Test: Exponentialgleichungen I

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1. Löse die Exponentialgleichung \( 2^{x^2-1} = 2 \)

2x^2-1 = 2

Vergleiche die Exponenten, beachte, dass 2 = 21

x2-1 = 1

x2 = 2

x = ±√2

2. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x²-8x+8} = 1 \)

e ist die Eulersche Zahl 2,718...

e2x^2-8x+8 = e0, denn e^0 = 1

Vergleiche die Exponenten.

2x2-8x+8 = 0 |:2, dann pq-Formel oder binomische Formel erkennen

x1,2 = 2

3. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x^3+x^2+12x} = e^{x^3-15x^2-76x} \)

Es liegt die gleiche Basis vor, aber unterschiedliche Exponenten. Damit darf man direkt die Exponenten anschauen, denn diese müssen sich gleichen!

Direkt also die Exponenten verglichen:

2x3+x2+12x = x3-15x2-76x |-x3+15x2+76x

x3+16x2+88x = 0 | x ausklammern

x(x2+16x+88) = 0 | Faktorweise anschauen

x1 = 0

x2+16x+88 = 0 -> keine weiteren reellen Nullstellen (mittels pq-Formel).

4. Wenn bei einer Exponentialgleichung die gleiche Basis vorliegt, was darf dann getan werden?

Die Exponentialgleichung habe beispielsweise die Form: ca(x) = cb(x) und damit die gleiche Basis c.

ca(x) = cb(x) |log

log(ca(x)) = log(cb(x))

a(x)·log(c) = b(x)·log(c) |:log(c)

a(x) = b(x)


(Hinweis: Es ist irrelevant, welche Basis der Logarithmus besitzt)

5. Löse die Exponentialgleichung \( 3^{x+1} - 3^x = 12 \)

3x+1 - 3x = 12 |mit an+m = an·am

3x·3 - 3x = 12

3x(3-1) = 12

2·3x = 12 |:2

3x = 6 |log

x·log(3) = log(6) |:log(3)

x = log(6)/log(3) ≈ 1,631

6. Löse die Exponentialgleichung \(3\cdot2^{x+3} = 64\cdot3^{x-2}\)

3·2x+3 = 64·3x-2 |:3 :26 (=64)

2x-3 = 3x-3

Man sieht die Lösung nun schon direkt -> Der Exponent ist gleich, die Basis unterschiedlich, also muss der Exponent 0 sein.

Oder Logarithmus ziehen:

(x-3)ln(2) = (x-3)ln(3)

Spätestens nun sieht man es --> x=3

7. Löse die Exponentialgleichung \(8\cdot9^{x-3} + 4^{x-3} = 3^{2x-4}\)

8·9x-3 + 4x-3 = 32x-4

8·9x-3 + 4x-3 = 9x-2 | :9x-3

8+(\( \frac{4}{9} \))x-3 = 9x-2/9x-3

8+(\( \frac{4}{9} \))x-3 = 9 | -8

(\( \frac{4}{9} \))x-3=1

Das ist nur möglich, wenn der Exponent 0 ist:

x - 3 = 0

x = 3

8. Löse die Exponentialgleichung \(7^x\cdot5^{-x}-3^{1-x} = 0\)

7x·5-x-31-x=0 |+31-x

(7/5)x = 3/3x |·3x

(21/5)x = 3 |ln

x·ln(21/5) = ln(3)

x = ln(3)/ln(21/5) ≈ 0,766

9. Löse die Exponentialgleichung \(2^{2x} = 16^{3x+1}\)

22x = 163x+1 | 16 = 42

4x = (42)3x+1

4x = 46x+2 | Exponenten vergleichen

x = 6x+2

5x = -2 |:5

x = -2/5

10. Löse die Exponentialgleichung \( 3\cdot4^{x-3} + 5\cdot7^{x-3} = 2^{2x-4} \)

3·4x-3 + 5·7x-3 = 22x-4 |4x-3

3 + 5·7x-3 / 4x-3 = (22)x-2 / 4x-3 |Zweiter Summand mit an/bn = (a/b)n bearbeiten

3 + 5· (7/4)x-3 = 4x-2 / 4x-3 |Rechts Potenzgesetz

3 + 5·(7/4)x-3 = 4x-2 - (x-3)

3+5·(7/4)x-3 = 4 |-3, dann :5

(7/4)x-3 = 1/5 |log

(x-3)log(7/4) = log(1/5) |:log(7/4)

x-3 = log(1/5)/log(7/4) |+3

x = log(1/5)/log(7/4) + 3 ≈ 0,124


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