Test: Kubische Gleichungen

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1. Welche der Antwortmöglichkeiten ist eine Lösung der Gleichung x^3-x^2-4x+4 = 0?

Wenn man x = 1 einsetzt, stellt man fest, dass die Gleichung erfüllt ist.

2. Markiere eine möglichst sinnvolle Möglichkeit, die Lösungen einer kubischen Gleichung zu ermitteln.

Der wohl sinnvollste Ansatz, der mit der Mitternachtsformel oder ähnlichem weitergeführt wird.

Kann keine Nullstelle erraten werden, bietet es sich eventuell an mit einem Näherungsverfahren zu arbeiten.

3. Wähle die Allgemeinform einer kubischen Gleichung aus.

4. Welches Verfahren eignet sich zur Findung einer Lösung einer kubischen Gleichung, wenn keine ganzzahlige Nullstelle gefunden wurde?

Lektion kubische Gleichungen

oder auch den Artikel Newton-Verfahren

5. Wie viel Lösungen kann eine kubische Gleichung maximal haben?

Der Grad einer kubischen Gleichung ist 3 und es kann nicht mehr als 3 Lösungen geben.
(x-x_(1))(x-x_(2))(x-x_(3)) = 0

Lektion kubische Gleichungen

6. Wie viel reelle Lösungen hat eine kubische Gleichung mindestens?

Für jede kubische Funktion findet ein Wechsel für das Verhalten im Unendlich bzw. minus Unendlichen statt. Dazu muss die x-Achse min. einmal überquert werden. Somit hat auch eine kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung.

7. Führe die Polynomdivision durch für x = 1.

Die kubische Gleichung laute x^3-6x^2+11x-6 = 0. Bekannt sei die Nullstelle x = 1. Führe nun eine Polynomdivision durch, um den Grad der Gleichung zu reduzieren.

(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6
-(x^3 - x^2)
——————————
- 5x^2 + 11x - 6
-(- 5x^2 + 5x)
————————
6x - 6
-(6x - 6)
————
0

Nutze auch den Rechner für Polynomdivision online.

8. Polynomdivision: (x^3-2x^2+4x-8):(x-2)

(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) : (x - 2) = x^2 + 4
-(x^3 - 2x^2)
—————————
4x - 8
-(4x - 8)
————
0

Zur Kontrolle nutze auch den Rechner zur Polynomdivision.

9. Führe die Polynomdivision durch: (4x^3 + 20x^2 - 176x + 240) : (x+10)

(4x^3 + 20x^2 - 176x + 240) : (x + 10) = 4x^2 - 20x + 24
-(4x^3 + 40x^2)
————————————
- 20x^2 - 176x + 240
-(- 20x^2 - 200x)
——————————
24x + 240
-(24x + 240)
——————
0

10. Bestimme die Nullstellen mittels Polynomdivision: 2x^3 - 12x^2 + 24x - 16 = 0

Erste Nullstelle raten: x_(1) = 2

(2x^3 - 12x^2 + 24x - 16) : (x - 2) = 2x^2 - 8x + 8
-(2x^3 - 4x^2)
———————————
- 8x^2 + 24x - 16
-(- 8x^2 + 16x)
—————————
8x - 16
-(8x - 16)
—————
0

Für den Rest 2 ausklammern und Binomische Formel erkennen:

2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2 = 0

--> x_(1,2,3) = 2


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