Test: Biquadratische Gleichungen II

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1. Bestimme die Lösungen der Gleichung \( \frac{2·x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{2} \).

$$ \frac {2x^2} {x^2-1} = \frac {x^2+1} {2} ⇔2(2x^2) = (x^2+1)(x^2-1)$$

Rechte Seite: 3. binomische Formel

$$2(2x^2) = x^4 -1 ⇒x^4 -4x^2-1=0$$

$$Substitution: \space z:=x^2$$

$$z^2 -4z-1=0$$

$$ z_{1,2}= 2\pm\sqrt{4+1}=2\pm\sqrt5$$

$$ z_1 = 2+\sqrt5 > 0$$

$$ z_2 = 2-\sqrt5 < 0$$

Rücksubsitution für z1

$$x_{1,2}= \pm(2+\sqrt5)$$

Rücksubsitution für z2 geht nicht, da aus einer negativen Zahl im reellen Bereich keine Wurzel gezogen werden darf.

2. Löse die biquadratische Gleichung: \( x^4 - 11x^2 + 18 = 0 \)

x4-11x2+18 = 0

z = x2
z2 - 11z + 18 = 0 | pq-Formel

z1 = 9
z2 = 2

Resubstitution:

z1 = x2
9=x2
x= ±3

z2 = x2
2 = x2
x= ±√2

Also sind die Lösungen der biquadratischen Gleichung:

x1= 3
x2= -3
x3= √2
x4= -√2

Siehe auch Lektion Biquadratische Gleichungen

3. Löse die biquadratische Gleichung: \( 2x^4 - 3x^2 - 20 = 0 \)

2 x 4 - 3 x 2 - 20 = 0 |:2

x 4 - 1,5 x 2 - 10 = 0

Substituiere: z = x ²

z ² - 1,5 z = 10 | pq-Formel

z = - 2,5 oder z = 4

Rücksubstitution:

x ² = - 2,5 → keine reellwertige Lösung

x ² = 4 → x = 2 oder x = - 2

Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also x1 = - 2 und x2 = 2

Siehe auch Lektion Biquadratische Gleichungen

4. Welche Methode wird vorrangig zur Lösung von biquadratischen Gleichungen verwendet?

Siehe Lektion Biquadratische Gleichung

5. Was ist das Standardvorgehen bei quartischen Gleichungen der Form \( a·x^4 + c·x^2 = 0 \)?

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ a·x^2·x^2 + c·x^2 = 0 \\ x^2·(a·x^2 + c) = 0 $$

Das kann man jetzt faktorweise anschauen. Die Klammer wird dabei über Wurzelziehen gelöst.

Siehe auch Lektion Biquadratische Gleichungen

6. Finde die Lösungen der Gleichung: \( 300+x^2·(x^2 - 102,25) = 75 \)

300 + x2(x2-102,25) = 75

300 + x4 - 102,25x2 = 75 |-75

x4-102,25x2+225=0

z = x2

z2-102,25z+225=0

z1= 100

z2= 9/4

z1 = x2

100 = x2

x1,2 = ±10

z2 = x2

9/4 = x2

x3,4 = ±1,5

Also sind die Lösungsmengen oder die Nullstellen der Funktion

x1,2 = ±10

x3,4 = ±1.5

Siehe auch Lektion Biquadratische Gleichungen

7. Gibt es eine Lösungsformel für quartische Gleichungen?

Siehe Wikipedia

8. Löse die biquadratische Gleichung: 36x^4 - 25x^2 + 4 = 0

36 x4 - 25 x2 + 4 = 0 | : 36

x4 - 25/36 x2 + 1/9 = 0

z = x2

z2 - 25/36 z + 1/9 = 0 |pq-Formel

z = 4/9 oder z= 1/4

x2 = 4/9 oder x2 = 1/4

x1 = 2/3 oder x2 = -2/3 oder x3 = 1/2 oder x4 = -1/2

Siehe auch Lektion Biquadratische Gleichungen

9. Wie viele Lösungen hat die quartische Gleichung: \( (x^2 + 2)·(x^2 + 4) = 0 \)

Man kann versuchen das ganze faktorweise zu lösen. Man stellt fest, dass für beide Faktoren keine Nullstellen gefunden werden können.

Der Funktionsgraph sieht so aus:

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10. Wie viel reelle Lösungen hat die quartische Gleichung: \( x^4 - 16 = 0 \)

$$ x^4 - 16 = (x^2+4)·(x^2-4) $$

Dank der dritten binomischen Formel ergibt sich obiges. Nun Faktorweise anschauen. Erster Faktor ergibt keine reelle Nullstelle. Letzterer ergibt zwei Nullstellen.

Schauen wir uns noch den Funktionsgraphen an von f(x) = x^4-16 und dessen Nullstellen:

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