage = 50.
2. Um festzustellen, wie viele Tage nun 10 Maschinen brauchen, rechnen wir: 50 : 10 Maschinen = 5 Tage

2. Für den Bau einer Garage benötigen 3 Arbeiter 8 Arbeitstage. Wie lange dauert es insgesamt, wenn nur 2 Arbeiter am Bau tätig sind.

1. Zuerst berechnen wir den Antiproportionalitätsfaktor: 3 Arbeiter · 8 Tage = 24.
2. Nun berechnen wir, wie viele Tage nun 2 Arbeiter benötigen: 24 : 2 Maschinen = 12 Tage

3. Ein Futtervorrat reicht bei 12 Kühen 28 Tage. Wie viele tage reicht er bei 8 Kühen?

1. Zuerst berechnen wir den Antiproportionalitätsfaktor: 12 Kühe · 28 Tage = 336.
2. Als nächstes berechnen wir, wie viele Tage der Vorrat für 5 Kühe reicht: 336 : 8 Kühe = 42 Tage

4. Deine Ersparnisse für eine Reise reichen genau für 3 Wochen, wenn du täglich 15,20 € ausgibst. Die Reise wird jedoch 3 Tage länger dauern. Wie viel Euro hast du nun täglich zur Verfügung?

1. Erste Überlegung: 3 Wochen sind 3 · 7 Tage/Woche = 21 Tage.
2. Berechnen wir den Antiproportionalitätsfaktor: 21 Tage · 15,20 € = 319,20 €.
3. Nun verteilen wir das auf die neuen (21 Tage + 3 Tage) 24 Tage: 319,20 : 24 Tage = 13,30 €

5. In welchen Beispielen erkennst du antiproportionale Zuordnungen?

Nur die Nr. 1 „Staudamm“ ist antiproportional: Je mehr Pumpen wir einsetzen, desto schneller nimmt das Volumen des Stausees ab.

6. Für die Ernte werden 4 Tage lang 9 Mähdrescher 8 Stunden eingesetzt. Wie viel Tage brauchen 12 Mähdrescher?

Wie auch bei zwei Größen können wir bei drei gegebenen Größen ebenfalls den Antiproportionalitätsfaktor bestimmen. Er beträgt: 4 Tage · 9 Mähdrescher · 8 Stunden = 288.

Nun haben wir statt 9 die 12 Mähdrescher: 288 : 12 = 24.

8 Stunden täglich sind unverändert, damit: 24 : 8 = 3 Tage.

7. Bob hat einen Kuchen für seine 4 Gäste gebacken. Jeder Gast bekommt ein Viertel des Kuchens (200 g). Wie viel Gramm Kuchen kann Bob an 8, 12 und 20 Gäste verteilen?

1. Wir haben 4 Stück Kuchen mit jeweils 200 g, also wiegt der Kuchen 4 · 200 g = 800 g.
2. Je mehr Gäste wir haben, desto weniger Kuchen ist für jeden vorhanden.
3. Um die Gewichte zu ermitteln, dividieren wir 800 g durch die Anzahl der Gäste:
800 g : 8 Gäste = 100 g
800 g : 12 Gäste ≈ 67 g
800 g : 20 Gäste = 40 g

8. Wie lange können die Piraten mit den verfügbaren Vorräten auf dem Schiff bleiben?

Der Pirat Hotziklotz ist mit 14 Matrosen auf seinem Schiff unterwegs. Sie können 40 Tage reisen, bis ihnen die Vorräte ausgehen. Zu seiner nächsten Schiffreise will er nur 7 Matrosen mitnehmen. Wie lange kann die Besatzung auf dem Schiff bleiben? (Gleicher Vorrat, weniger Besatzung, die Lebensmittel verderben nicht.) Vergiss nicht, den Piraten Hotziklotz mitzuzählen.

14 Matrosen + 1 Pirat Hotziklotz = 15 Piraten

Vorräte: 15 Piraten · 40 Tage = 600 Einheiten

Jetzt nur noch 7 Piraten + 1 Pirat Hotziklotz = 8 Piraten

600 Einheiten : 8 Piraten = 75 Tage

9. Pumpe A füllt ein Becken in 240 Stunden, Pumpe B füllt das gleiche Becken in 300 Stunden, Pumpe C füllt das gleiche Becken in 330 Stunden. Welche Füllzeit wird benötigt, wenn alle drei Pumpen gleichzeitig eingesetzt werden? (Level: Schwierig)

Diese Aufgabe ist deutlich schwieriger als die anderen. Wenn du sie falsch beantwortet hast, kein Problem! Hier ist die Musterlösung, merke sie dir:

1. Erste Überlegung: Die Pumpen haben unterschiedliche Leistungen, da sie verschiedene Zeiten benötigen.
2. Wir wollen wissen, wie lange alle zusammen benötigen. Wir können jedoch nicht alle Stunden addieren. Hingegen haben wir 1 Becken, das geleert wird. Diese Leistung halten wir fest: 1 Becken / x Stunden
3. Nun addieren wir die Leistungen:

$$ \frac{1}{240} + \frac{1}{300} + \frac{1}{330} = \frac{139}{13200} \text{ Becken pro Stunde } ≈ 0,010530 \text{ Becken pro Stunde } $$

Jetzt berechnen wir die Zeit, indem wir das Becken durch diesen Wert (Leistung von 3 Pumpen) dividieren:

$$ 1 \text{ Becken } : \frac{139}{13200} \text{ Becken pro Stunde } = 94,964… ≈ 95 \text{ Stunden } $$

10. Woran erkennt man, ob eine direkte oder eine indirekte Proportionalität vorliegt?

Quotientengleichheit meint, dass a/b immer konstant ist, was bei der direkten Proportionalität gegeben ist. Beispiel: 5 Äpfel / 10 € = 2 € / Apfel sowie 20 Äpfel / 40 € = 2 € / Apfel.

Produktgleichheit meint, dass a*b immer konstant ist, was bei der indirekten Proportionalität gegeben ist. Beispiel: 5 Maschinen · 10 Tage = 50 Tage sowie 10 Maschinen · 5 Tage = 50 Tage.


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