Test: Grenzwerte II

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1. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(23n^4-7n^2-7n+14)}{\ln(2n^5+18n-1)} \)

Man betrachte im Numerus nur die höchste Potenz:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) } }$$

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(n^{ 4 }) }{ \ln(n^5) } } = \lim \frac{4\ln(n)}{5\ln(n)} = \frac45$$

Das ist legitim, da bei so großen n der Rest nur noch Kleinvieh ist

2. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to 0} \cos(\frac{1}{x}) \)

lim inf_x → 0 (cos(1/x)) = -1

lim sup_x → 0 (cos(1/x)) = +1

Da lim inf ≠ lim sup, so ist die Funktion divergent.

3. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x\to0}{\frac{3^x-2^x}{x}} \)

lim (x→0) (3x - 2x)/x | l'H

= lim (x→0) (ln3·3x - ln2·2x)/1 |jetzt für x die 0 einsetzen

= (ln 3 ·1 - ln 2 · 1)/1 = ln 3 - ln 2 = ln(3/2)

4. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

lim (ex - e-x)/(ex + e-x) = lim (1-e-2x)/(1+e-2x) = 1

5. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{x\to1} \frac{x^3+x^2-x-1}{x-1} \)

Polynomdivision führt auf den vereinfachten Ausdruck x^2+2x+1. Darauf den Limes angewandt und der Grenzwert wird als 4 ausgegeben.

6. Bestimme den Grenzwert: \( \lim\limits_{n\to\infty} \left(n^2 + 3·n^\frac{4}{3} \right)^\frac{1}{3} - n^\frac{2}{3} \)

Dritte binomische Formel in modifizierter Form: \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)

$$\lim \sqrt[3]{n^2+3n^{\frac43}} - n^{\frac23} $$

Nun wird mit \(a^2+ab+b^2 \) erweitert. Dabei ist \(a = (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\) und \(b =n^{\frac23}\)

$$ = \lim \frac{n^2+3n^{\frac43}-n^{2}}{(n^2+3n^{\frac43})^{\frac23} + (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\cdot n^{\frac23} + n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{(n^2)^{\frac23} + (n^2)^{\frac13}\cdot n^{\frac23}+n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{n^{\frac43} + n^{\frac43}+n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{3n^{\frac43}} = 1 $$


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