Test: Grenzwerte

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1. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→∞) (1+(1/x))^x

Das ist mehr oder weniger eine Formel.

Im Studium lernt man auch eine Herleitung kennen:

lim (1+1/x)x = lim ex*ln(1+1/x) = lim eln(1+1/x)/(1/x) = l'H = lim e(-1/(x2+x)) / (-1/x2) = e1 = e

2. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→∞) cosh(x)/e^x

Tipp: cosh(x) = 1/2 * (ex + e-x)

cosh(x) = 1/2 * (ex + e-x)

Das eingesetzt und es ergibt sich:

limx→ 1/2 * (ex + e-x) / ex = lim 1/2*1 + 1/2*1/e^(2x) = 1/2

Der erste Summand kürzt sich zu 1. Der letzte Summand ist irrelevant für x → ∞.

3. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→0) sin(x)/x

lim sin(x)/x = l'H = lim cos(x)/1 = 1

4. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→∞) e^x/x

lim ex/x = l'H = lim ex/1 = ∞

5. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→0) x·ln(x)

lim x·ln(x) = ln(x)/(1/x) = l'H = lim (1/x)/(-1/x^2) = lim -x = 0

6. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→a) (x-a)/sin(x-a)

lim_x->a (x-a)/sin(x-a)

lim_x->a 1/cos(x-a)

lim_x->a 1/cos(x-a)

1/cos(0)

1/1 = 1

7. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→∞) ln(23n^4-7n^2-7n+14)/ln(2n^5+18n-1)

Man betrachte im Numerus nur die höchste Potenz:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) } }$$

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(n^{ 4 }) }{ \ln(n^5) } } = \lim \frac{4\ln(n)}{5\ln(n)} = \frac45$$

Das ist legitim, da bei so großen n der Rest nur noch Kleinvieh ist

8. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→0) cos(1/x)

lim inf_x -->0 (cos(1/x)) = -1


lim sup_x -->0 (cos(1/x)) = +1


Da lim inf ≠ lim sup, so ist die Funktion divergent.

9. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→0) (3^x-2^x)/x

lim (x→0) (3x - 2x)/x |l'H

= lim (x→0) (ln3*3x - ln2*2x)/1 |jetzt für x die 0 einsetzen

= (ln3 *1 - ln2 * 1)/1 = ln3 - ln2 = ln(3/2)

10. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→∞) (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))

lim (ex - e-x)/(ex + e-x) = lim (1-e-2x)/(1+e-2x) = 1

11. Bestimme den Grenzwert: lim_(x→1) (x^3+x^2-x-1)/(x-1)

Polynomdivision führt auf den vereinfachten Ausdruck x^2+2x+1. Darauf den Limes angewandt und der Grenzwert wird als 4 ausgegeben.

12. Bestimme den Grenzwert: lim_(n→∞) ((n^2+3n^(4/3))^(1/3)-n^(2/3))

Hi,

"Dritte binomische Formel" in modifizierter Form. \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)


$$\lim \sqrt[3]{n^2+3n^{\frac43}} - n^{\frac23} $$

Nun wird mit "\(a^2+ab+b^2\)" erweitert. Dabei ist \(a = (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\) und \(b =n^{\frac23}\)

$$=\lim \frac{n^2+3n^{\frac43}-n^{2}}{(n^2+3n^{\frac43})^{\frac23} + (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\cdot n^{\frac23} + n^{\frac43}}$$

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{(n^2)^{\frac23} + (n^2)^{\frac13}\cdot n^{\frac23}+n^{\frac43}}$$

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{n^{\frac43} + n^{\frac43}+n^{\frac43}}$$

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{3n^{\frac43}} = 1$$


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