TRI07: Einheitskreis

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:

Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir uns in den letzten Lektionen die Dreiecksberechnung mit Sinus, Kosinus und Tangens angeschaut haben, gehen wir nun einen großen Schritt weiter: Wir betrachten sin, cos, tan am Einheitskreis. Damit können wir Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für alle beliebigen Winkel bestimmen und sind nicht mehr an Winkel von 0° bis 180° gebunden.

Mathe-Video TRI07-1 Einheitskreis - Einführung Einheitskreis mit Sinus und Kosinus

Einheitskreis zur Ermittlung von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel. Wie können wir die Werte für sin und cos am Einheitskreis ablesen. Zusätzlich klären wir die Wortherkunft "Einheitskreis". Wir zeigen, wie ihr euch wichtige Sinus- und Kosinuswerte merken könnt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI07-2 Einheitskreis - Referenzdreieck, Punktkoordinaten

    Wann sind Sinus und Kosinus positiv und negativ. Sinus und Kosinus lassen sich mit Referenzdreiecken für jeden Quadranten des Koordinatensystems bestimmen. Wertebereich für Sinus und Kosinus. (Ko)Sinus ablesen an den Punktkoordinaten des Winkels.

  • TRI07-3 Einheitskreis - Tangens am Einheitskreis

    Tangens für beliebige Winkel mit Hilfe des Einheitskreises. Im Gegensatz zum Sinus und Kosinus kann der Tangens bei bestimmten Winkeln "nicht definiert" sein. Positive und negative Tangenswerte je nach Quadrant. Tangens mit Punktkoordinaten berechnen.

  • TRI07-4 Einheitskreis - Identitäten zur Winkelbestimmung

    Winkel (0° bis 360°) aus Sinus- und Kosinuswert bestimmen. Was sind Identitäten. Wir behandeln eine Auswahl an Identitäten inkl. Anwendung. Deutung des Kosinus als um 90° rotierter Sinus. Warum heißt Kosinus Ko-Sinus.

  • TRI07-5 Einheitskreis - Trigonometrischer Pythagoras

    Schreibweise sin²(a) für (sin(a))². Herleitung des trigonometrischen Pythagoras: cos²(a) + sin²(a) = 1 sowie der Koordinatengleichung des Einheitskreises x² + y² = 1. Vom Winkel und Sinuswert rechnerisch zu dessen Kosinuswert.

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Wissen zur Lektion

Einführung

Sinus, Kosinus und Tangens hatten wir bereits am rechtwinkligen Dreieck kennengelernt. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. Wir legen sin, cos und tan an einem Kreis fest. Wie das geht und welche Vorteile das mit sich bringt, erfahrt ihr in dieser Lektion.

Zuerst erinnern wir uns daran, dass die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nie größer als 90° sein können:

Auch hatten wir Sinus und Kosinus für Winkel bis 180° in allgemeinen Dreiecken definiert, jedoch können die Winkel in einem allgemeinen Dreieck nie größer als 180° sein.

Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Wenn wir uns einen Kreis zu Hilfe nehmen, können wir jedoch beliebige Winkel festlegen und damit auch die (Ko)Sinuswerte und Tangenswerte für beliebige Winkel bestimmen.

Um dies zu erreichen, zeichnen wir ein Koordinatensystem und einen Kreis. In diesen Kreis legen wir ein rechtwinkliges Dreieck, von dem ein Punkt B der Mittelpunkt des Kreises ist und ein Punkt A auf der Kreislinie liegt. Der dritte Punkt C befindet sich auf der x-Achse, und zwar dort, wo das Lot vom Punkt A die x-Achse trifft:

An diesem rechtwinkligen Dreieck können wir alle drei trigonometrischen Funktionen, Sinus, Kosinus und Tangens festlegen. Wir erkennen, dass wir ein Referenzdreieck in jedem der vier Quadranten einzeichnen können:

Referenzdreieck im II. Quadranten:

Referenzdreiecke in allen vier Quadranten:

Was weiterhin auffällt ist, dass wir auch negative Werte für Sinus, Kosinus und Tangens erhalten, wenn x-Wert oder y-Wert negativ sind.

Referenzwinkel am Kreis

Wie wir in der Lektion TRI05: Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken gesehen haben, erhalten wir für einen Winkel zwischen 90° und 180° folgendes Dreieck mit Referenzwinkel, nun dargestellt im Einheitskreis:

Dabei ist der Sinuswert von Alpha: sin(α) = sin(β) und β = 180° - α, sodass wir festhalten können: sin(α) = sin(180° - α)

Aufgrund solcher Identitäten können sin, cos und tan für beliebige Winkel festgelegt werden. Mehr zu den Identitäten erfahren wir weiter unten.

Der Einheitskreis

Wir sprechen vom Einheitskreis, wenn der Radius des Kreises 1 Einheit lang ist. Das hat den Vorteil, dass wir die Sinus- und Kosinuswerte direkt an den x- und y-Werten der Dreiecksseiten ablesen können.

Mit dem Radius 1 (der die Hypotenuse des Dreiecks ist) ergibt sich:

sin(α) = GK / HY = GK / 1 = GK

cos(α) = AK / HY = AK / 1 = AK

tan(α) = GK / AK

Sinus- und Kosinuswerte am Einheitskreis ablesen

Wir sehen, dass die Gegenkathete (Wert siehe y-Achse) den Sinuswert angibt und die Ankathete (Wert siehe x-Achse) den Kosinuswert.

Wir merken uns:

sin(α) = Höhe = y

cos(α) = Breite = x

Genausogut können wir sagen, der Punkt auf der Kreislinie mit P(x|y) trägt die Sinus- und Kosinuswerte in seinen Koordinaten:

P( x | y ) = P( cos(α) | sin(α) )

Merken: Im Einheitskreis entspricht die Gegenkathete dem Sinuswert und die Ankathete dem Kosinuswert, wobei auf die Vorzeichen zu achten ist. Ebenfalls gilt: Die Koordinaten des Punktes P auf der Kreislinie des Einheitskreises geben Kosinuswert (x) und Sinuswert (y) an.

Winkel mit Sinus und Kosinus positiv bzw. negativ

Je nach gewähltem Winkel erhalten wir auch negative Werte für Sinus, Kosinus und Tangens. Hier ein Übersicht mit den vier Quadranten:

II. Quadrant
sin +
cos –
tan –
I. Quadrant
sin +
cos +
tan +
III. Quadrant
sin –
cos –
tan +
IV. Quadrant
sin –
cos +
tan –

Wir sehen: Sinus ist im I. und II. Quadranten positiv ("oben"), Kosinus ist im I. und IV. Quadranten positiv ("rechts") und Tangens ist im I. und III. Quadranten positiv. Negative Werte erhalten wir für Sinus im III. und IV. Quadranten ("unten"), für Kosinus im II. und III. Quadranten ("links") und für Tangens im II. und IV. Quadranten.

Tangenswerte am Einheitskreis

Wir hatten in der Lektion TRI06 Tangens den Tangens am rechtwinkligen Dreieck definiert und gelernt, dass wir ihn an einer Strecke ablesen können, die im Koordinatensystem bei P(1|0) beginnt und senkrecht nach oben verläuft, bis sie die verlängerte Hypotenuse trifft. Zur Erinnerung:

Tangens am Dreieck ablesen

Genauso tun wir dies für den Tangens im Einheitskreis. Für positive x-Werte startet die Strecke bei P(1|0) und für negative x-Werte bei P(-1|0):

Positiver Tangenswert:

Negativer Tangenswert:

Tangens nicht definiert

Sinus und Kosinus sind für alle Winkel definiert. Ihre Werte gehen von -1 bis +1. Der Tangens kann hingegen auch nicht definiert sein. Dies ist der Fall, wenn x=0 ist, unsere Ankathete also keine Länge hat. Dies ist bei 90° der Fall, bei 270°, bei 450° usw. Dann ergibt sich tan(α) = GK / AK = GK/0 = n.d.

Zeichnen wir tan(270°), dann sehen wir, dass Hypotenuse und Gegenkathete zusammenfallen, also aufeinanderliegen:

Die Identitäten

Die sogenannten Identitäten helfen uns bei verschiedenen Sachverhalten. Mit ihrer Hilfe können wir Sinus in Kosinus überführen, alle Sinus-/Kosinuswerte auf Winkel von 0° bis 90° zurückführen, rechnerisch weitere Winkel bestimmen, schwierige trigonometrische Gleichungen vereinfachen und auflösen.

Es gibt sehr viele Identitäten, wir lernen hier die grundlegenden kennen. Vorab die Übersicht:

sin(α) = cos(90° - α)
cos(α) = sin(90° - α)
sin(α) = cos(α + 90°)
sin(α) = -sin(-α)
cos(α) = cos(-α)
sin(90° + α) = sin(90° - α)
cos(90° + α) = -cos(90° - α)
sin(α) = sin(α + 360°)
cos(α) = cos(α + 360°)

1. Identität: Vom Sinus- zum Kosinuswert mit sin(α) = cos(90° - α)

Die erste Identität lautet: sin(α) = cos(90° - α). Wir können uns dies direkt am rechtwinkligen Dreieck vor Augen führen:

Genauso gilt:

cos(α) = sin(β)
cos(α) = sin(90° - α)

Mit der Identität sin(α) = cos(90° - α) können wir uns aus dem gegebenen Sinuswert den Kosinuswert ermitteln. Ein Beispiel:

sin(α) = cos(90° - α)
sin(60°) ≈ 0,866

sin(60°) = cos(90° - 60°)
sin(60°) = cos(30°)
0,866 ≈ cos(30°)

Wenn wir den Sinuswert von 60° kennen, in diesem Fall rund 0,866, dann wissen wir sofort, dass der Kosinus von 30° ebenfalls 0,866 ist.

Wenn wir sin(α) und cos(90° - α) zeichnen, erkennen wir, dass der Kosinus der Sinus des Komplimentärwinkels ist. Siehe Abbildung:

2. Identität sin(α) = cos(α + 90°)

Der Sinuswert des Winkels entspricht dem Kosinuswert des um 90° verschobenen Winkels:

3. Identität sin(α) = -sin(-α)

4. Identität cos(α) = cos(-α)

5. Identität sin(90° + α) = sin(90° - α)

6. Identität cos(90° + α) = -cos(90° - α)

7. Identität sin(α) = sin(α + 360°) und cos(α) = cos(α + 360°)

Diese Identität muss man nicht einzeichnen, denn sie besagt, dass wenn wir einmal im Kreis herumgehen, sich unser Punkt P wieder an der gleichen Position befindet und damit Sinus- und Kosinuswerte für beide Winkel dieselben sind.

Das Programm "Einheitskreis: Identitäten für Sinus und Kosinus" zeigt euch die vorgenannten und weitere Identitäten auf. Dort seht ihr animiert/interaktiv, wie sich die Identitäten verhalten.

Warum Kosinus Ko-Sinus heißt

Die zuvor kennengelernte Identität sin(α) = cos(90°- α) verrät, dass der Kosinus der Sinus des Komplimentärwinkels ist. Dies können wir uns noch einmal am rechtwinkligen Dreieck ansehen:

sin(β) = b / c
cos(α) = b / c
→ sin(β) = cos(α)

Wenn die Hypotenuse 1 ist, dann erhalten wir:

sin(β) = b / 1 = b
cos(α) = b / 1 = b
→ sin(β) = cos(α) = b

Der Winkel α ist Komplementärwinkel zu Winkel β, das heißt, beide ergeben immer zusammen 90°. Also α + β = 90° bzw. α = 90° - β. Daher:

sin(β) = cos(α) = b
sin(β) = cos(90° - β) = b

Genauso:
cos(β) = sin(α)
cos(β) = sin(90° - β)

Wir erkennen: Der Kosinuswert von β ist der Sinuswert des Komplementärwinkels α.

Trigonometrischer Pythagoras und Herleitung

Erinnern wir uns zuerst an den Satz des Pythagoras mit a2 + b2 = c2. Wenn wir die Hypotenuse mit c = 1 festlegen, dann ergibt sich bei Anwendung am rechtwinkligen Dreieck:

a2 + b2 = c2 | c = 1
a2 + b2 = 12
a2 + b2 = 1

Wir wissen, dass bei einer Hypotenuse mit der Länge 1 die Gegenkathete dem Sinuswert entspricht und die Ankathete dem Kosinuswert. Also in der Abbildung b = Sinuswert und a = Kosinuswert:

a = cos(β) = AK / HY = a / 1

b = sin(β) = GK / HY = b / 1

Somit können wir einsetzen:

a2 + b2 = 1 | a = cos(β) und b = sin(β)

(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1

Das Quadratzeichen schreibt man direkt an das sin oder cos, wir notieren also:

cos2(β) + sin2(β) = 1

Dies ist der "Trigonometrische Pythagoras".

Beispielaufgabe Trigonometrischer Pythagoras

Verwenden wir die soeben kennengelernte Formel, um eine Gleichung zu lösen:

cos2(13°) + sin2(13°) = x

Jetzt wissen wir, dass cos2(β) + sin2(β) = 1 ist, damit lässt sich sofort lösen:

x = cos2(13°) + sin2(13°)
x = 1

Interpretieren wir den trigonometrischen Pythagoras als Funktionsgleichung und zeichnen ihn als Graph, so erhalten wir:

~plot~ sin(x)^2+cos(x)^2;sin(x)^2;cos(x)^2 ~plot~

Der blaue Funktionsgraph hat immer den y-Wert 1. Die geschwungenen Graphen für Sinus und Kosinus werden wir in der Lektion TRI08 Trigonometrische Funktionen ausführlich erklären.

Alternative Herleitung zum trigonometrischen Pythagoras

Eine schnellere Herleitung ist algebraisch (rechnerischer Natur):

a2 + b2 = c2 | :c2
a2:c2 + b2:c2 = c2:c2
a2/c2 + b2/c2 = 1
(a/c)2 + (b/c)2 = 1 | a/c = cos(β)
(cos(β))2 + (b/c)2 = 1 | b/c = sin(β)
(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1
cos2(β) + sin2(β) = 1
sin2(β) + cos2(β) = 1

Hieraus ergibt sich auch ein neuer Zusammenhang:

sin2(β) + cos2(β) = 1
I. sin2(β) = 1 - cos2(β)
II. cos2(β) = 1 - sin2(β)

Koordinatengleichung des Einheitskreises

Die Koordinatengleichung ist ein Spezialfall der sogenannten Kreisgleichung (x-xM)2 + (y-yM)2 = r2, die wir uns in einer späteren Lektion anschauen. Liegt der Mittelpunkt M im Koordinantenursprung ergibt sich:

(x-xM)2 + (y-yM)2 = r2
(x-0)2 + (y-0)2 = r2
x2 + y2 = r2

Die Koordinatengleichung lautet: x² + y² = 1.

Dabei sind x und y die Koordinaten unseres auf der Kreislinie des Einheitskreises liegenden Punktes P.

Die Gleichung entsteht, wenn wir das zuvor kennengelernte Wissen kombinierten. Zum einen das Wissen, dass die x-Koordinate des Punktes P (auf dem Einheitskreis) dem Sinuswert und die y-Koordinate des Punktes P dem Kosinuswert entspricht. Zum anderen den soeben gelernten trigonometrischen Pythagoras mit: sin2(β) + cos2(β) = 1.

P( x | y ) → P( cos(β) | sin(β) )

sin2(β) + cos2(β) = 1   | sin(β) = y
y2 + cos2(β) = 1    | cos(β) = x
y2 + x2 = 1
x2 + y2 = 1

Sinus- und Kosinuswerte, die man wissen muss

Es gibt Sinus- und Kosinuswerte, die man kennen muss. Hierzu stellt man sich ganz einfach den Einheitskreis vor, zeichnet in Gedanken das Dreieck zum Winkel ein und liest den Wert an Gegenkathete (Sinus) oder Ankathete (Kosinus) ab.

Wichtige Sinuswerte

sin(0°) = 0
sin(90°) = 1
sin(180°) = 0
sin(270°) = -1
sin(360°) = 0

Wichtige Kosinuswerte

cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

Statt Gradzahlen kann man auch das Bogenmaß verwenden, dieses schauen wir uns in der Lektion TRI09: Bogenmaß und Kreiszahl Pi an.

Die gleiche Aufstellung mit dem Bogenmaß (die Einheit rad schreibt man meist nicht mit, also statt "0 rad" schreibt man einfach "0") wäre:

Wichtige Sinuswerte (Winkel in Gradmaß und Bogenmaß)

sin(0°) = sin(0) = 0
sin(90°) = sin(1/2·Π) = 1
sin(180°) = sin(1·Π) = 0
sin(270°) = sin(3/2·Π) = -1
sin(360°) = sin(2·Π) = 0

Wichtige Kosinuswerte (Winkel in Gradmaß und Bogenmaß)

cos(0°) = cos(0) = 1
cos(90°) = cos(1/2·Π) = 0
cos(180°) = cos(1·Π) = -1
cos(270°) = cos(3/2·Π) = 0
cos(360°) = cos(2·Π) = 1

Mathe-Programme zum Einheitskreis

Referenzdreiecke für jeden Quadranten:

  • Einheitskreis: Sinus und Kosinus Einheitskreis: Sinus und Kosinus
    Hier werden Sinus und Kosinus am Einheitskreis veranschaulicht. Durch den Einheitskreis ist es möglich, (Ko)Sinuswerte für alle beliebigen Winkel zu bestimmen.
  • Einheitskreis: Tangens
    Einheitskreis: Tangens
    Hier wird der Tangens am Einheitskreis veranschaulicht. Der Tangens kann auch als Sinus durch Kosinus definiert werden. Bei bestimmten Winkeln ist der Tangens nicht definiert.
  • Einheitskreis: Vom (Ko)Sinuswert zum Winkel
    Einheitskreis: Vom (Ko)Sinuswert zum Winkel
    Veranschaulichung von einfachen Identitäten für Winkel von 0° bis 360°. Einem Sinuswert entsprechen 2 Winkel, einem Kosinuswert entsprechen 2 Winkel.
  • Einheitskreis: Identitäten für Sinus und Kosinus Einheitskreis: Identitäten für Sinus und Kosinus
    10 Identitäten können hier entdeckt und am Einheitskreis geübt werden. Mit Identitäten lassen sich weitere mögliche Winkel für (Ko)Sinuswerte ermitteln.
  • Sinus und Kosinus im 1. Quadrant
    Sinus und Kosinus im 1. Quadrant
    Lernt die Werte für Sinus und Kosinus von 0 bis 90 Grad. Der Wert für Sinus steht an der Gegenkathete, der Wert für Kosinus an der Ankathete. Nutzt auch die Koordinaten des Punktes auf dem Kreisbogen.
  • Sinus und Kosinus im 2. Quadrant Sinus und Kosinus im 2. Quadrant
    Die Werte für Sinus und Kosinus von 90 bis 180 Grad können hier gelernt werden. Der Wert für Sinus ist die Länge der Gegenkathete, der Wert für Kosinus die Länge der Ankathete.
  • Sinus und Kosinus im 3. Quadrant
    Sinus und Kosinus im 3. Quadrant
    Die Werte für Sinus und Kosinus von 180 bis 270 Grad können hier gelernt werden. Der Wert für Sinus ist die Länge der Gegenkathete, der Wert für Kosinus die Länge der Ankathete.
  • Sinus und Kosinus im 4. Quadrant
    Sinus und Kosinus im 4. Quadrant
    Die Werte für Sinus und Kosinus von 270 bis 360 Grad können hier gelernt werden. Der Wert für Sinus ist die Länge der Gegenkathete, der Wert für Kosinus die Länge der Ankathete.
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Tags: Trigonometrie, Einheitskreis, Sinus und Kosinus, Einführung zum Einheitskreis, Herleitung

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