Test: Binomische Formeln I

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1. Ergänze die fehlende Zahl in der Gleichung (a +?)² = a² + 6·a + 9

(a + ? )2 = a2 + 6·a + 9

(a + 3 )2 = a2 + 2·3·a + 32 = a2 + 6·a + 9

2. Löse (x - 3)² so weit wie möglich auf.

Wir benutzen die 2. binomische Formel und erhalten als Ergebnis: x² + 6x + 9

3. Welche Äquivalenzumformungen müssen wir durchführen, um bei der Gleichung x² +2xy +4y² = 0 auf der linken Seite eine binomische Formel zu erhalten?

Wir erkennen eine Form der 1. binomischen Formel (a+b)². Was uns stört, ist der Term in der Mitte auf der linken Seite (xy). Aus a² = x² und b² = y² folgt, dass 2ab = 4xy sein müssen. Wir müssen also auf beiden Seiten xy dazu addieren und erhalten: (x+2y)² = 2xy

4. Löse die Gleichung x² + 10x +25 = 0 auf.

Denke an die binomischen Formeln.

Die linke Seite ist eine binomische Formel. Wir schreiben dies als Klammerausdruck und erhalten:
(x+5)² = 0
Und das ist offentsichtlich gleich 0, wenn x = -5.

5. Schreibe x² - 16x + 64 als binomische Formel.

Wir sehen die 2. binomische Formel (a-b)² = a² - 2ab + b². Daraus folgt b² = 64 ⇒ b=8. a² = x² ⇒ b=x. Wir machen die Probe für 2ab und setzen ein: 2·a·b = 2·x·8 = 16·x. Unsere Lösung stimmt also.

6. Schreibe 9a² - 81b² als binomische Formel.

Hinweis: Dritte binomische Formel:
(a+b) · (a-b) = a2 - b2

7. Berechne das Ergebnis von (100 - 5) (100 +5)

Ohne Taschenrechner! Nutze die binomischen Formeln.

100² - 5² = 10000 - 25 = 9975

8. Berechne des Ergebnis von (10 + 9)², indem du eine binomische Formel anwendest.

Mit der ersten binomischen Formel erhalten wir 100+180+81 = 361.

9. In der Funktion f(x) = 2x² - 32x +128 ist eine binomische Formel versteckt.

Kannst du die Funktion umschreiben, sodass man die binomische Formel erkennt?

2 ausklammern: f(x) = 2·(x² -16x+64) . Wir erkennen nun direkt die zweite binomische Formel.

x² - 16x + 64 = (x·x) - 2·8·x + (8·8) = (x - 8)²

10. Wie formt man die Gleichung 4x² + 8x = 0 so um, dass man auf der linken Seite eine binomische Formel erhält?

Uns fehlt das letzte Glied, damit wir die erste binomische Formel erhalten. 4x² ist a² ⇒ a = 2x.
8x = 2ab ⇒ 4x = 2xb ⇒ b = 2. Wir müssen also noch b² = 4 auf beiden Seiten addieren und erhalten:
(2x+2)² = 4. Hinweis: Es gibt mehrere Möglichkeiten der Lösung.


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