Test: Biquadratische Gleichungen II

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1. Bestimme die Lösungen der Gleichung \( \frac{2·x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{2} \).

$$ \frac {2x^2} {x^2-1} = \frac {x^2+1} {2} ⇔2(2x^2) = (x^2+1)(x^2-1)$$

Rechte Seite: 3. binomische Formel

$$2(2x^2) = x^4 -1 ⇒x^4 -4x^2-1=0$$

$$Substitution: \space z:=x^2$$

$$z^2 -4z-1=0$$

$$ z_{1,2}= 2\pm\sqrt{4+1}=2\pm\sqrt5$$

$$ z_1 = 2+\sqrt5 > 0$$

$$ z_2 = 2-\sqrt5 < 0$$

Rücksubsitution für z1

$$x_{1,2}= \pm(2+\sqrt5)$$

Rücksubsitution für z2 geht nicht, da aus einer negativen Zahl im reellen Bereich keine Wurzel gezogen werden darf.

2. Löse die biquadratische Gleichung: \( x^4 - 11x^2 + 18 = 0 \)

x4-11x2+18 = 0

z = x2
z2 - 11z + 18 = 0 | pq-Formel

z1 = 9
z2 = 2

Resubstitution:

z1 = x2
9=x2
x= ±3

z2 = x2
2 = x2
x= ±√2

Also sind die Lösungen der biquadratischen Gleichung:

x1= 3
x2= -3
x3= √2
x4= -√2

3. Löse die biquadratische Gleichung: \( 2x^4 - 3x^2 - 20 = 0 \)

2 x 4 - 3 x 2 - 20 = 0 |:2

x 4 - 1,5 x 2 - 10 = 0

Substituiere: z = x ²

z ² - 1,5 z = 10 | pq-Formel

z = - 2,5 oder z = 4

Rücksubstitution:

x ² = - 2,5 → keine reellwertige Lösung

x ² = 4 → x = 2 oder x = - 2

Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also x1 = - 2 und x2 = 2

4. Welche Methode wird vorrangig zur Lösung von biquadratischen Gleichungen verwendet?

-

5. Was ist das Standardvorgehen bei quartischen Gleichungen der Form \( a·x^4 + c·x^2 = 0 \)?

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ a·x^2·x^2 + c·x^2 = 0 \\ x^2·(a·x^2 + c) = 0 $$

Das kann man jetzt faktorweise anschauen. Die Klammer wird dabei über Wurzelziehen gelöst.

6. Finde die Lösungen der Gleichung: \( 300+x^2·(x^2 - 102,25) = 75 \)

300 + x2(x2-102,25) = 75

300 + x4 - 102,25x2 = 75 |-75

x4-102,25x2+225=0

z = x2

z2-102,25z+225=0

z1= 100

z2= 9/4

z1 = x2

100 = x2

x1,2 = ±10

z2 = x2

9/4 = x2

x3,4 = ±1,5

Also sind die Lösungsmengen oder die Nullstellen der Funktion

x1,2 = ±10

x3,4 = ±1.5

7. Gibt es eine Lösungsformel für quartische Gleichungen?

-

8. Löse die biquadratische Gleichung: 36x^4 - 25x^2 + 4 = 0

36 x4 - 25 x2 + 4 = 0 | : 36

x4 - 25/36 x2 + 1/9 = 0

z = x2

z2 - 25/36 z + 1/9 = 0 |pq-Formel

z = 4/9 oder z= 1/4

x2 = 4/9 oder x2 = 1/4

x1 = 2/3 oder x2 = -2/3 oder x3 = 1/2 oder x4 = -1/2

9. Wie viele Lösungen hat die quartische Gleichung: \( (x^2 + 2)·(x^2 + 4) = 0 \)

Man kann versuchen das ganze faktorweise zu lösen. Man stellt fest, dass für beide Faktoren keine Nullstellen gefunden werden können.

Der Funktionsgraph sieht so aus: Plotter öffnen

10. Wie viel reelle Lösungen hat die quartische Gleichung: \( x^4 - 16 = 0 \)

$$ x^4 - 16 = (x^2+4)·(x^2-4) $$

Dank der dritten binomischen Formel ergibt sich obiges. Nun Faktorweise anschauen. Erster Faktor ergibt keine reelle Nullstelle. Letzterer ergibt zwei Nullstellen.

Schauen wir uns noch den Funktionsgraphen an von f(x) = x^4-16 und dessen Nullstellen:

Plotter öffnen


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