Test: Exponentialgleichungen

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1. Löse die Exponentialgleichung 2^(x²-1) = 2

2x^2-1 = 2

Vergleiche die Exponenten, beachte, dass 2 = 21

x2-1 = 1

x2 = 2

x = ±√2

2. Löse die Exponentialgleichung e^(2x²-8x+8) = 1

e ist die Eulersche Zahl 2,718...

e2x^2-8x+8 = e0, denn e^0 = 1

Vergleiche die Exponenten.

2x2-8x+8 = 0 |:2, dann pq-Formel oder binomische Formel erkennen

x1,2 = 2

3. Löse die Exponentialgleichung e^(2x³+x²+12x) = e^(x³-15x²-76x)

Es liegt die gleiche Basis vor, aber unterschiedliche Exponenten. Damit darf man direkt die Exponenten anschauen, denn diese müssen sich gleichen!

Direkt also die Exponenten verglichen:

2x3+x2+12x = x3-15x2-76x |-x3+15x2+76x

x3+16x2+88x = 0 |x ausklammern

x(x2+16x+88) = 0 |Faktorweise anschauen

x1 = 0

x2+16x+88 = 0 -> keine weiteren reellen Nullstellen (mittels pq-Formel).

4. Wenn bei einer Exponentialgleichung die gleiche Basis vorliegt, was darf dann getan werden?

Die Exponentialgleichung habe beispielsweise die Form: ca(x) = cb(x) und damit die gleiche Basis c.

ca(x) = cb(x) |log

log(ca(x)) = log(cb(x))

a(x)·log(c) = b(x)·log(c) |:log(c)

a(x) = b(x)


(Hinweis: Es ist irrelevant, welche Basis der Logarithmus besitzt)

5. Löse die Exponentialgleichung 3^(x+1) - 3^x = 12

3x+1 - 3x = 12 |mit an+m = an·am

3x·3 - 3x = 12

3x(3-1) = 12

2·3x = 12 |:2

3x = 6 |log

x·log(3) = log(6) |:log(3)

x = log(6)/log(3) ≈ 1,631

6. Löse die Exponentialgleichung \(3\cdot2^{x+3} = 64\cdot3^{x-2}\)

3*2x+3 = 64*3x-2 |:3 :26 (=64)

2x-3 = 3x-3

Man sieht die Lösung nun schon direkt -> Der Exponent ist gleich, die Basis unterschiedlich, also muss der Exponent 0 sein.

Oder Logarthmus ziehen:

(x-3)ln(2) = (x-3)ln(3)

Spätestens nun sieht man es --> x=3

7. Löse die Exponentialgleichung \(8\cdot9^{x-3} + 4^{x-3} = 3^{2x-4}\)

8·9x-3 + 4x-3 = 32x-4

8·9x-3 + 4x-3 = 9x-2 |:9x-3

8+(4/9)x-3 = 9x-2/9x-3

8+(4/9)x-3 = 9 |-8

(4/9)x-3=1

Das ist nur möglich, wenn der Exponent 0 ist:

x-3=0

x=3

8. Löse die Exponentialgleichung \(7^x\cdot5^{-x}-3^{1-x} = 0\)

7x·5-x-31-x=0 |+31-x

(7/5)x = 3/3x |·3x

(21/5)x = 3 |ln

x·ln(21/5) = ln(3)

x = ln(3)/ln(21/5) ≈ 0,766

9. Löse die Exponentialgleichung \(2^{2x} = 16^{3x+1}\)

22x = 163x+1 |16 = 42

4x = (42)3x+1

4x = 46x+2 |Exponenten vergleichen

x = 6x+2

5x = -2 |:5

x = -2/5

10. Löse die Exponentialgleichung \(3\cdot4^{x-3} + 5\cdot7^{x-3} = 2^{2x-4}\)

3·4x-3 + 5·7x-3 = 22x-4 |4x-3

3 + 5·7x-3 / 4x-3 = (22)x-2 / 4x-3 |Zweiter Summand mit an/bn = (a/b)n bearbeiten

3 + 5· (7/4)x-3 = 4x-2 / 4x-3 |Rechts Potenzgesetz

3 + 5·(7/4)x-3 = 4x-2 - (x-3)

3+5·(7/4)x-3 = 4 |-3, dann :5

(7/4)x-3 = 1/5 |log

(x-3)log(7/4) = log(1/5) |:log(7/4)

x-3 = log(1/5)/log(7/4) |+3

x = log(1/5)/log(7/4) + 3 ≈ 0,124

11. Löse die Exponentialgleichung \(3^{2x} - 2\cdot3^x + 1 = 0 \)

Es ist 32x = (3x)2. Ganz nach den Potenzgesetzen.

(3x)2 - 2·3x + 1 = 0 |Substitution 3^x = u

u2 - 2·u + 1 = 0 |pq-Formel (oder Mitternachtsformel). Oder auch binomische Formel

(u-1)2 = 0

--> u1,2 = 1 |Resubstituieren

3x = u = 1

Das sieht man sofort, hier muss x = 0 sein. Nur dann wird 3x zu 1.

12. Löse die Exponentialgleichung \(3^x = 9^{2x+1}\)

3x = (32)2x+1

3x = 34x+2 |Exponenten anschauen

x = 4x+2

3x = -2 |:3

x = -2/3

13. Löse die Exponentialgleichung \( e^x (\frac12 e^x -1) = 0 \)


Ein Produkt ist dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Zudem wird der erste Faktor ex nie 0.

Verbleibt:


1/2ex - 1 = 0 |+1

1/2ex = 1 |·2

ex = 2 |ln

x = ln(2)

14. Löse die Exponentialgleichung 8^(2x-4) : 8^(x-3) = 16

82x-4 : 8x-3 = 16 |ab/an = ab-n

82x-4 - x+3 = 16

8x-1 = 16 |8 = 23 und 16 = 24, zudem 8x-1 = (23)x-1 = 23(x-1)

23x-3 = 24 |Exponentenvergleich

3x-3 = 4

3x = 7

x = 7/3

15. Löse die Exponentialgleichung 5^(x+1) + 5^x = 58,14

5x+1+5x = 58,14

5x * 51+5x = 58,14

5x *(5+1) = 58,14

6*5x = 58,14 | ln anwenden

ln(6*5x) = ln(58,14)

ln(6)+ln(5x) = ln(58,14)

ln(5x) = ln(58,14) - ln(6)

x * ln(5) = ln(58,14) - ln(6)

x = [ ln(58,14) - ln(6) ] : ln(5)

x ≈ 1,4111

16. Löse die Exponentialgleichung 8^(2x+3) = 2^x

82x+3 = 2x

(23)2x+3 = 2x

26x+9 = 2x | Exponentenvergleich

6x + 9 = x

5x = -9

x = -9/5

17. Löse die Exponentialgleichung e^(2x) - 5e^x + 4 = 0

Substituiere e^x = u

u2-5u+4=0 |pq-Formel

u1=1 und u2=4

Nun noch resubstituiert:

x1=ln(1)=0

x2=ln(4)=1,386

18. Löse die Exponentialgleichung 2•3^(x+4) - 14•3^(x+1) = 2•5^(x+3) - 2•5^(x+2)

2·3x+4 - 14·3x+1 = 2·5x+3 - 2·5x+2

2·34·3x- 14·3·3x = 2·53·5x - 2·52·5^x

162·3x-42·3x=250·5x-50·5x

120·3x=200·5x |:40

3·3x=5·5x

3x+1=5x+1

Da unterschiedliche Basis, aber gleiche Exponent, muss dieser 0 sein. Erfüllt für x=-1.

19. Löse die Exponentialgleichung 5 • 2^(x+1) + 2 = 42 • 2^x

5*2x+1+2 = 42 * 2x |-2-42*2x

5*2x*2 - 42*2x = -2

2x( 10-42) = -2 |:(-32)

2x = -2/(-32) = 1/16 = 1/2^4 = 2^(-4)

Direkt ablesbar.

x = -4

20. Löse die Exponentialgleichung 4^x + 3•2^(2x-1) = 5^x

4x +3*22x-1 =5x

4x+3*4x/2=5x

4x(1+3/2)=5x

2,5*4x=5x |:4x

2,5=5x/4x

2,5=(5/4)x | Logarithmus

ln(2,5)=x*ln(5/4) |:ln(5/4)

ln(2,5)/ln(5/4)=x

x≈4,106

21. Welche Lösungsmethode eignet sich am Besten, wenn eine Exponentialgleichung der Form c·a^(2x) + d·a^x + b = 0 vorliegt?

Es kann a^x = u substituiert werden und man hat eine quadratische Gleichung vorliegen:

c·u^2 + d·u + b = 0

Resubstitution nicht vergessen!

22. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung a ^ x = e ^ (x * ln(a) / ln(e))

e ist die Eulersche Zahl.

ln ist der logarithmus naturalis

^ zeigt eine Potenz an

a ^ x = e ^ (x * ln(a) / ln(e))

e steht, wie im Fragetext erwähnt, für die Eulersche Zahl.

Der logarithmus naturalis (ln) aus der der Eulerschen Zahl hat den Wert 1, also -->

ln(e) = 1

Kann man in der Gleichung ersetzen -->

a ^ x = e ^ (x * ln(a) / 1)

Und das kann man weiter vereinfachen zu -->

a ^ x = e ^ (x * ln(a))

Anmerkung -->

Diese Formel ist dazu geeignet, die Potenz mit der Basis a in die entsprechende wertgleiche Potenz mit der Basis e umzurechnen.


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