Test: Exponentialfunktionen

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1. Wie viele Nullstellen hat die Funktion f(x) = e^x?

Für x ∈ ℝ liegt der Graph der Funktion f(x) = ex stets oberhalb der Abzisse (x-Achse), so dass der Graph weder die Abzisse berührt noch schneiden kann. Somit liegt keine Nullstelle für die Funktion f(x) = ex vor.

2. Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion y = a^x, die durch den Punkt P(6|64) verläuft.

Durch Einsetzen des Punktes in die Funktionsgleichung erhält man

$$ y = a^x \\ 64 = a^6 ⇔ 64^{\frac16} = a^{6 \cdot \frac 16}$$

$$ a = 64^{\frac16} = \sqrt [6] {64} = 2 $$

$$ y = 2^x$$

3. Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion y = b*a^x, die durch die Punkte (1|1) und (2|2) verläuft.

Punkte in die Funktionsgleichungen einsetzen, ergibt

$$ 1 = b \cdot a^1 \space (1) \space und \space 2 = b \cdot a^2 \space (2)$$

$$ ⇒ aus \space (1) \space folgt \space b = \frac 1a ⇒ in \space (2) \space eingesetzt \space 2 = \frac 1a \cdot a^2 ⇒a=2 ⇒b=\frac 12$$

$$ y = \frac 12 \cdot 2^x$$

4. Wähle die Funktion aus, die eine Exponentialfunktion darstellt.

Exponentialfunktionen haben die Form

$$ f(x) = b \cdot a^{c \cdot x} \space mit \space a > 0, \space a≠1, \space b,c ∈ℝ\0 $$

5. Um wie viel steigt der Funktionswert y von f(x) = 3^(2*x) zwischen x = 0 und x = 1?

$$ f(x = 0) =f(0)= 3^{2 \cdot 0} = 3^0 = 1$$

$$ f(x = 1) =f(1)= 3^{2 \cdot 1} = 3^2 = 9$$

$$ \frac {f(1)} {f(0)} = \frac 91$$

6. Um wie viel fällt der Funktionswert von f(x) = 2^(-3*x) zwischen x = 0 und x = 1?

$$ f(x=0) = f(0)= 2^{-3 \cdot 0} = 2^0 = 1$$

$$ f(x=1) = f(1)= 2^{-3 \cdot 1} = 2^{-3} = \frac {1} {2^3} = \frac 18$$

Es fällt um das 8-fache.

7. Wie lautet die Funktionsgleichung für den dargestellten Graphen?

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$$Für \space x = 0 ⇒ f(0) = -2^0=-1 = y⇒P(0|-1) ∈ Graphen$$

$$Für \space x = 1 ⇒ f(1) = -2^1=-2 = y⇒P(1|-2) ∈ Graphen$$

$$Für \space x = -1 ⇒ f(1) = -2^{-1}=-\frac 12 = y⇒P(-1|-\frac 12) ∈ Graphen$$

8. Der dargestellte Graph gehört zu einer Funktion vom Typ f(x) = a^x. Welche Aussage trifft für a zu?

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9. Welche Aussage für die Funktion f(x) = (1/3)^(2-x) trifft zu?

$$ f(x) = \left ({\frac 13} \right) ^{2-x} =\left ({\frac 13} \right) ^{-(x-2)}= \left ({3^{-1}} \right )^{-(x-2)} = 3^{(-1) \cdot [-(x-2)]} = 3^{x-2}$$

10. Berechne den Schnittpunkt mit der Ordinate für die Funktion y = 2 + e^x.

Schnittpunkt mit der Ordinate (y-Achse) wird berechnet, indem man für x die Null in die Funktionsgleichung einsetzt:

$$ f(x=0) = 2+e^0 = 2 + 1 = 3$$

Schnittpunkt mit der Ordinate: S(0|3)


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