TRI01: Einführung zur Trigonometrie

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Dies ist das erste Video zur Trigonometrie. Wir erklären, was der Begriff "Trigonometrie" bedeutet, werfen einen Blick auf die Geschichte und zeigen, wie die Trigonometrie zuerst benutzt wurde und wo sie heute angewendet wird. Dies und mehr erfahrt ihr in diesem Video:

Einige Anwendungsgebiete der Trigonometrie sind übrigens:
- Landvermessung und Höhenvermessung
- Astronomie (sphärische Trigonometrie)
- Navigation
- Physik (z. B. akustische Wellen)

Mathe-Video TRI01 Einführung zur Trigonometrie

Bedeutung des Begriffs "Trigonometrie", Blick in die Geschichte, Sehne am Kreis (Chord), Halbe Sehne als Vorgänger des Sinus, Anwendungsgebiete der Trigonometrie

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Wissen zur Lektion

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie kann sinngemäß übersetzt werden als Dreiecksvermessung. Das Wort ist zusammengesetzt aus drei Teilen, die wir einzeln übersetzen können:

tri - drei
gono - Eck
metrie - Maß

Trigon heißt auf Griechisch "Dreieck".

Das Wort "Trigonometrie" wurde erstmals von Bartholomeo Pitiscus im Buch "Trigonometria" (Ausgabe 1595) benutzt bzw. schriftlich festgehalten.

Man unterscheidet zwischen Ebener Trigonometrie (zweidimensional, d. h. wir benötigen 2 Koordinaten, um einen Punkt zu bestimmen) und Sphärischer Trigonometrie (dreidimensional, 3 Koordinaten sind notwendig, um die Position festzustellen).

Verhältniswerte (Chordwerte)

Die Verhältniswerte (siehe Matheprogramm) ergeben sich, indem man die Sehnenlänge durch die Radiuslänge dividiert. In der folgenden Tabelle haben wir die Winkel in 10° Schritten den Verhältniswerten gegenübergestellt.

Verhältniswert = Sehne / Radius

Die Zuordnung der Winkel zu den Verhältniswerten nennt man auch Sehnen-Funktion oder Chord-Funktion, von chorda (lat. Sehne).

Tabelle von Chordwerten (Verhältniswerten)

WinkelChordwertChordwert gerundet
0,00000,000
10°0,174311485495316350,174
20°0,34729635533386070,347
30°0,517638090205041520,518
40°0,684040286651337470,684
50°0,845236523481398870,845
60°1,0001,000
70°1,147152872702092191,147
80°1,285575219373078651,286
90°1,414213562373095051,414
100°1,532088886237956071,532
110°1,638304088577983581,638
120°1,732050807568877291,732
130°1,812615574073299931,813
140°1,879385241571816771,879
150°1,931851652578136571,932
160°1,969615506024416121,970
170°1,992389396183491061,992
180°2,0002,000

Wie wir im Video gesehen haben, erhalten wir beim Bilden des Verhältniswertes (Sehne dividiert durch Radius) stets den gleichen Wert für den aktuell gewählten Winkel, unabhängig von der Länge des Radius. Voraussetzung hierfür ist, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Im Video waren die beiden gleichlangen Schenkel jeweils der Radius, die Grundseite war die Sehne.

Die Trigonometrie beruht auf solchen Verhältniswerten, wie wir uns im Verlauf der nächsten Videos noch genauer betrachten werden.

Durch die Trigonometrie werden also Winkel und Seitenverhältnisse in Dreiecken in Verbindung gebracht. So lassen sich Dreiecke aus wenigen Angaben berechnen (ein Dreieckswinkel und eine Seite reichen).

Historisches / Entstehung

Der erste Mathematiker, der die Chord-Verhältnisse nachweisbar dokumentiert hat, war Hipparchos (190 - 120 v.Chr.). Er gilt damit als Vater der Trigonometrie. Mehr als 600 Jahre nach ihm, hatte der Mathematiker Aryabhata (476 - 550 n.Chr.) dieses Prinzip auf rechtwinklige Dreiecke übertragen, von der unsere moderne Trigonometrie abstammt. Die Sehne am Kreis als halbe Sehne ist der Vorgänger des modernen Sinus.

Die Ägypter nutzt bereits 2000 v. Chr. primitive Formen der Trigonometrie (Verhältnisse), um ihre Pyramiden zu bauen.

Der amerikanische Vordenker Thomas Paine (1737-1809) schrieb einst: "Die wissenschaftlichen Prinzipien, die der Mensch einsetzt, um eine Sonnenfinsternis vorherzusagen, oder irgend etwas anderes in Bezug auf die Bewegung der Himmelskörper, sind hauptsächlich in dem Teil der Wissenschaft, die Trigonometrie genannt wird, enthalten. Wendet man die Trigonometrie mit den Eigenschaften eines Dreiecks auf die Studien der Himmelskörper an, so wird sie "Astronomie" genannt. Wenn man sie benutzt, um den Kurs eines Schiffes auf dem Meer zu bestimmen, wird sie "Navigation" genannt. Wenn man sie auf den Bau von Figuren mit Lineal und Zirkel anwendet, so spricht man von der "Geometrie". Bei Konstruktionsplänen von Gebäuden spricht man von "Architektur". Wenn man sie auf die Messung eines Teils der Erdoberfläche anwendet, so spricht man von "Landvermessung". Die Trigonometrie ist die Seele der Wissenschaft. Eine ewige Wahrheit: Die Trigonometrie zeigt uns die Mathematik auf, von der die Menschheit spricht, und das Ausmaß ihres Nutzens ist noch unbekannt.

Anwendung der Trigonometrie

Die Trigonometrie ist in vielen Lebensbereichen vorzufinden, wobei wir sie meist gar nicht bemerken. Ein paar Anwendungsbeispiel sind:

  • Landvermessung
  • Höhenmessung
  • Astronomie (sphärische Trigonometrie)
  • Physik, z. B. Schwingung eines Pendels
  • GPS (Global Positioning System)

Die Liste kann noch viel weiter geführt werden. Hier weitere wissenschaftliche Bereiche, in denen man Trigonometrie vorfindet: Akustik, Architektur, Astronomie, Kartographie, Tiefbau, Geophysik, Kristallographie, Elektrotechnik, Elektronik, Landvermessung und Geodäsie, viele Naturwissenschaften, Maschinenbau, Verarbeitung, medizinische Bildgebung, Zahlentheorie, Ozeanographie, Optik, Pharmakologie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Seismologie , Statistiken und visuelle Wahrnehmung.

In der Ozeanographie zum Beispiel ist das Ähnlichkeit zwischen den Wellenformen und dem Graphen der Sinusfunktion kein Zufall.

~plot~ sin(x) ~plot~

Verschiedene Gleichungstypen können übrigens mit Hilfe der Trigonometrie gelöst werden.

Mathe-Programme Trigonometrie

Sehnenfunktion am Kreis (Chordfunktion)

  • Sehnenfunktion am Kreis (Chordfunktion)
    Sehnenfunktion am Kreis (Chordfunktion)
    Hier lässt sich eine Sehne anhand von zwei Punkten auf einer Kreislinie festlegen. Der Verhältniswert (Chordwert) gibt an, um wieviel die Sehne länger bzw. kürzer ist als der Radius.
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Übungsaufgaben

Die folgenden Aufgaben prüfen, ob ihr euch das Wissen aus dem Video merken konntet und nunmehr wiedergeben bzw. anwenden könnt.

Allgemeine Fragen

1. Was bedeutet der Begriff "Trigonometrie" und aus welcher Sprache stammt er ursprünglich?

2. Welcher griechische Mathematiker gilt als Begründer der Trigonometrie?

3. Wie nennt man die Strecke zwischen 2 Punkten, die sich auf einem Kreis befinden?

4. Wie heißt die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf der Kreislinie?

5. Welche Strecken werden bei der Sehnenfunktion (sog. Chord-Funktion) ins Verhältnis gesetzt?

6. Wie lautet der Verhältniswert von chord(0°) = … ?

7. Wie lautet der Verhältniswert von chord(180°) = … ?

8. Bei wie viel Grad x ist chord(x) = 1,000 ? Also der Radius so lang wie die Sehne?

9. Was bedeutet der Verhältniswert bzw. Chord-Wert in Bezug auf die Sehne?

10. Können zwei Winkel den gleichen Chord-Wert haben?

11. Wie hilft uns der Verhältniswert bzw. Chord-Wert beim Berechnen?

12. Wie heißt der indische Gelehrte, der die Trigonometrie im 5./6. Jahrhundert weiterentwickelt hat? Und wie hat er die Sehnenfunktion geändert?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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