Test: Ableitungen II

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1. Gib die Ableitung für die Funktion \( f(x) = 4x^4 - 4x^2 - 15 \) an.

f(x) = 4x^4 - 4x^2 - 15

f´(x) = 4·4x^(4-1) - 2·4x^(2-1)

f´(x) = 16x^3 - 8x

2. Wie lautet die Ableitung von \( f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 2x \)?

f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 2x^1

f´(x) = 3·3x^(3-1) + 2·4x^(2-1) + 1·2x^(1-1)

f´(x) = 9x^(2) + 8x^(1) + 2x^(0)

f´(x) = 9x^2 + 8x + 2·1

f´(x) = 9x^2 + 8x + 2

3. An welchen Stellen nimmt die Funktion \( f(x) = 4x^3 + 3·x + 6 \) die Steigung 15 an?

Wir bilden die Ableitung und setzen ein:

f(x) = 4·x^3 + 3·x + 6
f‘(x) = 12·x^2 + 3
f‘(x) = 12·x^2 + 3 = 15
12·x^2 + 3 = 15
12·x^2 = 12
x^2 = 1
x = ±1

4. Wie viele Extremstellen besitzt die Funktion \( f(x) = x^3 - 27·x \)
Hinweis: Die Funktion besitzt keine Sattelpunkte.

Wir leiten ab: f‘(x) = 3x^2 - 27
0 = 3x^2 - 27
27 = 3x^2
9 = x^2
x = 3 und x = -3

Da die Funktion keine Sattelpunkte besitzt, haben wir 2 Extremstellen.

5. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = √x?
f(x) = √x mit x ≥ 0

$$ f(x) = \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } $$

Nach der Potenzregel:

$$ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{(\frac{1}{2}-1)} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \\ f´(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ f´(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} $$


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