Test: Lineare Gleichungssysteme

Um diese Seite im vollen Umfang zu nutzen, musst du eingeloggt sein.

1. Welche Aussage zu den Linearen Gleichungssystemen ist falsch?

2. Um welches Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen handelt es sich?

1. Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf (falls nicht schon vorliegend).

2. Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.

3. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.

4. Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable.

3. Bestimme die Lösungsmenge des nachfolgenden Linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Additionsverfahrens.

$$ (1) \space 3x+4y=8$$

$$ (2) \space 5x-3y = \frac 54$$

4. Addiert man zu einer Zahl 9, dann erhält man das Dreifache der zweiten Zahl.

Löse die nachfolgende Textaufgabe mit Hilfe einer passenden Lösungsmethoden für Lineare Gleichungssysteme.

Addiert man zu einer Zahl 9, dann erhält man das Dreifache der zweiten Zahl. Addiert man zur zweiten Zahl 6, so erhält man das Vierfache der ersten Zahl. Welchen Zahlen sind das?

Erste Zahl sei x und zweite Zahl sei y

Addiert man zu x die Zahl 9, dann bekommt man das Dreifache von y:

$$⇒ (1) \space x+9=3y$$

Addiert man zu y die Zahl 6, dann bekommt man das Vierfache von x:

$$⇒(2) \space y+6=4x$$

Lösung des Linearen Gleichungssystems beispielsweise mit Hilfe des Einsetzverfahrens. Dazu stellen wir die 1. Gleichung nach x um:

$$⇒ (1*) \space x=3y-9$$

Und setzen dies in die 2. Gleichung ein:

$$⇒ y+6=4 \cdot(3y-9) ⇔y+6=12y-36 ⇔11y=42 ⇒y= \frac {42} {11}$$

Dies setzen wir in die Gleichung (1*) ein:

$$⇒ x=3 \cdot\frac {42} {11}-9=\frac {126} {11} - 9 = \frac {126-99} {11} = \frac {27} {11}$$

Die gesuchten Zahlen sind:

$$\frac {27} {11} \space und \space \frac {42} {11}$$

Hinweis: Ergebnisse können durch die Probe bestätigt werden.

5. Wie kann man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten neben den analytischen Methoden noch lösen?

Beide Gleichung nach jeweils einer Variablen in Abhängigkeit der zweiten Variablen auflösen.

Die so entstandenen Gleichungen im kartesischen Koordinatensystem einzeichnen.

Schneiden die beiden Geraden beispielsweise sich, liegt eine Lösung vor, nämlich die Koordinaten des Schnittpunktes.

Vergleiche hierzu auch das Wissen zu den linearen Gleichungssystemen.

6. Wie alt sind Opa und Enkelin?

Der Opa und die Enkelin sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war der Opa sechsmal so alt wie seine Enkelin. Wie alt sind Opa und Enkelin heute?

Das heutige Alter des Opas sei o.

Das heutige Alter der Enkelin sei e.

Es gilt laut Aufgabentext:

$$ (1) \space o + e = 78$$

Vor 4 Jahren (heutiges Alter minus 4) galt: $$(2) \space o-4 = 6 \cdot (e-4)$$

Aus (1) folgt beispielsweise:

$$ (1*) \space e = 78-o$$

Dies setzen wir in Gl. (2) ein:

$$ o-4 = 6 \cdot (78-o-4) \\ o-4 = 6 \cdot (74-o) \\ o-4 = 444-6 \cdot o \\ 7 \cdot o = 448 \\ o = 64 $$

Aus (1·) folgt:

$$ e = 78 - 64= 14$$

Der Opa ist 64 und die Enkelin ist 14 Jahre alt.

7. Löse das Lineare Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren x=1/2·y+2 und x=-2·y+9/2

$$ (1) \space x = \frac 12 y +2 \\ (2) \space x = -2 y + \frac 92 $$

Da in beiden Gleichungen bereits nach ein und derselben Unbekannten (hier: x) aufgelöst wurde, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an:

$$ ⇒\frac 12 y+2 = -2y+\frac92$$

Multipliziert mit 2:

$$ y+4 = -4y+9$$

$$y = 1$$

Dies in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen, ergibt:

$$x = \frac 12 \cdot 1 + 2 = \frac {1+4} {2} = \frac 52$$

Probe bestätigt die Richtigkeit des Lösungsergebnisses.

8. Stelle gemäß Text das Linearen Gleichungsystems auf: Relikt aus der Antike

Ein ausgegrabenes Relikt aus der Antike wurde gewogen und auf die Bestandteile hin untersucht. Demnach wiegt es 5 kg und besteht aus den Materialien Gold, Silber, Kupfer und Zinn. Zudem ergeben Gold und Silber \( \frac{1}{10} \) der Masse, Gold und Kupfer \( \frac{2}{5} \) und Gold und Zinn \( \frac{3}{5} \).

Alle Metalle im Relikt wiegen zusammen 5 kg

$$⇒ g+s+k+z = 5$$

Gold und Silber sind mit einem Anteil von 1/10 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Silber = (1/10) *5 kg = (1/2) kg

$$⇒ g+s = \frac 12$$

Gold und Kupfer sind mit einem Anteil von 2/5 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Kupfer = (2/5) *5 kg = 2 kg

$$⇒ g+k = 2$$

Gold und Zinn sind mit einem Anteil von 2/5 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Zinn = (3/5) *5 kg = 3 kg

$$⇒ g+k = 3$$

9. Mit welchem mathematischen Schritt ändert sich beim Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge?

Ein Vertauschen der Spalten ist keine Äquivalenzumformung und führt dazu, dass die Lösungsmenge sich verändert.

10. Wie viele Lösungen hat das Lineare Gleichungssystem mit 3 Unbekannten?

$$ 2x-3y-z=4 \\ x+2y+3z=1 \\ 3x-8y-5z=5 $$

Tipp: Gauß-Algorithmus

Beim Gauß-Verfahren ist es das Ziel, eine sogenannte Dreiecksform (Nullen unterhalt der Halbdiagonale) zu generieren. Zur Vereinfachung lässt man die Unbekannten x,y und z weg und konzentriert sich nur auf die Koeffizienten.

1. Schritt: Vertauschen der Gleichungen 2 und 1

1 2 3 | 1

2 -3 -1 | 4

3 -8 -5 | 5

2. Schritt: Zeilen 2 und 3 vorne "Nullmachen"

2.1. Multiplizieren der 1. Zeile mit -2 und anschließend addieren mit der 1. Zeile.

1 2 3 | 1

0 -7 -7 | 2

3 -8 -5 | 5

2.2. Schritt: Multiplizieren der 1. Zeile mit -3 und anschließend addieren mit der 1. Zeile.

1 2 3 | 1

0 -7 -7 | 2

0 -14 -14 | 2

3. Schritt: 3. Zeile in der 2. Spalte "Nullmachen"

3.1. 2. Zeile mit -2 multiplizieren und mit der 3. Zeile addieren

1 2 3 | 1

0 -7 -7 | 2

0 0 0 | -2

⇒ 0 = -2 ist ein Widerspruch ⇒ Es kann keine Lösung vorliegen.

11. Bei einem Dreieck ist der Winkel (α) 12° größer als der Winkel (γ) und 30° kleiner als der Winkel (β). Berechne alle Winkel im Dreieck.

Tipp: Gesetzmäßigkeiten im Dreieck in Bezug auf die Innenwinkelsumme und Anwendung der Lösungsmethoden für Lineare Gleichungssysteme.

Aus dem Text ist ableitbar:

(1) α = γ + 12°

(2) α = β - 30°

Zudem gilt in jedem Dreieck:

(3) α + β + γ = 180°

Lösung:

Gleichungen (1) und (2) gleichsetzen:

γ + 12° = β - 30° ⇒ β = γ + 42°

Dies und Gl. (1) in Gl. (3) ergibt:

⇒ γ + 12° + γ + 42° + γ = 180° ⇔ 3*γ +54° = 180 ° ⇒ γ = 42°

Aus Gl. (1) folgt sodann α = 42° + 12° = 54°

Mit β = γ + 42° folgt β = 42° + 42° = 84°

⇒ α = 54°, β = 84° und γ = 42°

12. Wie viele Schafe gibt es derzeit auf dem Bauernhof?

Herr Kramer hat Schafe und Hühner auf seinem Hof. Eines Mittags geht er über den Hof und zählt insgesamt 40 Augen und 64 Beine. Wie viele Schafe gibt es derzeit auf dem Bauernhof?

x sei die Anzahl der Schafe. y die Anzahl der Hühner

Vorarbeit:
Wir haben 20 Tiere (40 Augen = 20 Augenpaare = 20 Tiere)

x + y = 20

4x + 2y = 64

→ x = 12 und y = 8


  Schreib uns deine Hinweise

Made with ❤ by Matheretter.de