Test: Ableitungen IV | Matheretter

1. Zylindervolumen für maximales Volumen optimieren

Das maximale Volumen eines Zylinders soll erreicht werden. Die Gesamtheit der Flächen aus Böden und Mantel soll dabei als fest vorgegeben betrachtet werden. Wie verhalten sich der Radius r und die Höhe h zueinander, wenn diese Forderungen erfüllt sind?

$ r =2h $

$ r=π\sqrt h $

$ h=2 r $

$ h=\pi\sqrt{r} $

$$ V = h ·\pi·r^2 \\ A = 2·\pi·r·h + 2·\pi·r^2 \\ A - 2·\pi·r^2 = 2·\pi·r·h \\ \frac{A -2·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } = h \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r \\ V = (\frac{A }{ 2·\pi·r } -r )·\pi·r^2 \\ V = \frac{A ·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } -\pi r^3 \\ V = \frac{A ·r}{ 2 } - \pi r^3 \\ V' = \frac{A }{ 2 } -3 \pi r^2 \\ V' = 0 \\ 3 \pi r^2 = \frac{A }{ 2 } \\ r = \sqrt{\frac{A }{ 6 \pi} } \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r \\ h = \frac{6 \pi r^2 }{ 2·\pi·r } - r \\ h = \frac{6 r }{ 2 } -r \\ h = 3 r -r \\ h = 2·r $$

2. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x² + sin(4x+3)?

f'(x) = 2x + cos(4)

f'(x) = 2x - cos(4x+3)

f'(x) = 2x + 4·cos(4x+3)

f'(x) = 2x + tan(4x+3)·4

Summenregel: (g ± h)` = g` ± h`

Für g(x) = x²
g`(x) = 2x

Für h(x) = sin(4x + 3):
Sinus abgeleitet: sin(u) = cos(u)
→ cos(4x + 3)
Innere Ableitung: 4x + 3 → 4
h`(x) = 4·cos(4x + 3)

f` = g` + h` = 2x + 4·cos(4x + 3)

3. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = -3⋅cos(4x²)?

$ f'(x) = 24x\cdot sin(4x^2) $

$ f'(x) = -24\cdot sin(x) $

$ f'(x) = 3\cdot sin(x) $

$ f'(x) = 3x\cdot cos(4x^2) $

Die Ableitung von -cos(x) ist sin(x). Die 3 bleibt bestehen und das Argument (4x²) ebenfalls, soweit der erste Zwischenschritt:

$$ f'(x) = 3\cdot sin(4x^2) $$

Die innere Ableitung (die Ableitung der 4x^2) ergibt 8x, der Term muss damit multipliziert werden und wir erhalten das Endergebnis:

$$ f'(x) = 24x\cdot sin(4x^2) $$

4. Bestimme die Ableitung der Funktion: $ f(x) = e^x · (x^2+3x+6) $

$ f'(x) = e^x · (2x+3) $

$ f'(x) = e^x · (x^2+3x+6) $

$ f'(x) = 2x+3 $

$ f'(x) = e^x · (x^2+3x+6) + e^x · (2x+3) $

Wir haben ein Produkt von zwei Funktionen, deren Ableitung wir ganz einfach bestimmen können:

g(x) = e^x g'(x) = e^x

h(x) = x^2 + 3x + 6 h'(x) = 2x + 3

Es gilt f(x) = g(x) · h(x).

Wir wenden die Produktregel an:

f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)

Wir setzen ein und erhalten die Lösung:

f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)
f'(x) = e^x · (x^2 + 3x + 6) + (2x + 3) · e^x
f'(x) = e^x · (x^2 + 3x + 6) + e^x · (2x + 3)

5. Wie lautet die Ableitung von f(x) = sin(x) · e^x?

$ f'(x) = cos(x) · e^x $

$ f'(x) = sin(x) · e^x $

$ f'(x) = cos(x) · e^x + sin(x) · e^x $

$ f'(x) = cos(x) · e^x + cos(x) · e^x $

Die Funktion hat die Form f(x) = g(x) · h(x).

Mit g(x) = sin(x) und h(x) = e^x erhalten wir die Ableitungen:

g(x)` = cos(x)

h(x)` = e^x

Nach der Produktregel f‘(x) = g‘(x)· h(x) + g(x) · h‘(x) ergibt sich das Ergebnis:

f‘(x) = g‘(x)· h(x) + g(x) · h‘(x)
f`(x) = cos(x) · e^x + sin(x) · e^x