Lerncheck: Kosinussatz

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1. Welche der folgenden Antworten ist ein Spezialfall des Kosinussatzes?

Für cos(90°) = 0 liegt der Pythagoras vor:

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ) | mit y = 90°

c² = a² + b²

2. Wie lautet der Kosinussatz?

3. Sind drei Seiten eines Dreiecks gegeben und man ist an den Winkeln interessiert, welcher Satz eignet sich dann am Besten?

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)

Wie man sieht, sind alle Variablen, bis auf den Winkel y bekannt. Der Kosinussatz ermöglicht also die Bestimmung der unbekannten Winkel.

4. Man hat zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel eines Dreiecks gegeben. Welcher Satz führt zur Berechnung der fehlenden Seite?

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)

Es sind drei Variablen bekannt, nur die vierte ist unbekannt und damit zu berechnen (hier im Beispiel c unbekannt, da y zwischen a und b liegt).

5. Wenn drei Winkel eines Dreiecks gegeben sind, kann man dann mithilfe des Kosinussatzes die Seiten berechnen?

Wenn keine Seitenlänge bekannt ist, sondern nur die Winkel, kann keine Aussage über die Seiten getroffen werden. Diese können a = 10 cm, b = 20 cm, c = 30 cm oder aber auch a = 1000 cm, b = 2000 cm und c = 3000 cm lang sein und trotzdem die gleichen Winkel besitzen.

6. Welche der folgenden Formeln ist nicht Bestandteil des Kosinussatzes?

Der Fehler liegt am Winkel im Kosinus. Hier müsste Richtigerweise ein β stehen.

7. Für was steht der Kosinussatz in einem Dreieck?

Bereits gut an der Formel zu sehen:

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)

8. Bestimme β, wenn von einem Dreieck die Seiten a = 4 cm, b = 2 cm und c = 3,7 cm bekannt sind.

Aus

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(\beta) $$

ergibt sich

$$ β = \cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \approx 29,8° $$

9. Berechne die Länge der fehlenden Seite a. Gegeben sind: b = 6,7 cm, c = 5,9 cm und α = 63,5°.

Hier bietet sich der Kosinussatz an. Man kann direkt die fehlende Seite berechnen:

a²=b²+c²-2bc*cos(α)

Einsetzen und Wurzel ziehen:

a = 6,67 cm

10. Ist das Dreieck rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig? Die gegebenen Angaben sind: a = 4 cm, b = 3 cm und c = 2 cm.

ein Dreieck ist rechwinklig, wenn eine Ecke einen rechten Winkel hat.

ein Dreieck ist spitzwinklig, wenn alle Winkel <90° sind.

ein Dreieck ist stumpf, wenn ein Winkel >90° ist.

Der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite.

Nehmen wir also

α = arccos(b²+c²-a²)/(2bc)

(nach dem Kosinussatz)

α = 104,48°

→ Stumpfwinkliges Dreieck


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