Test: Ableitungen IV
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1. Zylindervolumen für maximales Volumen optimieren
$$ V = h ·\pi·r^2 \\ A = 2·\pi·r·h + 2·\pi·r^2 \\ A - 2·\pi·r^2 = 2·\pi·r·h \\ \frac{A -2·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } = h \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r \\ V = (\frac{A }{ 2·\pi·r } -r )·\pi·r^2 \\ V = \frac{A ·\pi·r^2}{ 2·\pi·r } -\pi r^3 \\ V = \frac{A ·r}{ 2 } - \pi r^3 \\ V' = \frac{A }{ 2 } -3 \pi r^2 \\ V' = 0 \\ 3 \pi r^2 = \frac{A }{ 2 } \\ r = \sqrt{\frac{A }{ 6 \pi} } \\ h = \frac{A }{ 2·\pi·r } -r \\ h = \frac{6 \pi r^2 }{ 2·\pi·r } - r \\ h = \frac{6 r }{ 2 } -r \\ h = 3 r -r \\ h = 2·r $$
2. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x² + sin(4x+3)?
Summenregel: (g ± h)` = g` ± h`
Für g(x) = x²
g`(x) = 2x
Für h(x) = sin(4x + 3):
Sinus abgeleitet: sin(u) = cos(u)
→ cos(4x + 3)
Innere Ableitung: 4x + 3 → 4
h`(x) = 4·cos(4x + 3)
f` = g` + h` = 2x + 4·cos(4x + 3)
3. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = -3·cos(4x²)?
Die Ableitung von -cos(x) ist sin(x). Die 3 bleibt bestehen und das Argument (4x²) ebenfalls, soweit der erste Zwischenschritt:
$$ f'(x) = 3\cdot sin(4x^2) $$
Die innere Ableitung (die Ableitung der 4x^2) ergibt 8x, der Term muss damit multipliziert werden und wir erhalten das Endergebnis:
$$ f'(x) = 24x\cdot sin(4x^2) $$
4. Bestimme die Ableitung der Funktion: \( f(x) = e^x · (x^2+3x+6) \)
Wir haben ein Produkt von zwei Funktionen, deren Ableitung wir ganz einfach bestimmen können:
g(x) = e^x g'(x) = e^x
h(x) = x^2 + 3x + 6 h'(x) = 2x + 3
Es gilt f(x) = g(x) · h(x).
Wir wenden die Produktregel an:
f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)
Wir setzen ein und erhalten die Lösung:
f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)
f'(x) = e^x · (x^2 + 3x + 6) + (2x + 3) · e^x
f'(x) = e^x · (x^2 + 3x + 6) + e^x · (2x + 3)
5. Wie lautet die Ableitung von f(x) = sin(x) · e^x?
Die Funktion hat die Form f(x) = g(x) · h(x).
Mit g(x) = sin(x) und h(x) = e^x erhalten wir die Ableitungen:
g(x)` = cos(x)
h(x)` = e^x
Nach der Produktregel f‘(x) = g‘(x)· h(x) + g(x) · h‘(x) ergibt sich das Ergebnis:
f‘(x) = g‘(x)· h(x) + g(x) · h‘(x)
f`(x) = cos(x) · e^x + sin(x) · e^x
