Test: Quader

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1. Nur eine Kantenlänge eines Quaders wird auf ein Drittel seiner ursprünglichen Länge reduziert. Wie ändert sich sein Volumen?

Volumen des ursprünglichen Quaders: $$ {V}_{alt} = a \cdot b \cdot c $$

Nun reduziert sich eine Seite auf 1/3 und man kann für das Volumen des neuen Quaders schreiben:

$$ {V}_{neu} = \frac {a} {3} \cdot b \cdot c $$ oder $$ {V}_{neu} = a \cdot \frac {b} {3} \cdot c $$ oder $$ {V}_{neu} = a \cdot b \cdot \frac {c} {3} $$

Den Faktor "1/3" kann man aus den obigen drei Gleichungen jeweils ausklammern und erhält

$$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} \cdot a \cdot b \cdot c $$

und somit $$ {V}_{neu} = \frac {1} {3} \cdot {V}_{alt} $$

Das Volumen reduziert sich auf ein Drittel des ursprünglichen Volumens.

2. Ein Quader ist dreimal so lang wie hoch und doppelt so breit wie hoch. Seine Oberfläche ist 352 m² groß. Welches Volumen hat dieser Quader?

Ein Quader ist dreimal so lang wie hoch und doppelt so breit wie hoch. Seine Oberfläche ist 352 m² groß. Welches Volumen hat dieser Quader?

Sei die Höhe h = x, dann sind

Länge l = 3*x und Breite b = 2*x

Oberfläche des hier betrachteten Quaders:

$$ O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) $$

Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt

$$ 352 \space {m}^{2} = 2 \cdot (3x \cdot 2x + 3x \cdot x + 2x \cdot x) $$

$$ 352 \space {m}^{2} = 2 \cdot 11x^2 $$

$$ 352 \space {m}^{2} = 22x^2 $$

$$ x = 4 \space m $$

Das Volumen des hier betrachteten Quaders ist

$$ V = l \cdot b \cdot h $$

Einsetzen der obigen Terme für l, b und h ergibt

$$ V = 3x \cdot 2x \cdot x = 6x^3 $$

Mit x = 4 m folgt

$$ V = 6 \cdot 4^3 \space m^3 $$

$$ V = 384 \space m^3 $$

3. Berechne die Anzahl der Würfel, die aus dem vorgegebenen und anschließend bearbeiteten Quader enstehen.

image

Der vorliegende Quader mit quadratischem Querschnitt (20 cm x 20 cm) und einer Länge von 1 m wird in Höhe und Breite halbiert. Die Teile des Quaders werden so zersägt, dass Würfel entstehen. Wie viele Würfel erhält man aus dem ursprünglichen Quader ?

$$ {V}_{Quader} = Grundfläche \cdot Höhe $$

$$ {V}_{Quader} = (0,2 \space m \cdot 0,2 \space m) \cdot 1 \space m = 0,04 \space m^3 $$

Durch das Aussägen bekommt man Würfel mit der Kantenlänge a von 0,1 m

$$ {V}_{Würfel} = a^3 = (0,1 \space m)^3 = 0,001\space m^3 $$

$$ Anzahl \space der \space Würfel = \frac = \frac {0,04 \space m^3} {0,001\space m^3} = 40 $$

4. Zwei Würfel mit einer Kantenlänge von 5 cm werden zu einem Quader zusammengefügt. Berechne Volumen und Oberfläche des Quaders.

$$ {V}_{Quader} = a \cdot b \cdot c $$

$$ {O}_{Quader} = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c +b \cdot c) $$

Da zwei Würfel der Kantenlänge mit 5 cm aneinander gelegt wurden, entsteht ein Quader, bei dem die Grundseite a verdoppelt wurde aber die übrigen Seiten genau so lang wie die Kantenlänge des Würfels sind.

a = 10 cm

b = c = 5 cm

$$ {V}_{Quader} = 10 \space cm \cdot 5 \space cm \cdot 5 \space cm = 250 \space cm^3 $$

$$ {O}_{Quader} = 2 \cdot (10 \space cm \cdot 5 \space cm + 10 \space cm \cdot 5 \space cm + 5 \space cm \cdot 5 \space cm) = 250 \space cm^2 $$

5. Um welchen Betrag unterscheidet sich bei einem Quader die Oberfläche von der Mantelfläche?

Die Oberfläche eines Quaders mit den Grundseiten a und b berechnet sich

$$ O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c +a \cdot c) $$

Die Mantelfläche eines Quaders mit den Grundseiten a und b berechnet sich

$$ M = 2 \cdot (b \cdot c +a \cdot c) $$

$$ O - M= 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c +a \cdot c) - 2 \cdot (b \cdot c +a \cdot c) = 2 \cdot a \cdot b $$

$$ Grundfläche = a \cdot b $$

Daraus folgt, dass die Oberfläche sich von der Mantelfläche um den Betrag der doppelten Grundfläche unterscheidet.

6. Wieviele Diagonalen hat ein Quader insgesamt? Berücksichtige auch Flächen- und Raumdiagonalen.

12 Diagonalen in den Außenflächen und 4 Raumdiagonale.

Vgl. auch https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/quader/

7. Wieviele Kanten hat ein Quader?

Zähle die Kanten in der 3D-Darstellung hier: https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/quader/

4 blaue + 4 rote + 4 grüne = 12 Kanten (bzw. 12 Seiten)

8. Welche Aussage trifft für einen Quader nicht zu?

Gegenüberliegende Flächen sind immer parallel, genau wie die gegenüberliegenden Kanten.

Siehe auch https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/quader/

9. Welche Flächen des Quaders bilden die Mantelfäche?

Vergleiche Abbildungen unter https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/quader/

10. Wieviele Ecken hat ein Quader?


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