Test: Biquadratische Gleichungen I

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1. Wie viele Lösungen kann maximal eine biquadratische Gleichung haben?

Allgemein für eine biquadratische Gleichung gilt: a*x4 + b*x2 + c = 0. Der höchste Exponent bei der aufzulösenden Variabel z gibt die Anzahl der Lösungen wider.

2. Wann liegt eine biquadratische Gleichung vor?

Allgemeine Form der biquadratischen Gleichung:

$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$ Wobei a ungleich 0 ist.

3. Welche der aufgeführten Gleichungen ist eine biquadratische Gleichung?

Allgemeine Form einer biquadratischen Gleichung

$$ ax^4 +bx^2 + c = 0 $$

für a ≠ 0

4. Wie viele Lösungen hat die Gleichung \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \)?

$$ x^4 - 4x^2 +4 = 0 $$

$$ Substitution \space z:= x^2 $$

$$ z^2 - 4z + 4 =0$$

$$ Quadratische \space Gleichung \space lösen$$

$$ z_{1,2} = 2 ± \sqrt{4-4}$$

$$ z_{1} = z_2 = 2$$

$$ Resubstitution$$

$$x^2 = z = 2 $$

$$ x_{1,2} = ± \sqrt{2}$$

Also, zwei Lösungen.

5. Bestimme die Lösungen der Gleichung \( 2·x^4 - 8·x^2 - 24 = 0 \).

$$ 2x^4-8x^2-24 = 0 ⇔ x^4-4x^2-12=0 $$

Substitution z:= x2

$$ z^2-4z-12=0 $$

Lösen mit pq-Formel ergibt

$$ z_1 = 6 \space und \space z_2 =-2 $$

Resubstituion

$$ x_{1,2} = ±\sqrt{z_1}= ±\sqrt{6} $$

$$ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2}= ±\sqrt{-2}⇒keine \space reelle \space Lösung $$

Lösungsmenge

$$ L = \{-\sqrt{6},\sqrt{6}\} $$

6. Bestimme alle Werte des Parameters a derart, dass die gegebene Gleichung nur zwei reelle Lösungen besitzt.

$$ x^4+(4a+1)x^2+\frac 14=0$$

Substitution z:= x2

$$ z^2+(4a+1)z+\frac 14=0$$

Lösen mit pq-Formel

$$ z_{1,2} = -\frac {(4a+1)}2 ± \sqrt { \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 }$$

Wenn zwei reelle Lösungen für a verlangt werden, muss der Radikant Null gesetzt werden:

$$ \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 = 0 $$

$$ 16a^2+8a = 8a(2a+1)=0 $$

$$ ⇒ a_1 = 0 \space und \space a_2 = -\frac 12$$

7. Unter welcher Bedingung hat eine biquadratische Gleichung \( a·x^4 + b·x^2 + c = 0 \) für a ≠ 0 und x ∈ ℝ keine Lösung?

Da die substituierte Variable (z:=x2) selbst über Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen ermittelt wird, darf der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) nicht negativ sein.

8. Gib für die Gleichung \( x^4 = 3x^2 \) alle Lösungen an.

$$ x^4 = 3x^2 ⇔x^4 - 3x^2 = 0$$

$$ x^2(x^2-3)=0$$

$$ ⇒x^2 = 0 \space bzw. \space x^2-3 = 0$$

$$ x^2 = 0 ⇒ x_{1,2} = \pm 0$$

$$ x^2-3 = 0 ⇒ x_{3,4} = \pm \sqrt3$$

9. Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \( x^4 = \frac{1}{3}·(x^2 - 21) \)?

$$ x^4 = \frac 13 (x^2-21) ⇔ x^4 -\frac {x^2} {3}+21 =0$$

$$ z.= x^2 ⇒z^2 -\frac z3+21 =0$$

$$ z_{1,2} = \frac 16 \pm \sqrt {\frac {1} {36} -21} $$

Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, liegen keine reellen Lösungen vor.

10. Finde die reellen Lösungen der Gleichung \( x^3 - \frac{7}{4x} = 3x \).

$$ x^3 - \frac {7} {4x} = 3x ⇔ x^4 - \frac 74 -3x^2 = 0 $$

$$ z:= x^2 ⇒ z^2 - 3z- \frac 74 = 0 $$

$$ z_{1,2} = \frac 32 \pm \sqrt{\frac 94 + \frac 74} = \frac 32 \pm\sqrt{\frac {16} {4}} = \frac 32 \pm\frac 42 $$

$$ z_1 = \frac 72 \space und \space z_2 = -\frac 12$$

$$ Rücksubstitution: $$

$$ x^2 = \frac 72⇒x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac 72} \space und $$

$$ x^2 = -\frac 12⇒keine \space reelle \space Lösung \space (negativer \space Ausdruck \space unter \space der \space Wurzel) $$


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