Test: Exponentialgleichungen II

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1. Löse die Exponentialgleichung \(3^{2x} - 2 · 3^x + 1 = 0 \)

Es ist 32x = (3x)2. Ganz nach den Potenzgesetzen.

(3x)2 - 2·3x + 1 = 0 |Substitution 3^x = u

u2 - 2·u + 1 = 0 |pq-Formel (oder Mitternachtsformel). Oder auch binomische Formel

(u-1)2 = 0

--> u1,2 = 1 |Resubstituieren

3x = u = 1

Das sieht man sofort, hier muss x = 0 sein. Nur dann wird 3x zu 1.

2. Löse die Exponentialgleichung \(3^x = 9^{2x+1}\)

3x = (32)2x+1

3x = 34x+2 | Exponenten anschauen

x = 4x+2

3x = -2 | :3

x = -2/3

3. Löse die Exponentialgleichung \( e^x (\frac12 e^x -1) = 0 \)

Ein Produkt ist dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Zudem wird der erste Faktor ex nie 0.

Verbleibt:

\( \frac{1}{2}·e^x - 1 = 0 \) | +1

\( \frac{1}{2}·e^x = 1 \) | ·2

\( e^x = 2 \) | ln

x = ln(2)

4. Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x-4} : 8^{x-3} = 16 \)

82x-4 : 8x-3 = 16 |ab/an = ab-n

82x-4 - x+3 = 16

8x-1 = 16 |8 = 23 und 16 = 24, zudem 8x-1 = (23)x-1 = 23(x-1)

23x-3 = 24 |Exponentenvergleich

3x-3 = 4

3x = 7

x = 7/3

5. Löse die Exponentialgleichung \( 5^{x+1} + 5^x = 58,14 \)

5x+1+5x = 58,14

5x · 51+5x = 58,14

5x ·(5+1) = 58,14

6·5x = 58,14 | ln anwenden

ln(6·5x) = ln(58,14)

ln(6)+ln(5x) = ln(58,14)

ln(5x) = ln(58,14) - ln(6)

x · ln(5) = ln(58,14) - ln(6)

x = [ ln(58,14) - ln(6) ] : ln(5)

x ≈ 1,4111

6. Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x+3} = 2^x \)

82x+3 = 2x

(23)2x+3 = 2x

26x+9 = 2x | Exponentenvergleich

6x + 9 = x

5x = -9

x = -9/5

7. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x} - 5·e^x + 4 = 0 \)

Substituiere e^x = u

u2-5u+4=0 |pq-Formel

u1=1 und u2=4

Nun noch resubstituiert:

x1=ln(1)=0

x2=ln(4)=1,386

8. Löse die Exponentialgleichung \( 2·3^{x+4} - 14·3^{x+1} = 2·5^{x+3} - 2·5^{x+2} \)

2·3x+4 - 14·3x+1 = 2·5x+3 - 2·5x+2

2·34·3x- 14·3·3x = 2·53·5x - 2·52·5^x

162·3x-42·3x=250·5x-50·5x

120·3x=200·5x |:40

3·3x=5·5x

3x+1=5x+1

Da unterschiedliche Basis, aber gleiche Exponent, muss dieser 0 sein. Erfüllt für x=-1.

9. Löse die Exponentialgleichung \( 5 · 2^{x+1} + 2 = 42 · 2^x \)

5·2x+1+2 = 42 · 2x |-2-42·2x

5·2x·2 - 42·2x = -2

2x( 10-42) = -2 |:(-32)

2x = -2/(-32) = 1/16 = 1/2^4 = 2^(-4)

Direkt ablesbar.

x = -4

10. Löse die Exponentialgleichung \( 4^x + 3·2^{2x-1} = 5^x \)

4x +3·22x-1 =5x

4x+3·4x/2=5x

4x(1+3/2)=5x

2,5·4x=5x |:4x

2,5=5x/4x

2,5=(5/4)x | Logarithmus

ln(2,5)=x·ln(5/4) |:ln(5/4)

ln(2,5)/ln(5/4)=x

x≈4,106

11. Welche Lösungsmethode eignet sich am Besten, wenn eine Exponentialgleichung der Form \( c·a^{2x} + d·a^x + b = 0 \) vorliegt?

Es kann a^x = u substituiert werden und man hat eine quadratische Gleichung vorliegen:

c·u^2 + d·u + b = 0

Resubstitution nicht vergessen!

12. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung \( a^x = e^{x · \frac{ln(a)}{ln(e)}} \)

a^x = e^(x · ln(a) / ln(e))

e steht, wie im Fragetext erwähnt, für die Eulersche Zahl.

Der logarithmus naturalis (ln) aus der der Eulerschen Zahl hat den Wert 1, also:
ln(e) = 1

Kann man in der Gleichung ersetzen:
a^x = e^(x · ln(a) / 1)

Und das kann man weiter vereinfachen zu:
a^x = e^(x · ln(a))

Anmerkung: Diese Formel ist dazu geeignet, die Potenz mit der Basis a in die entsprechende wertgleiche Potenz mit der Basis e umzurechnen.


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