Lerncheck: Potenzen I

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1. Berechne den Termin \( (4+4)·4^4 \).

Versuche, die Aufgabe mit den 2er Potenzen zu lösen.

Mit Hilfe der 2er-Potenzen:

$$ (4+4)·4^4 = \\ 8 · 4^4 = \\ 2^3 · (2^2)^4 = \\ 2^3 · 2^{2·4} = \\ 2^3 · 2^8 = \\ 2^{3+8} = \\ 2^{11} = \\ 2048 $$

Siehe auch Lektion Potenzen.

2. Rechne diese Potenzen vorteilhaft zusammen: \( 3^4 ·9^4 \). Welchen vereinfachten Term erhältst du?

$$ 3^4 · 9^4 = 3^4 · (3^2)^4 = 3^4 · 3^(2·4) = 3^4 · 3^8 =3^{4+8} = 3^{12} $$

3. Welcher Vergleich zwischen \( 2^4 \) und \( 4^2 \) ist richtig?

2^4 = 4^2

2^{2·2} = 4^2

(2^2)^2 = 4^2

(4)^2 = 4^2

4^2 = 4^2

Siehe Potenzregeln hier.

4. Berechne \( \frac{2,4·10^3}{7,5·10^2} \) vorteilhaft.

Das Ergebnis soll wieder ein Bruch sein, soweit wie möglich gekürzt.

5. Vereinfache folgende Division mit Potenzen: \( c^{-2} · d^6 · e^{-9} : ( c^2 · d^{-8} · e^{-1} ) \)

Gib das Ergebnis ohne Division bzw. ohne Bruchstrich an.

6. Berechne folgende Division mit Potenzen: \( -10^{-6} · 10^{-10} : (2^{-20} · 5^{-24} · 2^{-4}) \)

Gib das Ergebnis ohne Bruchstrich an.

-10^(-6) · 10^(-10) : ( 2^(-20) · 5^(-24) · 2^(-4) ) =

-10^(-6 - 10) : ( 2^(-20) · 2^(-4) · 5^(-24) ) =

-10^(-6 - 10) : ( 2^(-24) · 5^(-24) ) =

-10^(-16) : ( (2·5)^(-24) ) =

-10^(-16) : ( 10^(-24) ) =

-10^(-16 + 24) =

-10^8

7. Was ist \( 3^5 · 9^2 \)? Rechne im Kopf!

3^5 · 9^2 = 3^5 · (3^2)^2 = 3^5 · 3^(2·2) = 3^5 · 3^4 = 3^(5+4) = 3^9

Solltest du die Potenzrechenregeln noch nicht kennen, schau dir die Regeln hier an.

8. Was ergibt \( 12^0 + 12^1 + 1^{-1} \)?

Die Berechnung ist ohne Taschenrechner durchzuführen, wende die Potenzregeln an.

$$ 12^0 + 12^1 + 1^{-1} = \\ 1 + 12 + \frac{1}{1} = \\ 1 + 12 + 1 = 14 $$

Schau dir auch die Potenzregeln an.

9. Was ist die Potenz \( 0^0 \)?

Tipp: \( 0^0 = 0^{n-n} \)

\( 0^0 = 0^{n-n} = \frac{0^n}{0^n} = \frac{0}{0}. \) Und 0/0 ist undefiniert.

Weitere Informationen zum Thema: Darf man auch Null hoch Null schreiben?

Anmerkung: In der Informatik wird meist mit \( 0^0 = 1 \) gerechnet.

10. Was bezeichnet \( x^{\frac{1}{n}} \)? Wobei n ∈ ℕ \ {0}.

Für die Null geht das nicht, da 1/0 undefiniert ist.

Potenzen lassen sich in Wurzeln umwandeln: $$ { x }^{ \frac { a }{ b } } = \sqrt [ b ]{ x^a } $$

Siehe auch: /w/wurzel


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