Test: Additionstheoreme

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1. Welcher Term ist für den Ausdruck sin(α + β) korrekt?

Siehe auch Lektion Additionstheoreme.

2. Welcher Term ist für den Ausdruck cos(α + β) korrekt?

Vergleiche Lektion Additionstheoreme.

3. Welcher Term steht auch für den Ausdruck sin(2α)?

Additionstheorem für sin(α + β) anwenden

$$ sin(2α) = sin(α + α) = sin(α) \cdot cos(α)+ cos(α) \cdot sin(α)=2 \cdot sin(α) \cdot cos(α) $$

4. Welcher Term steht auch für den Ausdruck cos(2α)?

Additionstheorem für cos(α + β) anwenden

$$ cos(2α) = cos(α + α) = cos(α) \cdot cos(α) - sin(α) \cdot sin(α)=cos^2(α) - sin^2(α) $$

$$ Mit \space cos^2(α) + sin^2(α) = 1 \space folgt \space cos(2α) =cos^2(α) - (1-cos^2(α)) $$

$$cos(2α) =2 \cdot cos^2(α) - 1 $$

5. Vereinfache sin²(α)·cos(α) + cos³(α) mit Hilfe von Additionstheoremen.

$$ sin^2(α) \cdot cos(α) + cos^3(α)= cos(α) \cdot (sin^2(α) +cos^2(α))= cos(α) \cdot (sin(α) \cdot sin(α) +cos(α) \cdot cos(α) ) $$

Der Term sin(α)·sin(α) + cos(α)·cos(α) ist gemäß dem Additionstheorem gleich cos(α-α)

$$⇒cos(α) \cdot cos(α-α) = cos(α) \cdot cos(0) =cos(α) \cdot 1= cos(α)$$

6. Berechne den Wert von sin(135°) über ein passenden Additionstheorem.

Wir zerlegen den Winkel von 135° in 90° und in 45° und wenden das Additionstheorem für sin(α +β) an.

$$ sin(α +β) = sin(45° +90°) = sin(45°) \cdot cos(90°) + cos(45°) \cdot sin(90°) $$

$$ ⇒ \frac {\sqrt2} {2} \cdot 0 +\frac {\sqrt2} {2} \cdot 1 = \frac {\sqrt2} {2} $$

7. Für welche trigonometrische Funktionen kann man Additionstheoreme anwenden?

Siehe hierzu Lektion Additionstheoreme.

8. Welche Form des Termes in Abhängigkeit von tan(α) und tan(β) erhält man für tan(α+β), wenn man hierfür ein passendes Additionstheorem anwendet?

$$tan(α+β) = \frac {tan(α)+tan(β)} {1 - tan(α)\cdot tan(β)}$$

9. Leite aus der Beschreibung bzw. Skizze das Additionstheorem für Sinus her.

Gegeben sind drei rechtwinklige Dreiecke ΔSCD, ΔSCA und ΔSAB mit den jeweiligen Innenwinkeln α, β und (α + β):

image

Gemäß Skizze ist $$ |CD| = |EB|$$

$$ sin(α+β) = \frac {|AB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|EB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|CD|} {|AS|}$$

$$ ⇒ \frac {|AE|} {|AS|} + \frac {|CD|} {|AS|} ⇔ \frac{|AE| \cdot |AC|} {|AC| \cdot |AS|} + \frac{|CD| \cdot |CS|} {|CS| \cdot |AS|}$$

Aus den Definitionen von Sinus und Kosinus folgt:

$$ \frac {|AC|} {|AS|} = sin(β), \frac {|CD|} {|CS|} = sin(α) \space und \space \frac {|CC|} {|AS|} = cos(β)$$

$$ Winkel \space EAC = α$$

$$⇒ Winkel \space SCB = Winkel \space ECA = 90° -α ⇒Winkel \space SCE = Winkel \space EAC= α$$

Daraus folgt

$$ \frac {|AE|} {|AC|} = cos(α)$$

$$⇒ sin(α+β) = cos(α) \cdot sin(β) + sin(α) \cdot cos(β)$$

10. Berechne den Wert von tan(210°) über ein passendes Additionstheorem.

$$ tan(210°) = tan(180°+30°)$$

Additionstheorem für Tangens

$$ tan(α+β) = \frac {tan(α)+tan(β)} {1-tan(α) \cdot tan(β)}$$

$$⇒tan(180°+30°) = \frac {tan(180°)+tan(30°)} {1-tan(180°) \cdot tan(30°)}$$

$$⇒tan(180°+30°) = \frac {0+tan(30°)} {1-0 \cdot tan(30°)} = \frac {tan(30°)} {1}= \frac {\sqrt3} {3}$$


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