TRI09: Bogenmaß und Kreiszahl Pi

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In allen vorigen Videos zur Trigonometrie haben wir stets das Gradmaß benutzt, um unsere Winkel festzulegen. Wir können jedoch auch andere Winkelmaße benutzen. Das Winkelmaß, das am häufigsten in der höhere Mathematik anzutreffen ist, ist das sogenannte Bogenmaß. In dieser Lektion betrachten wir uns, wie das Bogenmaß definiert ist und was es mit der Kreiszahl Pi zu tun hat.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI09-1 Bogenmaß - Einführung
    Wiederholung der Winkelmaße. Definition von Bogenmaß mit α = Kreisbogen / Kreisradius. Einheit: Radiant. Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Kreiszahl Pi.
  • TRI09-2 Bogenmaß - Bogenmaß und Grad umrechnen
    Wie rechnen wir Grad in Bogenmaß um. Wie lässt sich Pi hierzu benutzen? Herleitung der Umrechnungsformeln. Abschließend 2 Aufgaben zur Umrechnung Grad ↔ Bogenmaß.
  • TRI09-3 Bogenmaß - Bogenmaß mit dem Taschenrechner
    Auf was müssen wir achten, wenn wir mit dem Taschenrechner Grad und Bogenmaß umrechnen. Taschenrechner-Modi: DEG, RAD, GRAD. Bogenmaß statt Gradmaß beim Sinus: sin(90°) = sin(0,5·Pi) = 1. Bogenmaß bei der Sinusfunktion.
  • TRI09-4 Bogenmaß - Herleitung der Kreiszahl Pi
    Wir schauen uns die Kreiszahl Pi näher an: Warum schreibt man Pi? Pi als Verhältnis von Kreisumfang/Kreisdurchmesser. Wir zeigen, wie wir uns dem Pi-Wert von 3,1415... über Polygone (Vielecke) annähern können.
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Wissen zur Lektion

Einleitung

In dieser Lektion lernen wir das Bogenmaß kennen. Es ist neben dem Gradmaß das am häufigsten verwendete Maß, um Winkelgrößen anzugeben.

Bei der Lektion „Kreis und Winkel“ hatten wir gesagt, dass wir auch andere Möglichkeiten der Winkelangabe haben:

  • Gradmaß (90°)
  • Prozent (25 %)
  • Zeitmaß (3 Stunden)
  • Gon (100 Gon)
  • Bogenmaß (1/4 · Pi)

Gradmaß und Bogenmaß

Beim Gradmaß teilen wir den Kreis in 360 Schritte und legen dann Winkel von 0° bis 360° fest. Beim Bogenmaß hingegen geht es um das Verhältnis vom Kreisbogen zum Radius.

Wenn der Radius r ist und der Kreisbogen b, dann würde man aufstellen Winkel α = b/r. Der Winkel wird als Verhältniswert angegeben mit Bezug auf den Radius. Anders gesagt, wir messen den Winkel mit Hilfe des Radius und des Kreisbogens und nennen es Bogenmaß.

Die Einheit für das Bogenmaß ist “Radiant” und wird mit “rad” abgekürzt. Hier einige Beispiele:

0° = 0 rad
90° ≈ 1,571 rad
180° ≈ 3,142 rad
270° ≈ 4,712 rad
360° ≈ 6,283 rad

Merken wir uns: Egal, welche Größe unser Kreis hat, bei zum Beispiel 90° ist der Kreisbogen immer rund 1,571 mal so groß wie der Radius. Also wenn wir jetzt einen Radius von 15 cm hätten, dann wäre der Kreisbogen ≈ 15 cm * 1,571 lang.

Wir können wählen, ob wir den Winkel schreiben als α = 90° oder α ≈ 1,571 rad. Beide Schreibweisen sind korrekt.

Einheitskreis und Bogenmaß

Wenn wir den Kreisradius auf 1 festlegen, dann haben wir den Einheitskreis und können direkt das Bogenmaß an der Länge des Kreisbogens ablesen. Bei einem Radius von 1 cm hat der Kreisbogen bei 90° eine Länge von 1,571 cm.

Bei 0° hat unser Kreisbogen keine Länge, wir haben also 0 rad.

Bei 45° haben wir rund 0,785 rad, also der Kreisbogen ist 0,785 mal so lang wie der Radius.

Wenn wir den Kreisbogen in etwa so lang machen wollen wie den Radius, müssen wir ca. 58° wählen.

Wie wir sehen, sind die Werte im Bogenmaß fast nie rund und haben fast immer Nachkommastellen. Das kommt daher, dass sich die Werte für die Länge des Kreisbogens mit der Zahl π ergeben. Die Zahl π (“Pi”) hatten wir bei den Kreisen und Winkeln kennengelernt. Ein ganzer Kreisbogen ergibt sich aus 2·π, also rund 6,283. Ein halber Kreis aus 1·π, also rund 3,142. Jeder Radiantwert ergibt sich aus einem Anteil von π.

Mögliche Werte für Bogenmaß

Wir müssen wissen, dass wir genauso wie beim Gradmaß, auch Werte über 360° und damit über rund 6,283 rad wählen können. 8 rad, 20 rad, 1000 rad etc. Auch negative Werte sind möglich.

Kreiszahl Pi und Bogenmaß

In der Lektion „Kreise“ haben wir den Kreisumfang u kennengelernt mit u = d · π. Die Kreiszahl π ist rund 3,142, das heißt ist der Durchmesser 5 cm, dann wissen wir u = d · π = 5 · π cm ≈ 15,708 cm.

Wenn wir die Umfangsgleichung durch den Durchmesser dividieren, erhalten wir:

u = d · π   | :d

u:d = π

π = u/d

Wir erkennen, dass sich der Wert für π aus dem Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ergibt. Der Umfang wird also immer rund 3,142 mal so lang sein wie der Durchmesser.

Umrechnen von Bogenmaß und Gradmaß

Das Gradmaß lässt sich leicht ins Bogenmaß umrechnen, genauso wie das Bogenmaß ins Gradmaß. Zuerst sehen wir, dass ein kompletter Kreis 360° sind bzw. 2·π rad. Für jeden Winkel können wir dann Grad oder Radiant bestimmen.

90° bedeutet: 1 Teil von 4 Teilen des Kreisbogens. Damit:

360° · 1/4 bzw. 360/4 = 90°

Das Gleiche in Radiant ausgedrückt:

2·π · 1/4 bzw. 2·π/4 = 0,5·π rad

0,5·π können wir ausrechnen mit dem Taschenrechner und erhalten 0,5·π ≈ 0,5 · 3,142 ≈ 1,571 rad.

Allgemeine Formel

Wir stellen das Verhältnis auf für einen vollen Kreis:

360° = 2·π

Dann dividieren wir auf beiden Seiten :2, also:

360° = 2·π   | :2
180° = π

Wenn wir einen Winkel α haben, können wir sagen α verhält sich zu 180° genauso wie unser Winkel in Radiant zu π:

αGrad / 180° = αrad / π

Auf Grundlage dieser Verhältnisgleichung können wir das Bogenmaß in Grad umwandeln und Grad in Bogenmaß.

Beispiel α = 90°, damit:

αGrad / 180° = αrad / π
90° / 180° = αrad / π
π · 90° / 180° = αrad

αrad = 0,5 · π

Wir können nun folgende allgemeine Formeln aufstellen:

Formel von Grad zu Bogenmaß

αGrad / 180° = αrad / π   | · π
αrad = (αGrad / 180°) · π

Formel von Bogenmaß zu Grad

αGrad / 180° = αrad / π   | · 180°
αGrad = (αrad / π) · 180°

$$ \color{blue}{\text{Bogenmaß } \alpha_{\text{rad}}} = \frac { \alpha_{\text{Grad}} }{ 180° } \cdot \pi $$

$$ \color{blue}{\text{Gradmaß } \alpha_{\text{Grad}}} = \frac { \alpha_{\text{rad}} }{ \pi } \cdot 180° $$

Bogenmaß-Werte als Pi am Einheitskreis

Bei 0° haben wir 0 π:

Bogenmass bei 0 Grad

Bei 90° haben wir 0,5 π:

Bogenmass bei 90 Grad

Bei 180° haben wir 1 π:

Bogenmass bei 180 Grad

Bei 270° haben wir 1,5 π:

Bogenmass bei 270 Grad

Bei 360° haben wir 2 π:

Bogenmass bei 360 Grad

Merken wir uns:

90° = 0,5 · 180° = 0,5 · π

Winkelangabe in Gradmaß oder Bogenmaß

Bei der Angabe des Winkels ist es euch überlassen, ob ihr Gradmaß oder Bogenmaß notiert. Es handelt sich schließlich um den selben Winkel, nur in einer anderen Einheit ausgedrückt.

sin(α) = y → hier kann α entweder als Gradmaß oder Bogenmaß notiert sein

Beispiel:

sin(90°) = 1 =

sin(0,5π rad) = 1

Man schreibt übrigens das “rad” oft nicht mit, das heißt, folgende Notation ist auch korrekt:

sin(0,5π) = 1

Hinweise zum Berechnen von Bogenmaß mit dem Taschenrechner

Beim Umrechnen mit dem Taschenrechner kann es zu Fehlern kommen, wenn ihr das falsche Winkelmaß eingestellt habt. Beim Taschenrechner gibt es eine „Modus“-Taste, mit der wir das Winkelmaß umstellen können:

Taschenrechner Winkel Modus

Für uns sind die beiden Modi DEG („Degree“, also Grad) und RAD („Radian“, also Radiant) wichtig. Wir müssen beim englischen Taschenrechner übrigens aufpassen: „GRAD“ meint hier „Gon“ (englisch „Gradian“). Das ist die Einteilung des Kreises in 400 Schritte. Für 360° nehmen wir stets DEG.

Bei den Sinuseingaben haben wir in den vorigen Lektionen immer Gradmaß gehabt, also: sin(90°) = 1.

Wenn wir den Modus auf RAD umstellen, ergibt die Eingabe von sin(90) = 0,89399… also einen anderen Wert, da gerechnet wurde: sin(90 rad).

Wenn wir 90° in Bogenmaß eingeben wollen, dann nehmen wir 0,5·π. Damit: sin(0,5·π) ≈ sin(1,5708) ≈ 1.

Wollen wir sin(π) berechnen, also sin(180°), dann tippen wir ein sin(π) = 0.

Wir können testen, ob der Taschenrechner richtig eingestellt ist, indem wir schauen, ob im Display “Rad” oder “Deg” steht oder - falls nicht - einfach “sin(90)” eingeben und schauen, ob 1 herauskommt, denn dann ist es Gradmaß.

Sinusfunktion und Bogenmaß

Bei der Sinusfunktion können wir nun die Winkel anstatt mit Grad auch mit Radiant angeben (siehe x-Achse).

Sinusfunktion Bogenmaß

Auch hier können wir die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion verändern, wir verschieben den Graphen jetzt nicht um Grad, sondern um π. Von 180° auf 90° ist das Gleiche wie von π auf 0,5 π.

Herleitung der Kreiszahl Pi

Die Kreiszahl π (“Pi”) ist etwas Besonderes, sie wird mit dem griechischen Buchstaben π dargestellt. Man hat dieses griechische “P” gewählt, da der Kreisumfang auf lateinisch „peripheria“ heißt. Der Mathematiker Leonhard Euler hatte diesen Buchstaben in seinen Berechnungen für die Kreiszahl verwendet, was sich seit dem 18. Jahrhundert durchgesetzt hat. Die Zahl π wird definiert als das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser (wie oft kann man den Durchmesser auf den Kreisumfang legen, was etwa 3,142 mal der Fall ist).

u = π · d

u = π · 2 · r

π = u / (2 · r)

Wenn wir den Wert von π herleiten wollen, der 3,14159265358979… gibt es mehrere Wege hierfür. Wir schauen uns eine Möglichkeit an:

Legen wir ein regelmäßiges Vieleck hier in den Kreis:

Herleitung Pi an Kreis mit Polygon

Wir wissen, der Kreisumfang ist größer als der Umfang des innenliegenden Quadrates. Wenn wir jetzt die Seitenzahl dieses Vielecks erhöhen, zum Beispiel ein Achteck, so nähert sich der Umfang des Vielecks nähert sich der Kreislinie an. Je mehr Seiten wir haben, desto näher kommt der Wert des Umfangs des Vielecks dem Kreisumfang.

Mit einer Formel, die den Umfangs des Vielecks angibt, können wir uns dem Kreisumfang annähern. Wir benutzen den Sinus, um die Seitenlängen des Vielecks zu berechnen.

Hierfür zeichnen wir rechtwinklige Dreiecke ein (senkrechte Strecken vom Mittelpunkt zur Seite des Vielecks). Bei diesen rechtwinkligen Dreiecken können wir Sinus, Kosinus und Tangens anwenden.

Herleitung Pi an Kreis mit Polygon 2

Wir sehen, dass es vier Winkel gibt. Der von uns benötigte Winkel ist die Hälfte von diesem Winkel. Das heißt wir rechnen 360° durch die Seitenanzahl, also durch 4, erhalten dann 1/4 von 360° und halbieren dies noch mal, so kommen wir auf 45°. Wir können den Sinus von dem Winkel α bestimmen als Gegenkathete durch Hypotenuse.

Die Hypotenuse ist der Kreisradius und 1 Einheit lang. Wir wissen, dass uns der Sinus dadurch die Länge der Gegenkathete angibt, wir berechnen sin(45°) ≈ 0,707. Das ist die Länge der Vielecks-Seite. Diese Seite haben wir jetzt 8 mal. So erhalten wir den umfang 8 · 0,707 cm = 5,656 cm. Der Kreisumfang muss demnach größer sein als 5,656 cm.

Allgemeine Formel:

Umfang = Seiten·(2·sin(α) · Radius)   | Radius = 1
Umfang = n·(2·sin(α) · 1)

Diese Formel lässt sich anwenden auf jedes Vieleck (Polygon). Um so mehr Seiten wir wählen, desto genauer wird der Wert für Pi. Bei zum Beispiel einem 33-Eck haben wir 6,2737 cm Kreisumfang (Wert für Pi).

Wir werden den Wert der Zahl Pi jedoch nie erreichen, denn sie ist eine irrationale transzendente Zahl. Das heißt, sie hat unendlich viele Nachkommastellen.

Als nächstes gehen wir zu den trigonometrischen Gleichungen. Wir schauen uns an, wie man sin(x) = 0,5 oder 2·cos(x) = -0,5 rechnerisch lösen kann.

Mathe-Programme Bogenmaß und Pi

  • Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Verschiedene Winkelmaße (Grad, Prozent, Bogenmaß, Gon, Zeit) zur Veranschaulichung am Kreis.
  • Bogenmaß und Grad umrechnen
    Bogenmaß und Grad umrechnen
    Dieses Programm rechnet euch Grad und Bogenmaß ineinander um, dabei wird der gewählte Winkel am Kreis dargestellt.
  • PI - Annäherung über Polygonfläche
    PI - Annäherung über Polygonfläche
    Hier nähern wir uns über die Fläche eines Polygons dem Wert der Kreiszahl Pi an. Mit steigender Seitenanzahl wird der Wert genauer.
  • PI - Annäherung über Umfang
    PI - Annäherung über Umfang
    Mit Hilfe des Sinus können wir den Umfang des Polygons berechnen. Mit steigender Seitenanzahl nähern wir uns dem Wert für Pi an.
  • Sinusfunktion (allgemein) mit Bogenmaß
    Sinusfunktion (allgemein) mit Bogenmaß
    Die allgemeine Sinusfunktion der Form f(x) = a*sin(b*x + c) + d wird hier dargestellt. Ihr könnt zwischen den Einheiten Grad und Bogenmaß wählen.
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Tags: Trigonometrie, Bogenmaß, Kreiszahl Pi, Sinusfunktion mit Bogenmaß, Annäherung an Pi bzw. Herleitung von Pi

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