Test: Quadratische Gleichungen II

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1. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 2·(2·x² - 5) + 12 = 3x² - 1.

2·(2x² - 5) + 12 = 3·x² - 1

4x² - 10 + 12 = 3x² - 1 | -3x² +1

x² + 3 = 0

x² = -3

Der Linksterm kann nie negativ werden. Es gibt daher keine reelle Lösung.

2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 65 cm lang, der Umfang beträgt 150 cm. Wie lang ist jede der beiden Katheten?

Gegeben: a + b = 85

a2 + b2 = 652

Erste Gleichung nach a auflösen: a = 85-b.

In die zweite Gleichung einsetzen:

(85-b)2+b2 = 652 |Binom auflösen

852 - 2*85b + b2 + b2 = 652 |-652

2b2 - 170b + 852-652 = 0 |852-652 = 3000 |:2

b2 - 85b + 1500 = 0 |pq-Formel

b1= 25 und b2= 60

Wenn man die beiden Lösungen in die Gleichung 1 einsetzt (a+b=85) merkt man sofort, dass nur die Konstellation:

a=25 und b=60

oder

a=60 und b=25

möglich sind.

3. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 4·x² - 3x = 0.

4x²-3x = 0

x·(4x-3) = 0

Also x1 = 0

4x-3 = 0 |+3

4x = 3 |:4

x2 = 0,75

x1 = 0,75; x2 = 0

4. Das Produkt aus einer Zahl und der um 17 kleineren Zahl ist Null. Gib das Ergebnis in Allgemeinform an.

x(x-17) wäre wohl der Ausdruck, welchen man direkt erhalten würde. x^2-17x ist aber die Normalform, wie gefordert.

5. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung x·(12x - 2) + 10 = 3·(5 - 2x) unter Verwendung der pq-Formel.

Nutzer der abc-Formel sind herzlich willkommen, auch diese zu nutzen.

12x² - 2x + 10 = 15 - 6x | -15+6x

12x² + 4x - 5 = 0 | :12

x² + 1/3·x - 5/12 = 0 | pq-Formel

x1 = -5/6

x2 = 1/2

6. In welcher Höhe befindet sich die Knickstelle?

Ein 10 m hoher Mast wurde vom Sturm geknickt. Die Spitze berührt den Erdboden 5 m vom Fußpunkt des Mastes entfernt. In welcher Höhe befindet sich die Knickstelle?

Die Gleichung am einfachsten mit einem Schaubild aufgestellt:

dreieck knickstelle mast

Satz des Pythagoras: x2+52 = (10−x)2

Diese gelöst: x = 3,75

7. Löse die quadratische Gleichung: 2x² - 8x + 10 = 4.

2·x² + (-8)·x + 6 = 0 | :2

2·x²:2 + (-8)·x:2 + 6:2 = 0

1·x² + (-4)·x + 3 = 0

p = -4 und q = 3

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-42) ± √((-42)² - 3)

x1,2 = 2 ± √1

Lösungen:

x1 = 2 + 1 = 3

x2 = 2 - 1 = 1

8. Löse die quadratische Gleichung: 1,8·x² + (-7,4)·x + 4,8 = 4

1,8·x² + (-7,4)·x + 0,8 = 0 | :1,8

1,8·x²:1,8 + (-7,4)·x:1,8 + 0,8:1,8 = 0

1·x² + (-4,11111)·x + 0,44444 = 0

p = -4,11111 und q = 0,44444

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-4,111112) ± √((-4,111112)² - 0,44444)

x1,2 = 2,05555 ± √3,78087

Lösungen:

x1 = 2,05555 + 1,94445 = 4

x2 = 2,05555 - 1,94445 = 0,1111

9. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 3·x² + -2·x + -7 = 1

Berechnung der Normalform:

3·x² + (-2)·x + (-8) = 0 | :3

3·x²:3 + (-2)·x:3 + (-8):3 = 0

1·x² + (-0,66667)·x + (-2,66667) = 0

p = -0,66667 und q = -2,66667

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-0,666672) ± √((-0,666672)² - (-2,66667))

x1,2 = 0,33333 ± √2,77778

Lösungen:

x1 = 0,33333 + 1,66667 = 2

x2 = 0,33333 - 1,66667 = -1,33334

10. Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: -x² + 3·x + 4 = 0

Berechnung der Normalform:

(-1)·x² + 3·x + 4 = 0 | :(-1)

(-1)·x²:(-1) + 3·x:(-1) + 4:(-1) = 0

1·x² + (-3)·x + (-4) = 0

p = -3 und q = -4

Lösung mit p-q-Formel:

x1,2 = -(p2) ± √((p2)² - q)

x1,2 = -(-32) ± √((-32)² - (-4))

x1,2 = 1,5 ± √6,25

Lösungen:

x1 = 1,5 + 2,5 = 4

x2 = 1,5 - 2,5 = -1


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