Test: Ungleichungen

Um diese Seite nutzen zu können, musst du eingeloggt sein. – Neu hier? Dann registriere dich.

1. Was passiert, wenn man eine Ungleichung mit einem negativem Wert multipliziert?

Beispiel: 5x + 2 < 3 | · (-3)

Das kannst du selbst testen:

10 > 5 | ·(-2)

10·(-2) > 5·(-2)

-20 > -10

Ist das richtig? Nein, denn -20 ist kleiner als -10. Die Zahl -20 ist weiter links auf dem Zahlenstrahl. Daher:

-20 < -10

Siehe auch Lektion Ungleichungen.

2. Für welche x gilt: 10x < 100

10x < 100 | : 10
x < 10

3. Für welche x gilt: 5x + 14 < 39

5x + 14 < 39 | -14
5x < 25 | : 5
x < 5

4. Für welche x gilt: -7x - 27 > 1

-7x - 27 > 1 | +27
-7x > 28 | : (-7)
x < -4

5. Für welche x gilt : 3 + 2x < 5 < 9 - 4x

Wir betrachten die Ungleichungen einzeln:

3 + 2x < 5 und 5 < 9 -4x

3+2x < 5 | -3 5 < 9 -4x | -9

2x < 2 | :2 -4 < -4x | : (-4)

x < 1 1 > x

Damit erhalten wir:

1< x < 1

Es gilt damit: x = 1

6. Welche der Antwortmöglichkeiten gibt alle x an, für die gilt: x < 5+x

x < 5 + x | - x
0 < 5
Das ist eine wahre Aussage. x kann also beliebig gewählt werden.

7. Für welche x gilt: 9 + x < -5 + x

9 + x < -5 +x | -x
9 < -5
Diese Aussage ist falsch, damit ist die Ungleichung für alle x nicht erfüllt.

8. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |x+3| ≥ |2x+1|

|x+3| ≥ |2x+1|

1. Fall x ≥ -1/2 --> Alles positiv und deshalb Beträge weglassen

x + 3 ≥ 2x + 1 |-x-1

x ≤ 2

Mit der Anfangsbedingung ergibt sich L1: -1/2 ≤ x ≤ 2.

2. Fall

x ≤ -3 --> Alles negativ, deshalb einfach die Vorzeichen umdrehen.

-(x+3) ≥ -(2x+1) |:(-1) (Umdrehen des Zeichens)

x + 3 ≤ 2x + 1

x ≥ 2

Das geht nicht. Denn x soll zum einen kleiner -3 sein, aber gleichzeitig größer 2. Also ist diese Menge leer.

3. Fall. Wir sind im Intervall zwischen den obigen Fällen. Hier ist nur der rechte Teil negativ. Klammern!

Für x -> -3 < x < -1/2

x + 3 ≥ -(2x + 1)

x+3 ≥ -2x - 1

3x ≥ -4

x ≥ -4/3

Wieder mit der Anfangsbedinung ergibt sich L3: -4/3 ≤ x < -1/2

Nun alle Lösungsmengen zusammengefasst → L: -4/3 ≤ x ≤ 2

9. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |x² - 4| ≤ 1

Ohne direkte Fallunterscheidung: einfach die Schnittstellen bestimmen und daraufhin den Bereich, wo die Ungleichung gilt:

x2-4 = 1 I

und

-x2+4 = 1 II

I:

x2 = 5

x = ±√5

II:

x2 = 3

x = ±√3

Offensichtlich gibt es also die Bereiche:

(-∞,-√5), (-√5,-√3), (-√3,√3), (√3,√5) und (√5,∞)

Es reich nun irgendeine Zahl auszuprobieren, da dann alle anderen Bereiche sich ergeben. Am leichtesten ist wohl x=0.

|02-4 | ≤1

4 ≤ 1

Das passt wohl nicht und somit ist (-√3,√3) nicht dem Bereich zugehörig.

Es bleiben damit folgende Intervalle für die die Lösung gilt:

x ∈ [-√5,-√3] und x ∈ [√3,√5]

(Achte darauf, dass die Grenzen selbst innerhalb der Intervalle sind, da es ja ≤ war).

10. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |3x+1| < 11

Der Betrag spielt dann eine Rolle, sobald der Inhalt kleiner 0 wird. Bestimmen wir also, wann wir den Betrag weglassen können:

3x + 1 = 0

3x = -1

x = \( -\frac{1}{3} \)

Für x ≥ -1/3 können wir den Betrag weglassen. Für x < -1/3 muss der Betrag durch eine Minusklammer ersetzt werden.

x ≥ -1/3

3x+1 < 10 | -1

3x < 10 | :3

x < \( \frac{10}{3} \)

→ x < \( \frac{10}{3} \), aber x ≥ -1/3

Für x < -1/3

-(3x+1) < 11

-3x-1 < 11 |+1

-3x < 12 |:(-1) -> Umdrehen des Vorzeichens

x > -4

x < \( -\frac{10}{3} \) aber x > -4

Beides zusammengefügt:

\( -4 < x < \frac{10}{3} \)

Bzw. in Intervallschreibweise: x ∈ ]-4; \( \frac{10}{3} \)[


  Schreib uns deine Hinweise