Test: Wurzelgleichungen

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1. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9x - 17} = 1+3·\sqrt{x-4} \)

√(9 x-17) = 1+3·√(x-4) |²

(√(9 x-17))2 = (1+3·√(x-4))2 |Binomi auflösen

9 x-17=12+2·1·3·√(x-4) +(3·√(x-4))2

9x-17 = 1+6√(x-4) + 9(x-4) |-9x-1+36

18 = 6√(x-4) |²

324 = 36(x-4)

324 = 36x-144 |+144

468 = 36x |:36

x=13

2. Besimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{x-3} - \sqrt{2·x - 8} = \sqrt{x-5} \)

√(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5) | ()2
(x - 3) - 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) + (2·x - 8) = x - 5
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - (x - 3) - (2·x - 8)
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - x + 3 - 2·x + 8
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = - 2·x + 6
√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 3 | ()2
(x - 3) · (2·x - 8) = x2 - 6x + 9
2·x2 - 14·x + 24 = x2 - 6x + 9
x2 - 8x + 15 = 0

Lösen mit pq-Formel gibt die Lösungen x = 5 ∨ x = 3.

Nun noch die Probe:

√(5 - 3) - √(2·5 - 8) = √(5 - 5) Stimmt
√(3 - 3) - √(2·3 - 8) = √(3 - 5)
Hier werden 2 Terme unter der Wurzel negativ.

Damit ist die einzige Lösung 5.

3. Löse die Wurzelgleichung: \( 12 = \sqrt{x-4} + \sqrt{x+20} \)

12 = √(x-4)+√(x+20) | ()²

144 = (x-4) + 2·√(x-4)√(x+20) + (x+20) |-(x-4)-(x+20)

-2x+128 = 2·√(x-4)√(x+20) |/2

-x+64 = √(x-4)√(x+20) | ()²

4096 - 2·64x + x2 = (x-4)(x+20)

4096 - 2·64x + x2 = x2+16x-80 |-x2+128x+80

4176 = 144 x

x = 29

4. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{52+4x} + \sqrt{52-4x} = 12 \)

Quadrieren:

(√(52 + 4x) + √(52 - 4x))2 = 144

52 + 4x + 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) + 52 - 4x = 144

104+ 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 144 |-104

2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 40 |:2

√(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 20 |quadrieren

(52+4x)(52-4x)=400

2704-16x2 = 400 |-400+16x2

2304 = 16x2 |:16

x2=144

x1,2=±12

5. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{2x+3} + 5 = 4 \)

√(2x + 3) +5 = 4 |-5
√(2x + 3) = -1

Eine Wurzel kann nicht negativ werden. Man ist hier also schon fertig.

6. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{4x^2 - 6x} + 1 = 2x \)

√(4x2-6x)+1 = 2x |quadrieren (binomische Formel links anwenden)

(4x2-6x) + 2√(4x2-6x) + 1 = 4x2 |-4x2+6x-1

2√(4x2-6x) = +6x-1 |:2, dann quadrieren

4x2-6x = (3x-1/2)2

4x2-6x = 9x2 - 3x + 1/4 |-4x2+6x

5x2+3x+1/4 = 0 |:5, dann pq-Formel

x1 = -1/2 und x2 = -1/10

Probe: Beide Lösungen erfüllen die Gleichung nicht.

7. Löse die Wurzelgleichung: \( \sqrt{x+3} + \sqrt{2x-8} = \frac{15}{\sqrt{x+3}} \)

√(x+3)+√(2x-8)=15/√(x+3)

(x+3)+√(2x-8)·√(x+3)=15

√(2x²-2x-24)=12-(x+3)

2x²-2x-24=(12-x)²

x²+22x-168=0 |pq-Formel

x1 = -28 und x2 = 6

Probe ergibt, dass x1 = -28 keine Lösung sein kann. Also bleibt nur x = 6 übrig.

8. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{3x+4} - 4 = \sqrt{5-4x} \)

√(3x+4) - 4 = √(5-4x) |quadrieren

3x+4 - 2·4·√(3x+4) + 16 = 5-4x

3x+20 - 8√(3x+4) = 5-4x |+4x-5 + 8√(3x+4)

7x+15 = 8√(3x+4) |quadrieren

49x2 + 2·7x·15 + 152 = 64(3x+4)

49x2+18x-31 = 0 |:49, dann pq-Formel

x1 = -1

x2 = \( \frac{31}{49} \)

Probe mit diesen Lösungen. Klappt nicht.

Es gibt keine Lösung → L = { }

9. Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{13+x} = \sqrt{2x+12}-1 \)

Quadrieren:

13+x = (√(2x+12) -1)2 | Binomische Formel

13+x = (2x+12) - 2·√(2x+12) + 1 | -2x-12-1

-x = -2√(2x+12) | :(-2)

x/2 = √(2x+12) | Quadrieren

x2/4 = 2x + 12 | ·4 und alles nach links sortieren. Dann pq-Formel

x1 = -4 und x2 = 12

Probe mit den Werten. Einzig x = 12 ist eine Lösung.

10. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9 + 8·\sqrt{2x-2}} = 5 \)

9 + 8√(2x-2) = 25

8√(2x-2) = 16

√(2x-2) = 2

2x - 2 = 4

2x = 6

x = 3


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