Test: Sinussatz

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1. Was besagt der Sinussatz?

$$ \frac {a} {sin(α)} = \frac {b} {sin(β)} = \frac {c} {sin(γ)} $$

2. Berechne die fehlenden Seiten b und c im Dreieck mit Hilfe des Sinusatzes. Gegeben sind a = 5 cm und α = β = 45°.

dreieck allgemein

Berechnung für Seite b:

Gemäß Sinussatz gilt hier:

$$ \frac {a} {sin(α)} = \frac {b} {sin(β)} $$

Nach b aufgelöst

$$ b = sin(β) \cdot \frac {a} {sin(α)} $$

Da α = β ist und deren Sinuswerte gleich sind, folgt

b = a

b = 5 cm

Berechnung für Seite c:

Mit dem Innenwinkelsummensatz lässt sich Winkel γ bestimmen:

α + β + γ = 180°
45° + 45° + γ = 180°
γ = 180° - 45° - 45°
γ = 90°.

Es handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem wir auch den Satz des Pythagoras anwenden könnten. Nun jedoch per Sinussatz:

$$ \frac {a} {sin(α)} = \frac {c} {sin(γ)} \\ \frac {5 cm} {sin(45°)} = \frac {c} {sin(90°)} \\ c = \frac {5 cm} {sin(45°)} \cdot \sin(90°) \\ c ≈ 7,0711 cm $$

Berechnungen siehe auch Sinussatz-Programm.

3. Berechne den gesuchten Winkel γ mit Hilfe des Sinussatzes. Gegeben sind a = 5 cm, c = 3 cm und α = 30°.

dreieck allgemein

Nach dem Sinussatz gilt hier:

$$ \frac {a} {sin(α)} = \frac {c} {sin(γ)} $$

Nach dem Term sin(γ) umgestellt, ergibt

$$ sin(γ) = c\cdot \frac {sin(α)} {a} $$

Daraus ergibt sich der Winkel γ

$$ γ = arcsin(c\cdot \frac {sin(α)} {a}) $$

$$ γ = arcsin((3 cm)\cdot \frac {sin(60°)} {5 cm}) $$

$$ γ = arcsin(3 \cdot \frac {0,5} {5}) $$

$$ γ = arcsin (\frac {3} {10}) $$

γ ≈ 17,5°


Siehe auch Lösung im Sinussatz-Programm.

4. Berechne die gesuchte Seite b mit Hilfe des Sinussatzes. Gegeben sind a = 8 m, β = 75° und γ = 30°.

dreieck allgemein

Nach dem Sinussatz gilt:

$$ \frac {a} {sin(α)} = \frac {b} {sin(β)} $$

Der Winkel β ist nicht gegeben, dafür der dritte Winkel im Dreieck namens γ.

Da die Innensumme aller Winkel im Dreieck 180° beträgt, kann man den Winkel α wie folgt berechnen:

α = 180° - β - γ = 180° - 75° - 30° = 75°

Da die Winkel α und β gleich groß sind, sind auch ihre Sinuswerte gleich groß.

Daraus folgt aus dem obigen Sinussatz a = b

→ b = 8 m

Siehe auch Sinussatz-Programm.

5. Wann ist der Sinussatz in einem Dreieck unter anderem anwendbar?

6. Geometrische Bedeutung des Sinussatzes?

Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck die drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind.

Hat dies eine geometrischen Bedeutung?

Unten ist das Dreieck ABC mit Umkreis, Radius r und Mittelpunkt M abgebildet. Die Dreiecksseite a ist eine Sehne des Umkreises, der Winkel α ist Umfangswinkel zur Sehne a. Alle Umfangswinkel zur Sehne a sind nach dem Umfangswinkelsatz gleich (auf der selben Seite des Kreises), also auch der rechte Winkel bei Punkt B. In diesem Fall verläuft die Strecke A'C durch den Mittelpunkt M des Umkreises (Satz des Thales) und es ist Strecke |A'C| = 2·r.

Im rechtwinkligen Dreieck A'BC gilt dann: sin(α) = a/(2·r)

und das kann man umstellen zu: a/sin(α) = 2·r

sinussatz geometrische bedeutung

Link zur interaktiven Zeichnung (Geozeichner)

7. Bestimme die in der Skizze mit einer Linie dargestellte Breite des Flusses

Bestimme die in der folgenden Skizze mit einer Linie dargestellte Breite des Flusses, wenn folgende Daten vorliegen.

Strecke BC = 100 m

Winkel ABC = 100 °

Winkel BCA = 20 °

skizze fluss

Sei die Flussbreite b.

Zunächst bestimmen wir den dritten noch unbekanten Winkel CAB

$$ 180° = 100° + 20° +\angle CAB$$

$$ \angle CAB = 60°$$

Sinussatz:

$$ \frac {b} {sin(20°)} = \frac {\overline {BC}} {sin(60°)}$$

$$ b = sin(20°) \frac {\overline {BC}} {sin(60°)}$$

$$ b = sin(20°) \frac {100 \space m} {sin(60°)}$$

$$ b ≈ 39,5 m$$

8. Bestimme die Länge des Tunnels anhand der Skizze.

Um die Länge des geplanten Tunnels durch den Berg zu ermitteln, wurden vom Punkt C die Entfernung zum Punkt A und die Winkel α sowie γ vermessen:

a = 3 km, α = 30° und γ = 50°

skizze tunnel berg

Laut Sinussatz

$$ \frac c {sin(γ)}= \frac a {sin(α)} $$

$$ c = sin(γ)\frac a {sin(α)} $$

$$ c = sin(50°)\frac {3 \space km} {sin(30°)} $$

$$ c≈4,6 \space km$$

9. Berechne die Höhe des Turmes anhand der Messdaten aus der beigefügten Skizze.

skizze turm höhe

Winkelsumme im Dreieck ist 180°

⇒ Dritter Winkel (sei γ) im Dreieck ABC: γ = 180° - 49° - 71° = 60°

Sinussatz für das Dreieck ABC mit dem Ziel, die Strecke AC zu ermitteln

$$ \frac {\overline{AC}} {sin(49°)} = \frac {\overline{AB}} {sin(60°)}$$

$$ \overline{AC} = {sin(49°)} \frac {\overline{AB}} {sin(60°)}$$

$$ \overline{AC} = {sin(49°)} \frac {100\space m} {sin(60°)}$$

$$ \overline{AC} = 87,15\space m$$

Winkelfunktion Tangens (= Gegenkathete durch Ankathete) für das Dreieck ACS

$$ tan(15°)= \frac {h} {\overline{AC}} $$

$$ h = \overline{AC}\cdot tan(15°)$$

$$ h = 87,14\space m\cdot tan(15°)$$

$$ h = 23,36 \space m$$

10. Für welche Dreiecke kann man den Sinussatz anwenden?

Hinweis: Es handelt sich um ebene Dreiecke.

Siehe Lektion Sinussatz + Kosinussatz

11. Man hat eine Seite und zwei Winkel eines Dreiecks gegeben. Welcher Satz führt zur Berechnung der Seite?


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