12-2 Test: Rechtwinklige Dreiecke bestimmen

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1. Gilt der Satz des Pythagoras mit a² + b² = c² (wobei a und b Katheten sind und c die Hypotenuse) für alle Dreiecke?

Die Formel gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wenn das Dreieck keinen rechten Winkel hat, so ist a² + b² ≠ c².

2. Das Dreieck mit den Seitenlängen 3 m, 7 m und 9 m ist …

Probe mit dem Satz des Pythagoras ergibt:
a² + b² = c²
(3 m)² + (7 m)² = (9 m)²
9 m² + 49 m² ≠ 81 m²
58 m² ≠ 81 m²

Die Formel geht nicht auf, das heißt es handelt sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck. Stattdessen erkennen wir, dass a² + b² < c² sind, daher handelt es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck.

Siehe auch Dreiecksrechner.

3. Das Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 12 cm und 5 cm ist …

Probe mit dem Satz des Pythagoras ergibt:
a² + b² = c²
(5 cm)² + (12 cm)² = (13 cm)²
25 cm² + 144 cm² = 169 cm²
169 cm² ≠ 169 cm²

Die Formel geht auf, die Gleichung stimmt. Das heißt, es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Siehe auch Dreiecksrechner.

4. Das Dreieck mit den Seitenlängen 7,5 cm, 2 cm und 5,5 cm ist …

Probe mit dem Satz des Pythagoras ergibt:
a² + b² = c²
(2 cm)² + (5,5 cm)² = (7,5 cm)²
4 cm² + 30,25 cm² = 56,25 cm²
34,25 cm² ≠ 56,25 cm²

Es kann sich also nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handeln.

Zudem erkennen wir, dass die Seiten 2 cm und 5,5 cm in Summe 7,5 cm lang sind, so wie die längste Seite. Aus diesem Grund lässt sich das Dreieck nicht erstellen.

Siehe auch Dreiecksrechner.

5. Ist das abgebildete Dreieck rechtwinklig?

Auch wenn das Dreieck rechtwinklig aussieht, haben wir keinen Nachweis, dass der Satz des Pythagoras mit t² + x² = y² wirklich aufgeht. Hätten wir Werte für die Seiten, dann könnten wir dies nachrechnen.

6. Mit welcher Formel könntest du am folgenden Dreieck prüfen, ob es rechtwinklig ist?

Für den Nachweis müssen wir die Dreiecksseiten nutzen, das sind die Katheten x und y sowie die Hypotenuse z. Demnach muss gelten: z² = x² + y².

z ergibt sich aus q+p, demnach können wir z² = x² + y² umschreiben zu (q + p)² = x² + y².


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