Test: Grenzwerte I

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1. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim_\limits{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x \)

Das ist mehr oder weniger eine Formel.

Im Studium lernt man auch eine Herleitung kennen:

lim (1+1/x)x = lim ex·ln(1+1/x) = lim eln(1+1/x)/(1/x) = l'H = lim e(-1/(x2+x)) / (-1/x2) = e1 = e

2. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim_\limits{x\to\infty} \left( \frac{\cosh(x)}{e^x} \right) \)

Tipp: \( \cosh(x) = \frac{1}{2} · e^x + e^{-x} \)

cosh(x) = \( \frac{1}{2} \) · (ex + e-x)

Das eingesetzt und es ergibt sich:

limx→ 1/2 · (ex + e-x) / ex = lim 1/2·1 + 1/2·1/e^(2x) = 1/2

Der erste Summand kürzt sich zu 1. Der letzte Summand ist irrelevant für x → ∞.

3. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim_\limits{x\to0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right) \)

lim sin(x)/x = l'H = lim cos(x)/1 = 1

4. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim_\limits{x\to\infty} \left( \frac{e^x}{x} \right) \)

lim ex/x = l'H = lim ex/1 = ∞

5. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x\to0} x·\ln(x) \)

lim x·ln(x) = ln(x)/(1/x) = l'H = lim (1/x)/(-1/x^2) = lim -x = 0

6. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \frac{x-a}{\sin(x-a)} \)

lim_x→a (x-a)/sin(x-a)

lim_x→a 1/cos(x-a)

lim_x→a 1/cos(x-a)

1/cos(0)

1/1 = 1


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