TRI11: Additionstheoreme

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir die trigonometrischen Gleichungen kennengelernt haben und sicherer im Umgang mit den Umformungen dieser sind, können wir uns die sogenannten Additionstheoreme ("Additionssätze") für Sinus, Kosinus und Tangens anschauen. Auf geht es! Testet nach dem Video auch die Matheprogramme.

TRI11-1 Additionstheoreme - Verständliche Herleitung für Sinus

In diesem Video zeigen wir die grafische Herleitung des Additionstheorems für Sinus mit sin(α+β) = sin(α)·cos(β)+cos(α)·sin(β) sowie die Anwendung der Additionstheoreme zum Nachweis von trigonometrischen Identitäten.

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  • Wir zeigen zuerst, wie das Sinus-Additionstheorem zum rechnerischen Nachweis von Sinuswerten für Winkel größer 90° genutzt werden kann. Anschließend gibt es die vollständige Herleitung des Additionstheorems für Kosinus: cos(α+β) = cos(α)·cos(β)+sin(α)·sin(β)
  • Wir zeigen, wie sich das Additionstheorem für Tangens ergibt mit: tan(α + β) = ( tan(α) + tan(β) ) / ( 1 - tan(α)·tan(β) ). Danach nutzen wir das Additionstheorem, um Tangenswerte für Winkel größer 90° zu berechnen.
  • Was passiert, wenn wir statt sin(α + β) ein sin(α - β) haben? Es ergeben sich neue Additionstheoreme. Wir zeigen, welche das sind für sin(α - β), cos(α - β) und tan(α - β) inklusive Herleitung.
  • Die Doppelwinkelfunktionen sind ein Spezialfall der Additionstheoreme, hier wird der Sinus/Kosinus/Tangens vom doppelten Winkel betrachtet. Welche neuen Formeln sich ergeben, lernen wir in diesem Video. Abschließend lösen wir noch einige Aufgaben mit Hilfe der Additionstheoreme.
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Wissen zur Lektion

Einführung

Bei den sogenannten “Additionstheoremen” (bzw. Additionssätzen) geht es darum, wie wir den Sinuswert (oder Kosinuswert oder Tangenswert) aus der Summe von zwei Winkeln bilden können.

Wir fragen uns, was ergibt:

sin(α + ß) = ?
cos(α + ß) = ?
tan(α + ß) = ?

Herleitung des Additionstheorems für Sinus

Schauen wir, welche Lösungsformel wir ermitteln können für:

sin(α + ß) = ?

Wir dürfen nicht einfach den Sinus von beiden Winkeln einzeln ziehen und addieren, da das nicht der gleiche Wert wäre. Als Beispiel:

sin(30° + 60°) = sin(90°) = 1

sin(30°) + sin(60°) ≈ 0,5 + 0,866 = 1,366

sin(30°) + sin(60°) ≠ sin(30° + 60°)

Um den Sinuswert zu bestimmen, der sich aus zwei Teilwinkeln ergibt, benötigen wir die Additionstheoreme, denn sie geben uns eine Berechnungsvorschrift, um direkt eine Lösung aus sin(30° + 60°) zu ermitteln.

Wiederholung Einheitskreis

Werfen wir einen Blick auf den Einheitskreis und wiederholen: Er hat bekanntlich einen Radius von 1, die Hypotenuse des Hilfsdreiecks ist damit immer 1 lang.

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse   | Hypotenuse = 1

sin(α) = Gegenkathete / 1

sin(α) = Gegenkathete

Direkt an der Gegenkathete können wir also den Sinuswert ablesen. Gleiches gilt für den Kosinus (Ankathete). Und genau dieses Wissen hilft uns bei den Additionstheoremen weiter.

Herleitung der Lösungsformel

Die Addition der zwei Winkel können wir so visualisieren:

Winkeladdition Sinuswerte

Wir gehen schrittweise vor, um eine allgemeine Lösungsformel zu finden. Hierzu zeichnen wir zuerst von Punkt D aus eine Senkrechte auf die Hypotenuse BA, Punkt E entsteht:

Additionstheorem Sinus Schritt 01

Wir erkennen, dass ein rechtwinkliges Dreieck DBE entsteht, es ist das Referenzdreieck für Winkel ß.

Jetzt zeichnen wir durch den neuen Punkt E eine Senkrechte nach unten, die uns den sin(α + ß) anzeigt. Mit dieser neuen Linie erhalten wir zwei neue Dreiecke:

Additionstheorem Sinus Schritt 02

Wir sehen nun:

Strecke y1 + Strecke y2 = sin(α + ß)

Wir müssen nur eine Möglichkeit finden, y1 und y2 zu berechnen, denn damit hätten wir den Sinuswert des Gesamtwinkels.

Zudem erkennen wir, dass die Seiten des Dreiecks mit Winkel ß nun auch mit sin und cos ausgedrückt werden können, denn die Hypotenuse ist 1 lang: Die Ankathete ist cos(ß) und die Gegenkathete ist sin(ß).

Additionstheorem Sinus Schritt 03

Berechnung von Strecke y1

Berechnen wir y1 mit Hilfe des kleinen hellblauen Dreiecks: Dort ist y1 die Gegenkathete von a. Zudem ist cos(ß) die Länge der Hypotenuse des kleinen Dreiecks.

Additionstheorem Sinus Schritt 04

Wir können nun mit Blick auf das kleine blaue Dreieck aufstellen:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

sin(α) = y1 / cos(ß)   | ·cos(ß)

y1 = sin(α) · cos(ß)

Mit sin(α) errechnen wir also einen Anteil aus der Länge cos(ß), und das ist die Länge von y1.

Berechnung von Strecke y2

Zuerst ein Schaubild:

Additionstheorem Sinus Schritt 05

Die gesuchte Strecke y2 ist Ankathete des rosa Dreiecks. Als erstes müssen wir die Größe des eingezeichneten Winkels kennen. Dieser Winkel ist genauso groß wie Winkel α, der Grund: Das hellblaue Dreieck und das rosa Dreieck sind rechtwinklige Dreiecke, das heißt beide besitzen einen Winkel von 90°. Die anderen Winkel ergeben sich aus: α und 90° - α, denn alle drei müssen zusammen nachher 180° ergeben. Zudem teilen sich beide Dreiecke Winkel, die mit α in Verbindung stehen:

Additionstheorem Sinus Schritt 06

Wir erkennen, dass wenn ein Winkel α und ein weiterer 90° ist, der dritte Winkel (90° - α) sein muss, was für beide Dreiecke gilt. Sie haben beide demnach die gleichen Winkelgrößen.

Jetzt können wir für das rosa Dreieck aufstellen:

cos(α) = AK / HY

cos(α) = y2 / sin(ß)   | · sin(ß)

y2 = cos(α) · sin(ß)

Formel für Strecke y1 + y2

sin(α + ß) = Strecke y1 + Strecke y2

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß)

In Worten: y1 ergibt sich, in dem wir den Anteil bilden, also den sin(α) berechnen und diesen mit der Seite cos(ß) multiplizieren. Und y2 ergibt sich, in dem wir den Anteil bilden, also den cos(α) aus dieser Seite, die sin(ß) lang ist. Und dann können wir die beiden Terme addieren und erhalten die Gesamtlänge, die ja der Sinuswert unseres Gesamtwinkels ist, also sin(α + ß).

Anwendungsbeispiel:

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß)

sin(30° + 60°) = sin(30°) · cos(60°) + cos(30°) · sin(60°) = 0,5 · 0,5 + 0,866 · 0,866 = 0,999956 ≈ 1

sin(90°) = 1

Identität mit Additionstheorem beweisen

Bei den Identitäten hatten wir unter anderem diese Identität kennengelernt:

cos(α) = sin(α + 90°)

In Worten: Der Kosinus ist nichts weiter als der Sinus um 90° verschoben.

Diesen Sachverhalt können wir nun mit Hilfe des Additionstheorems beweisen:

cos(α) = sin(α + 90°)

sin(α + 90°) = cos(α)

Additionstheorem:

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) | ß = 90°

sin(α + 90°) = sin(α) · cos(90°) + cos(α) · sin(90°)

sin(α + 90°) = sin(α) · 0 + cos(α) · 1

sin(α + 90°) = cos(α)

Fertig.

Nachweis für Sinuswerte größer 90° mit dem Additionstheorem

Wir hatten in den einführenden Lektionen zum Sinus gesagt, dass der Sinus auch für Winkel größer 90° definiert ist. Mit Hilfe der Additionstheoreme lässt sich dies ebenfalls nachweisen. Ein Beispiel:

sin(120°) = ?

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) | Werte wählen: a = 30° und ß = 90°

sin(30° + 90°) = sin(30°) · cos(90°) + cos(30°) · sin(90°)

sin(30° + 90°) = sin(30°) · 0 + cos(30°) · 1

sin(30° + 90°) = cos(30°) ≈ 0,866

sin(120°) ≈ 0,866

Nachweis für Sinuswerte über 90 Grad

Herleitung des Additionstheorems für Kosinus

Als nächstes wollen wir klären, welches Additionstheorem für cos(α + ß) gilt. Nehmen wir uns zuerst eine Grafik vom Einheitskreis und zeichnen beide Winkel mit Dreiecken ein:

Additionstheorem Kosinus Schritt 01

Zeichnen wir nun Hilfslinien ein, durch die zwei neue Dreiecke entstehen:

Additionstheorem Kosinus Schritt 02

Wir sehen, dass sich der Kosinus vom Gesamtwinkel, also cos(α +ß), ergibt aus x1 - x2.

Additionstheorem Kosinus Schritt 03

Wir müssen also berechnen: cos(α +ß) = x1 - x2.

Additionstheorem Kosinus Schritt 02

Die Strecke x1 erhalten wir mit:

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

cos(α) = x1 / cos(ß)   | ·cos(ß)

x1 = cos(α) · cos(ß)

Die Strecke x2 erhalten wir mit:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

sin(α) = x2 / sin(ß)

x2 = sin(α) · sin(ß)

Damit können wir also das Additionstheorem für Kosinus aufstellen:

cos(α + ß) = x1 - x2

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)


Auf diese Art und Weise können wir die Kosinuswerte beliebiger Winkel bestimmen, die sich aus zwei Winkeln ergeben.

Herleitung des Additionstheorems für Tangens

Als nächstes ist zu klären, wie das Additionstheorem für tan(α + ß) lautet. Leiten wir dieses nicht graphisch, sondern komplett rechnerisch her.

In der Lektion Tangens hatten wir gelernt, dass wir den Tangens auch ausdrücken können als:

$$ \tan(\alpha) = \frac{ \sin(\alpha) } { \cos(\alpha) } $$

Teilen wir Winkel α nun in zwei Teilwinkel, wir schreiben einfach (a+ß) statt a:

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } $$

Verwenden wir nun das Additionstheorem für den Sinus:

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } $$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } $$ $$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } $$

Und nun noch für den Zähler das Additionstheorem für Kosinus:

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) } { \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) · \sin(\beta) } $$

Nun wollen wir die Sinus- und Kosinusterme in Tangensterme umwandeln. Mit Blick auf den ersten Term sin(α) · cos(ß) bedeutet das, dass wir durch [ cos(α) · cos(ß) ] dividieren, sodass nur sin(α) / cos(α) stehen bleibt, was dann als tan(α) geschrieben werden darf. Jedoch müssen wir die Division in allen Termen berücksichtigen:

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) } { \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) · \sin(\beta) } \quad |:[ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) ]$$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)}{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } + \frac{ \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } } { \frac{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } } $$

Ziel ist es, eine Formel zu erhalten, wo nur tan(α) und tan(ß) stehen. Um Sinus und Kosinus zu beseitigen, betrachten wir uns die einzelnen Brüche. Wir stellen fest, dass sich einiges kürzen und in Tangens umwandeln lässt:

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { \frac{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } } $$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { 1 - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) } } $$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { 1 - \frac{ \sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } · \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } $$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \tan(\alpha) + \tan(\beta) } { 1 - \tan(\alpha) · \tan(\beta) } $$

Fertig. Wir notieren das Additionstheorem für Tangens:

tan(a+ß) = (tan(α) + tan(ß)) / (1 - tan(α) · tan(ß))

Additionstheorem für sin(α - ß)

Betrachten wir, wie wir verfahren müssen, wenn wir statt (α + ß) ein (α - ß) haben. Der Unterschied ist, dass wir in die Formel statt ß ein (-ß) eintragen, dabei bleibt die Addition erhalten und das Additionstheorem ist immer noch korrekt:

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß)

sin(α + (-ß)) = sin(α) · cos(-ß) + cos(α) · sin(-ß)

Unser Ziel ist es, nur a und ß ohne Vorzeichen zu haben.

Bei den Identitäten hatten wir gelernt, dass cos(x) = cos(-x). Damit können wir das cos(-ß) als cos(ß) schreiben:

sin(α + (-ß)) = sin(α) · cos(-ß) + cos(α) · sin(-ß)

sin(α + (-ß)) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(-ß)

Für das sin(-ß) können wir ebenfalls eine Identität verwenden und zwar: sin(x) = -sin(-x), damit:

sin(α + (-ß)) = sin(α) · cos(-ß) + cos(α) · sin(-ß)

sin(α + (-ß)) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · (-sin(ß))

Das negative Vorzeichen brücksichtigt in der Addition und wir erhalten:

sin(α - ß) = sin(α) · cos(ß) - cos(α) · sin(ß)

Jetzt können wir die beiden Additionstheoreme für Sinus zusammenfassen:

1. sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß)

2. sin(α - ß) = sin(α) · cos(ß) - cos(α) · sin(ß)

Zusammengefasst mit Plus-Minus:

sin(α ± ß) = sin(α) · cos(ß) ± cos(α) · sin(ß)

Additionstheorem für cos(α - ß)

Bei der Herleitung dieses Kosinus-Additionstheorems gehen wir genauso vor wie zuvor. Wir setzen zuerst (-ß) ein:

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(-ß) - sin(α) · sin(-ß)

Nun müssen wir die negativen Vorzeichen bei -ß wegbekommen. Nutzen wir die Identität cos(x) = cos(-x):

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(-ß) - sin(α) · sin(-ß)

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(-ß)

Und als nächstes sin(x) = -sin(-x), damit:

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · (-sin(ß))

Das negative Vorzeichen brücksichtigt in der Addition bzw. Subtraktion und wir erhalten:

cos(α - ß) = cos(α) · cos(ß) + sin(α) · sin(ß)

Jetzt können wir die beiden Additionstheoreme für Kosinus zusammenfassen:

1. cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)

2. cos(α - ß) = cos(α) · cos(ß) + sin(α) · sin(ß)

Zusammengefasst mit Plus-Minus:

cos(α ± ß) = cos(α) · cos(ß) ± sin(α) · sin(ß)

Additionstheorem für tan(α - ß)

Auch hier gehen wir so vor, dass wir zuerst ß mit (-ß) ersetzen:

tan(α + ß) = (tan(α) + tan(ß)) / (1 - tan(α) · tan(ß))

tan(α + (-ß)) = (tan(α) + tan(-ß)) / (1 - tan(α) · tan(-ß))

Die Identität, die wir jetzt benötigen, lautet tan(-x) = -tan(x), so beseitigen wir die negativen Vorzeichen:

tan(α + (-ß)) = (tan(α) + tan(-ß)) / (1 - tan(α) · tan(-ß))

tan(α + (-ß)) = (tan(α) - tan(ß)) / (1 + tan(α) · tan(ß))

Schon haben wir das Additionstheorem für Tangens:

tan(α - ß) = (tan(α) - tan(ß)) / (1 + tan(α) · tan(ß))

Jetzt können wir die beiden Additionstheoreme für Tangens zusammenfassen:

1. tan(α + ß) = (tan(α) + tan(ß)) / (1 - tan(α) · tan(ß))

2. tan(α - ß) = (tan(α) - tan(ß)) / (1 + tan(α) · tan(ß))

Zusammengefasst mit Plus-Minus und Minus-Plus:

tan(α ± ß) = (tan(α) ± tan(ß)) / (1 ∓ tan(α) · tan(ß))

Jetzt haben wir die drei wesentlichen Additionstheoreme für Sinus, Kosinus und Tangens ermittelt.

Herleitung der Doppelwinkelfunktionen

Die Doppelwinkelfunktionen (auch “Doppelwinkel”) sind ein Spezialfall der Additionstheoreme. Wir betrachten uns Sinus, Kosinus und Tangens für den Fall, dass wir den doppelten Winkel haben:

sin(2·α) = ?
cos(2·α) = ?
tan(2·α) = ?

Doppelwinkelfunktion für Sinus

Um hier eine Lösungsformel zu bilden, können wir das 2·a als (α + α) notieren:

sin(2·α) = ...
sin(α + α) = ...

Und nun das Additionstheorem für Sinus nutzen:

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) | ß = a

sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + cos(α) · sin(α)

sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + sin(α) · cos(α)

Wir sehen, dass der Term sin(α) · cos(α) zwei Mal vorhanden ist, wir schreiben also:

sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)

Als nächstes wollen wir das cos(α) ersetzen, hierzu erinnern wir uns an den trigonometrischen Pythagoras:

cos2(α) + sin2(α) = 1

Formen wir diese Gleichung um nach Kosinus:

cos2(α) + sin2(α) = 1   | - sin2(α)

cos2(α) = 1 - sin2(α)   | √

cos(α) = √( 1 - sin2(α) )

Wir können nun cos(α) ersetzen:

sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)

sin(α + α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )

Und dies ist die Lösungformel:

sin(2·α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )

Doppelwinkelfunktion für Kosinus

Auch hier schreiben wir das 2·a als (α + α):

cos(2·α) = ...

cos(α + α) = ...

Verwenden wir das Additionstheorem für Kosinus und setzen ein:

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß) | ß = a

cos(α + α) = cos(α) · cos(α) - sin(α) · sin(α)

cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)

Als nächstes gilt es, das sin2(α) in Kosinus umzuformen. Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras ist dies einfach möglich:

cos2(α) + sin2(α) = 1   | - cos2(α)

sin2(α) = 1 - cos2(α)

Dies nun einsetzen:

cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)

cos(α + α) = cos2(α) - (1 - cos2(α))

cos(α + α) = cos2(α) - 1 + cos2(α)

cos(α + α) = 2 · cos2(α) - 1

Und dies ist auch schon die fertige Formel für die Doppelwinkelfunktion für Kosinus:

cos(2·α) = 2 · cos2(α) - 1

Doppelwinkelfunktion für Tangens

Hier müssen wir auch das 2·a als (α + α) schreiben:

tan(2·α) = ...

tan(α + α) = ...

Das Additionstheorem für Tangens verwendet, eingesetzt und umgeformt:

tan(α + ß) = (tan(α) + tan(ß)) / (1 - tan(α) · tan(ß)) | ß = a

tan(α + α) = (tan(α) + tan(α)) / (1 - tan(α) · tan(α))

tan(α + α) = (2 · tan(α)) / (1 - 2· tan(α))

tan(2·α) = (2 · tan(α)) / (1 - 2· tan(α))

Dies ist bereits die Formel für die Doppelwinkelfunktion für Tangens.

Beispielaufgaben

Aufgabe: Berechne sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0

Die erste Aufgabe soll lauten:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0 für das Intervall [-90°, 90°]

Hier müssen wir erkennen, dass sich ein Additionstheorem dahinter verbirgt, und zwar:

sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) = sin(α + ß)

Mit den Werten der Aufgabe:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = sin(x + 20°)

Wir dürfen also schreiben:

sin(x + 20°) = 0

Und dies können wir einfach lösen:

sin(x + 20°) = 0 | sin-1

x + 20° = sin-1(0)

x + 20° = 0° | - 20°

x = -20°

Aufgabe: sin(180° - x) = sin(x) nachweisen

Dies ist eine Identität, die wir nun nachweisen wollen. Hierzu nutzen wir das Additionstheorem für Sinus:

sin(α ± ß) = sin(α) · cos(ß) ± cos(α) · sin(ß)

Und setzen beide Werte aus der Aufgabe ein:

sin(α - ß) = sin(α) · cos(ß) - cos(α) · sin(ß) | a = 180°, ß = x

sin(180° - x) = sin(180°) · cos(x) - cos(180°) · sin(x)

sin(180° - x) = 0 · cos(x) - (-1) · sin(x)

sin(180° - x) = sin(x)

Richtig. Wir haben die Identität mit dem Additionstheorem nachgewiesen.

Aufgabe: Berechne 2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0

Berechnen wir diese Aufgabe für das Intervall [0°, 90°]. Formen wir die Gleichung um, sodass wir eine Doppelwinkelfunktion erhalten:

2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0

Die Doppelwinkelfunktion lautet: cos(2·α) = 2 · cos2(α) - 1, das heißt wir können in der Gleichung ein cos2(α) erzeugen:

2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0 | · cos(α)

2·cos(α)·cos(α) - cos(α) · 1 / cos(α) = 0

2·cos2(α) - 1 = 0

Den Linksterm können wir nun mit Hilfe der Doppelwinkelfunktion ersetzen:

2·cos2(α) - 1 = 0

cos(2·α) = 0   | cos-1

2·a = cos-1(0)

2·a = 90°   | :2

a = 45°

Fertig, dies ist die Lösung unserer Aufgabe.

Aufgabe: Drücke tan(α) + tan(ß) = 0 mit Sinus aus

Der erste Schritt bei dieser Aufgabe ist das Umwandeln des Tangens. Dieser lässt sich bekanntlich darstellen als Sinus/Kosinus:

tan(α) + tan(ß) = 0

tan(α) + tan(ß) = 0

sin(α)/cos(α) + sin(ß)/cos(ß) = 0

Entfernen wir als nächstes den Kosinus aus den Nennern der Brüche:

sin(α)/cos(α) + sin(ß)/cos(ß) = 0   | · cos(α)

sin(α) + cos(α) · sin(ß)/cos(ß) = 0   | · cos(ß)

sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) = 0

Der Linksterm ist das Additionstheorem für Sinus, das heißt, wir können ihn ersetzen mit:

sin(α + ß) = 0

Die Gleichung tan(α) + tan(ß) = 0 kann also nur mit Sinus ausgedrückt werden als sin(α + ß) = 0.

Formelübersicht aller Additionstheoreme

Additionstheoreme für Sinus

sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

sin(α - β) = sin(α)·cos(β) - cos(α)·sin(β)

Additionstheoreme für Kosinus

cos(α + β) = cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)

cos(α - β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)

Additionstheoreme für Tangens

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac { \tan(\alpha)+\tan(\beta) }{ 1-\tan(\alpha)·\tan(\beta) } \\ \tan(\alpha-\beta) = \frac { \tan(\alpha)-\tan(\beta) }{ 1+\tan(\alpha)·\tan(\beta) } $$

Doppelwinkelfunktionen Sinus, Kosinus, Tangens

$$ \sin(2·\alpha) = 2·\sin(\alpha)·\cos(\alpha) \\ \sin(2·\alpha) = 2·\sin(\alpha)·\sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\ \cos(2·\alpha) = 2·\cos^2(\alpha)-1 \\ \cos(2·\alpha) = \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) \\ \tan(2·\alpha) = \frac { 2·\tan(\alpha) }{ 1-\tan^2(\alpha) } $$

Additionstheoreme für Kotangens

Kotangens lernen wir jedoch erst in der nächsten Lektion kennen.

$$ \cot(\alpha+\beta) = \frac { \cot(\alpha) \cdot \cot(\beta) - 1 }{ \cot(\alpha) + \cot(\beta) } \\ \cot(\alpha-\beta) = \frac { \cot(\alpha) \cdot \cot(\beta) + 1 }{ \cot(\alpha) - \cot(\beta) } $$

Doppelwinkfunktion für Kotangens

$$ \cot(2 \cdot \alpha) = \frac { \cot^2(\alpha) - 1 }{ 2 \cdot \cot(\alpha) } $$

Vielfache und Potenzen

Der Vollständigkeit halber hier ein paar weitere hilfreiche Additionstheoreme.

$$ \sin(3 \cdot \alpha) = 3 \cdot \sin(\alpha) - 4 \cdot \sin^3(\alpha) $$ $$ \cos(3 \cdot \alpha) = 4 \cdot \cos^3(\alpha) - 3 \cdot \cos(\alpha) $$ $$ \sin(4 \cdot \alpha) = 8 \cdot \sin(\alpha) \cdot cos^3(\alpha) - 4 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) $$ $$ \cos(4 \cdot \alpha) = 8 \cdot \cos^4(\alpha) - 8 \cdot \cos^2(\alpha) + 1 $$ $$ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos(2·\alpha)) $$ $$ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2·\alpha)) $$ $$ \sin^3(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot \sin(\alpha) - \sin(3·\alpha)) $$ $$ \cos^3(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3·\alpha)) $$

Mathe-Programme

  • Additionstheorem für Sinus
    Additionstheorem für Sinus
    Hier wird euch das Additionstheorem sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b) grafisch hergeleitet, das wir benutzen, um den Sinuswert des Gesamtwinkels zu berechnen.
  • Additionstheorem für Kosinus
    Additionstheorem für Kosinus
    Hier wird euch das Additionstheorem cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) grafisch hergeleitet, das wir benutzen, um den Kosinuswert des Gesamtwinkels zu berechnen.
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Tags: Trigonometrie, Trigonometrische Additionstheoreme und Doppelwinkel bzw. Doppelwinkelfunktionen einfach erklärt, Sinus Kosinus und Tangens

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